王克義，孟浩，張立勛，郭培培

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人作為一種柔性冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，相對(duì)傳統(tǒng)剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，具有慣性小、運(yùn)動(dòng)空間大和運(yùn)動(dòng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，但繩索只能承受拉力是該類機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，由于繩索本身具有一定的彈性［1-2］，所以動(dòng)平臺(tái)的靜態(tài)剛度相對(duì)剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)有所降低，影響系統(tǒng)的定位精度［3］.分析影響繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度因素以及尋找提高靜態(tài)剛度的有效措施具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義.利用非線性方程表征繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的繩索剛度，分析繩索拉力對(duì)剛度的影響情況并進(jìn)行了仿真，研究了繩索彈性對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響［4］.通過(guò)分析單根繩索的等效彈簧模型，推導(dǎo)了冗余驅(qū)動(dòng)繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的剛度表達(dá)，進(jìn)行了剛度控制分析［5］;也有通過(guò)建立系統(tǒng)的靜力學(xué)平衡方程，根據(jù)剛度定義概念，得出動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度主要由繩索剛度決定和繩索幾何布置，繩索的預(yù)緊力對(duì)靜態(tài)剛度影響可以忽略不計(jì)［6-7］.基于所建立的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和力平衡方程，通過(guò)微分變換方法，得出繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度的影響由繩索剛度和繩索拉力決定，且兩者之間影響處于獨(dú)立關(guān)系［8］.根據(jù)增大繩索拉力可以增強(qiáng)系統(tǒng)剛度，建立了基于剛度的運(yùn)動(dòng)控制模型，并進(jìn)行了仿真分析［9-11］.上述仿真研究均通過(guò)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行的數(shù)值仿真，本文以平面1R2T完全約束定位機(jī)構(gòu)的繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人為對(duì)象，分析影響動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度的因素，并用ANSYS軟件建立機(jī)器人系統(tǒng)的有限元模型，仿真施加外力后的動(dòng)平臺(tái)變形.該研究對(duì)繩索牽引系統(tǒng)的定位精度和運(yùn)動(dòng)控制研究具有指導(dǎo)性意義.

1 機(jī)器人機(jī)構(gòu)

平面繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)如圖1所示，繩索的一端(Pi，i=1，2，3，4)通過(guò)鉸鏈與動(dòng)平臺(tái)相連，另一端繞過(guò)框架上分布的過(guò)輪(Bi)與電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的絞盤相連，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)絞盤實(shí)現(xiàn)繩索的控制，以此動(dòng)態(tài)地調(diào)節(jié)動(dòng)平臺(tái)的位姿，約束機(jī)構(gòu)用于限制動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)輸出形式，位置檢測(cè)用于對(duì)動(dòng)平臺(tái)的直接測(cè)量，其與電動(dòng)機(jī)編碼器測(cè)得的數(shù)值相對(duì)比，可以知道繩索剛度對(duì)位姿控制精度的影響，串聯(lián)在繩索回路中的力傳感器用于繩索拉力的監(jiān)控.

圖1 平面繩索牽引機(jī)器人Fig.1 Plane wire-driven parallel robot

建立世界坐標(biāo)系oxy和局部坐標(biāo)系pxpyp，局部坐標(biāo)系固聯(lián)在動(dòng)平臺(tái)中心，如圖2所示，其中 Bi(i=1，2，3，4)為繩索與過(guò)輪的連接點(diǎn)，Pi為繩索與動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)，該點(diǎn)與局部坐標(biāo)系中心的矢量為ri=PPi，繩 索 矢 量 為 Li=PiBi，繩 索 長(zhǎng) 度 為li=‖Li‖，繩索單位矢量為 ui=Li/li，ti為第 i根繩所受的拉力.

圖2 平面繩索牽引機(jī)器人模型Fig.2 Model of plane wire-driven parallel robot

2 靜態(tài)剛度分析

已知?jiǎng)悠脚_(tái)控制所處位姿，由逆運(yùn)動(dòng)學(xué)可求解繩索長(zhǎng)度.令動(dòng)平臺(tái)中心位姿為X= [Px，Py，θ]T，可以求得Pi的位置:

從而計(jì)算出繩索的長(zhǎng)度:

當(dāng)已知3根繩索長(zhǎng)度時(shí)，考慮動(dòng)平臺(tái)所處工作空間是由Bi構(gòu)成的凸集所確定，便可確定動(dòng)平臺(tái)所處位姿.由于繩索不能承受壓力，為保證系統(tǒng)力的可控性［12］，需4根繩索牽引，這使得機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)學(xué)上體現(xiàn)出不相容性，故4根牽引繩索之間需滿足位置協(xié)調(diào)方程，同時(shí)在位置協(xié)調(diào)方程的影響下也避免了機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)的多解.

根據(jù)平衡條件，建立系統(tǒng)力螺旋平衡方程:

簡(jiǎn)化為

式中:J為力映射矩陣.

