陶瑞民

（新余學(xué)院，江西 新余 338031）

與有限元方法相比邊界元方法最大的優(yōu)點(diǎn)是可以降低分析問題的維數(shù)，對(duì)于拉氏方程，不需要離散整個(gè)求解區(qū)域，只需對(duì)邊界進(jìn)行離散，因此未知數(shù)相對(duì)減少。邊界元方法與有限元方法的區(qū)別之一是兼有解析和數(shù)值的特點(diǎn)，計(jì)算精度高，適合開域場(chǎng)分析。但邊界元方法存在奇異積分問題，必須解決這個(gè)問題。本文對(duì)邊界積分方程的建立，邊界積分方程的離散和奇異積分的處理及多種材料時(shí)邊界元方法的處理及應(yīng)用進(jìn)行了深入的研究。

1 基本方程

永磁電機(jī)的靜磁場(chǎng)具有一類和二類邊界S1，S2，求解區(qū)域D上滿足拉氏方程

無限域問題的基本解

式中，r表示電荷集中的作用點(diǎn)（又稱源點(diǎn)）P到觀測(cè)點(diǎn) Q（又稱場(chǎng)點(diǎn)）之間的距離，是場(chǎng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，（ xp, yp, zp）是源點(diǎn)P的坐標(biāo)。在區(qū)域D內(nèi)，用加權(quán)余量法。以拉式方程的基本解作為權(quán)函數(shù)，利用高斯積分公式，在邊界上得到邊界元基本方程。

邊界積分方程的推導(dǎo)和積分方程的推導(dǎo)很類似，兩者的不同之處只在于需要將源點(diǎn)P移到邊界S上。當(dāng)邊界S上的場(chǎng)點(diǎn)Q與源點(diǎn)P趨于接近時(shí)，和具有奇異性，這將給問題的求解帶來很大的麻煩。為求得良好的計(jì)算，必須消除奇異性。為此，需以P點(diǎn)為中心，以ε為半徑作球面去掉奇點(diǎn)，具體做法是在三維區(qū)域邊界上以很小的ε作半球，然后使其半徑趨于零，則此點(diǎn)變?yōu)檫吔琰c(diǎn)。假設(shè)邊界是S2，且被分成兩部分，若已知半球表面積為 2 πε2，令ε→0 ，且φ→φ*，則可得

式中，φi是邊界上的值。式（4）就是直接邊界積分方程。當(dāng)i點(diǎn)處于光滑表面時(shí)， ci= 1 /2；當(dāng)i點(diǎn)處于不光滑表面時(shí)， ci的系數(shù)不是1/2，而是與邊界上i點(diǎn)所處的立體角有關(guān)。

由此可見，奇點(diǎn)本身對(duì)積分的貢獻(xiàn)已經(jīng)分離出來，包含在 ciφi項(xiàng)中。式（4）中的面積分不再包含奇點(diǎn)，b為空間電荷量。當(dāng)b=0時(shí)，即為當(dāng)空間電荷為零時(shí)電場(chǎng)滿足拉普拉斯方程。

用邊界元法對(duì)式（4）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，首先對(duì)邊界進(jìn)行離散。

將單元上任意點(diǎn)的坐標(biāo)、電位及電位的方向?qū)?shù)用單元上的局部坐標(biāo)(ξ ,η)和插值公式來表示，這樣就將任意四邊形單元變換為邊長(zhǎng)為2的正方形基單元，如圖1所示。對(duì)式（4）邊界積分方程進(jìn)行離散，于是有

式中，D(e,l)表示單元e上第l 個(gè)節(jié)點(diǎn)在N個(gè)總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)中的序號(hào)，J為雅可比矩陣，l為1到8節(jié)點(diǎn)，Nl為插值基函數(shù)。由式（5）可以看出積分號(hào)中不含未知量，可以經(jīng)過積分得到確定值。式（5）可以列出N個(gè)方程，而每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)變量，但其中一個(gè)是已知的，所以，式（5）成為 N個(gè)變量的 N個(gè)方程的方程組，用矩陣表示為

離散方程式中，H矩陣和G矩陣的元素中含有二重積分

如果源點(diǎn)P不在當(dāng)前單元e上，r就不會(huì)趨于零，積分無奇異性，可以直接采用高斯積分計(jì)算。如果源點(diǎn)P是當(dāng)前單元e上的某一節(jié)點(diǎn)時(shí)，積分 l1和 l2就具有奇異性，l1和 l2分別為一階和二階奇異積分。這時(shí)，應(yīng)先取消積分奇異性，然后再用高斯積分來計(jì)算。

2 處理奇異積分的電位特解法

由上面的分析可見，用傳統(tǒng)的邊界元方法計(jì)算場(chǎng)量時(shí)，一個(gè)關(guān)鍵而又棘手的問題是奇異積分的處理問題。因此，在邊界元方法的研究中，消除奇異性的問題一直是一個(gè)重要的研究課題。本文在研究了邊界元方程的特點(diǎn)后，采用了一種新的邊界元奇異積分的處理方法 電位特解法。

圖2 退化單元

積分 l1奇異性的降階可以通過退化單元來實(shí)現(xiàn)。在圖2（a）所示奇異單元上，設(shè)第1點(diǎn)為奇點(diǎn)，消除奇異性的方法是以此節(jié)點(diǎn)為頂點(diǎn)，將奇異單元?jiǎng)澇蓛蓚€(gè)三角形單元，如圖2（b）所示。把每個(gè)三角形都看作是由圖2（c）所示的四邊形單元退化而成，即三角形單元的奇點(diǎn)是由四邊形的一條邊退化成的。

在退化單元中，場(chǎng)點(diǎn)Q到源點(diǎn)P的距離r以及雅可比J可用插值公式求得。

對(duì)于只有一階奇異性的積分 用退化單元消除奇異性，再用高斯積分來計(jì)算。對(duì)于有二階奇異性的積分 用退化單元還不能消除奇異性。二階奇異性的積分 l2只出現(xiàn)在 H矩陣的對(duì)角線上，因此本文采用電位特解法，由已確定的元素值來推算出對(duì)角線上元素。在無外電荷作用下，設(shè)

式中，φ0是任意給定的值。將式（9）代入式（6）式得

上式右端是已經(jīng)確定的矩陣元素。這樣不僅確定了H陣中的奇異元素，而且連 ci也不用再單獨(dú)計(jì)算了。

3 計(jì)算實(shí)例

160kVA永磁電機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖3所示，本文用邊界元方法計(jì)算了永磁電機(jī)的電場(chǎng),獲得了比較滿意的結(jié)果，圖4、圖5是永磁電機(jī)的磁場(chǎng)分布情況。

圖3 160 kW稀土永磁同步發(fā)電機(jī)三維結(jié)構(gòu)圖

圖4 磁場(chǎng)沿徑向分布

圖5 磁場(chǎng)沿角度分布

4 結(jié)論

（1）本文用邊界元方法計(jì)算了永磁電機(jī)的磁場(chǎng)，解決了邊界元方法中奇異積分問題。

（2）本文的研究對(duì)永磁電機(jī)的設(shè)計(jì)起到一定的作用。

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