考慮到力映射矩陣與速度映射矩陣是互為轉(zhuǎn)置，故:

式中:L為繩索長(zhǎng)度矩陣，L= [llll]T.1234

根據(jù)剛度定義，并依據(jù)微分變換原理可得繩索牽引機(jī)器人的靜態(tài)剛度為［10］

式中:K= [KxKyKθ]T代表動(dòng)平臺(tái)3自由度的運(yùn)動(dòng)剛度.考慮到dT=d[ t1t2t3t4]T，又由于繩索拉力的微分dti與繩索剛度ki和繩索長(zhǎng)度的微分dli之間的關(guān)系為將式(5)代入式(4)的中，并考慮式(3)，則有

這說(shuō)明繩索剛度和繩索布置方式影響特定位姿處動(dòng)平臺(tái)的靜態(tài)剛度.而繩索剛度本身還取決于繩索未受拉力時(shí)的長(zhǎng)度li0，即動(dòng)平臺(tái)處于固定位姿時(shí)，繩索變形后的長(zhǎng)度li是一定的，則繩索拉力將影響繩索長(zhǎng)度li0，從而影響了繩索軸向剛度［12］.由變形條件可列方程:

式中:E為繩索彈性模量，A為繩索橫截面積，Δi為繩索變形量.從式(7)可以看出，增大繩索拉力，繩索表現(xiàn)出的剛度將增大，該增大值與繩索的彈性模量、橫截面積和長(zhǎng)度有關(guān)，可見(jiàn)繩索拉力增大在部分中起到間接地增大動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度的作用.有關(guān)式(4)中是代表繩索拉力對(duì)動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度的直接影響，文獻(xiàn)［8］利用虛功原理對(duì)該部分進(jìn)行了分析.本文將針對(duì)不同繩索拉力條件下動(dòng)平臺(tái)受外力作用前后的運(yùn)動(dòng)量進(jìn)行有限元分析，尋找繩索拉力對(duì)牽引系統(tǒng)動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度的影響規(guī)律.通過(guò)對(duì)式(2)求解可得繩索拉力:

式中:J+=JT(JJT)-1為J的廣義逆，J+F為方程最小范數(shù)解，TNu11=λNu11(J)為繩索拉力零空間解向量，λ為正常數(shù)，Nu11(J)為J的零空間基向量，通過(guò)選取不同λ的可以確定不同的繩索拉力.

3 有限元仿真

參考圖 2，設(shè)計(jì)過(guò)輪中心 Bi(i=1，2，3，4)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(單位均為m)

動(dòng)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)尺寸為0.3×0.2，對(duì)應(yīng)的連接點(diǎn)Pi(i=1，2，3，4)在局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

通過(guò)ANSYS軟件建立平面繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人模型，考慮到牽引繩索的受力特性，即僅能承受拉力不能承受壓力，故選擇有限元單元LINK10作為繩索劃分單元，它獨(dú)特的雙線性剛度矩陣特性使其成為一個(gè)軸向僅受拉或僅受壓的桿單元(該仿真設(shè)置為受拉選項(xiàng)，僅受拉)，使用僅受拉選項(xiàng)時(shí)，如果單元受壓，剛度就消失，以此來(lái)模擬繩索的松弛;此外在該單元的實(shí)常數(shù)中可以設(shè)置繩索的初始應(yīng)變，以此實(shí)現(xiàn)仿真中要針對(duì)不同的繩索初始拉力條件，所以每根繩索的初始應(yīng)變根據(jù)不同的條件分別進(jìn)行設(shè)置.繩索牽引系統(tǒng)中牽引繩索的連接點(diǎn)處可以實(shí)現(xiàn)繞任意方向轉(zhuǎn)動(dòng)，即可等效為球鉸，而在平面繩索牽引機(jī)器人中繩索在過(guò)輪和動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)，可以認(rèn)為是繞垂直軸的鉸鏈.在ANSYS軟件中，選擇有限單元COMBIN7模擬鉸鏈，該單元是一個(gè)三維6自由度鉸鏈連接單元，具有轉(zhuǎn)動(dòng)控制功能.

定義機(jī)器人在某一運(yùn)動(dòng)方向上的等效靜態(tài)剛度為

式中:ΔF為作用在某一運(yùn)動(dòng)方向上的外力;ΔX為在該運(yùn)動(dòng)方向上的位移量.該等效靜態(tài)剛度強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)運(yùn)動(dòng)方向上的靜態(tài)剛度，并未考慮ΔF所引起其他運(yùn)動(dòng)方向上的耦合運(yùn)動(dòng)量.本文利用等效剛度概念，針對(duì)不同機(jī)器人繩索牽引方案，分析繩索拉力對(duì)動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度影響情況.典型完全約束定位機(jī)構(gòu)的繩索布置方案如圖3所示.

圖3 機(jī)器人繩索布置方案Fig.3 The scheme of wire-driven parallel robot

對(duì)動(dòng)平臺(tái)處于中心位置時(shí)進(jìn)行靜態(tài)剛度仿真，即機(jī)器人局部坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系重合.分別設(shè)置穩(wěn)態(tài)時(shí)繩索拉力最小值為 tmin=10，50，100，500，1 000，通過(guò)式(8)可以求出該姿態(tài)下每根繩索的拉力.研究動(dòng)平臺(tái)兩平動(dòng)的等效靜態(tài)剛度，令ΔFx=500 N，ΔFy=500 N，分別進(jìn)行仿真.當(dāng)繩索拉力最小值設(shè)置較小時(shí)，從仿真云圖中可以看出部分繩索已經(jīng)退出牽引狀態(tài)，此時(shí)繩索牽引機(jī)器人屬于不完全約束定位機(jī)構(gòu).圖3(a)方案仿真運(yùn)動(dòng)量結(jié)果如表1所示，取3位有效數(shù)字.

表1 圖3(a)方案仿真結(jié)果Table 1 The simulation results of Fig.3(a)scheme

表(1)通過(guò)線性插值得到等效剛度曲線，如圖4所示.從該圖中可以看出，在繩索最小拉力較小(如tmin＜500 N)時(shí)，隨著繩索最小拉力的增大，動(dòng)平臺(tái)的等效靜態(tài)剛度增大，繩索拉力對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)剛度影響作用表現(xiàn)明顯;而繩索最小拉力增大到一定程度(如tmin＞500 N)時(shí)，其幾乎無(wú)影響作用.綜上得出:繩索拉力對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)剛度影響是非線性.同時(shí)可以看出x軸和y軸等效剛度的變化規(guī)律并不一致，x軸數(shù)值變化范圍小，最小值為254 N/mm，最大值為360 N/mm;y軸數(shù)值變化范圍大，最小值為138 N/mm，最大值為505 N/mm，這與繩索牽引布置方案所關(guān)，說(shuō)明該方案的y軸剛度比x軸受繩索拉力影響敏感.

圖4 方案1等效剛度曲線Fig.4 The equivalent stiffness of scheme 1

對(duì)圖3(b)方案2進(jìn)行等效剛度仿真，其曲線如圖5所示.其繩索拉力對(duì)動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度影響規(guī)律與圖3(a)方案一致.x軸等效剛度數(shù)值變化范圍小，最小值為112 N/mm，最大值為221 N/mm;y軸等效剛度數(shù)值變化范圍大，最小值為331 N/mm，最大值為641 N/mm，在該方案中，y軸剛度始終比x軸大，與圖3(a)方案1對(duì)比，從側(cè)面反映出繩索牽引結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度的影響.

對(duì)圖3(c)方案3進(jìn)行等效剛度仿真，其曲線如圖6所示.其繩索拉力對(duì)動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度影響規(guī)律與圖3(a)、(b)方案1、2一致.x軸和y軸等效剛度數(shù)值變化范圍基本相同，其中 x軸的最小值為248N/mm，最大值為500N/mm;y軸的最小值為329N/mm，最大值為640N/mm，在該方案中，y軸剛度與x軸的差相對(duì)圖3(b)方案2有所減小，表現(xiàn)出的各向剛度相對(duì)均勻，這是繩索非交叉布置的優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)該布置也將降低繞z軸的運(yùn)動(dòng)范圍.

圖5 方案2等效剛度曲線Fig.5 The equivalent stiffness of scheme 2

圖6 方案3等效剛度曲線Fig.6 The equivalent stiffness of scheme 3

綜上3種平面繩索牽引機(jī)器人靜態(tài)剛度的仿真，結(jié)果說(shuō)明繩索拉力對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)剛度影響是非線性;同時(shí)也證明了繩索布置方案同樣影響動(dòng)平臺(tái)的靜態(tài)剛度.

4 結(jié)論

1)依據(jù)所建立的平面繩索牽引機(jī)器人模型，通過(guò)對(duì)靜態(tài)力螺旋平衡方程的微分變換，推導(dǎo)出動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度的解析表達(dá)式，得出該剛度與繩索拉力、繩索拉伸剛度、繩索布置方案和動(dòng)平臺(tái)所處位姿有關(guān).

2)根據(jù)繩索牽引特性，選擇了有限單元，利用有限元軟件ANSYS建立了平面繩索牽引機(jī)器人模型，定義了等效靜態(tài)剛度，并進(jìn)行了有限元仿真，得出在繩索最小拉力較小(如tmin＜500 N)時(shí)，隨著繩索最小拉力的增大，動(dòng)平臺(tái)的等效靜態(tài)剛度增大，繩索拉力對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)剛度影響作用表現(xiàn)明顯;而繩索最小拉力增大到一定程度(如tmin＞500 N)時(shí)，其幾乎無(wú)影響作用.同時(shí)證明了繩索布置方案對(duì)動(dòng)平臺(tái)靜態(tài)剛度的影響作用.

3)該研究?jī)?nèi)容為繩索牽引系統(tǒng)的定位精度和運(yùn)動(dòng)控制研究提供指導(dǎo)性意義.

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