侯翠翠，干宗良

(南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，江蘇南京 210003)

0 引言

圖像插值是利用已知鄰近像素點(diǎn)的灰度值來(lái)產(chǎn)生未知像素點(diǎn)的灰度值，從而再生出具有更高分辨率的圖像。圖像插值能夠有效地提高圖像的分辨率，它已經(jīng)成為圖像領(lǐng)域中的一項(xiàng)熱門課題，被廣泛地應(yīng)用到軍事、航空、醫(yī)學(xué)、通訊、氣象、遙感、動(dòng)畫制作、電影合成等領(lǐng)域。目前提出了很多圖像插值的方法。傳統(tǒng)的插值技術(shù)［1，2］，如線性插值、雙立方插值、樣條插值。雖然復(fù)雜度低，計(jì)算速度快，但易產(chǎn)生鋸齒、模糊以及振鈴效應(yīng)等?；谶吘壍牟逯导夹g(shù)［3］，可提高圖像的邊緣清晰度，但存在邊緣偏離的現(xiàn)象，放大倍數(shù)越大，偏離越嚴(yán)重?；趨^(qū)域的插值技術(shù)［4］，在主觀和客觀上，都能獲得較好的圖像質(zhì)量。

在眾多的插值算法中，SAI算法［5］獲得了比較好的插值效果，它采用最小二乘法優(yōu)化PAR模型參數(shù)。本文提出了一種新的PAR模型參數(shù)優(yōu)化方法:基于EM算法的PAR模型參數(shù)優(yōu)化。本文算法的核心思想:E步用已知的像素值和估計(jì)出的PAR模型參數(shù)估計(jì)插入值;M步用已知的像素值和E步估計(jì)出的插值對(duì)PAR模型參數(shù)估計(jì)值修正。相比SAI算法，本文算法獲得了更好的圖像邊緣以及較高的峰值信噪比。

1 SAI算法的基本理論

SAI算法的關(guān)鍵是解決3個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，即PAR模型參數(shù)矢量 a=(a1，a2，a3，a4)，b=(b1，b2，b3，b4)的最優(yōu)化以及圖像插入值的最優(yōu)化。

PAR模型參數(shù)a、b采用最小二乘法優(yōu)化，即:

其中，W是正八角形的窗。

然后，通過(guò)最小化式J(λ)估計(jì)出圖像插入值。即:

其中，λ一般取0.5。式(1)－(3)中，符號(hào)表示的意義如圖1所示。

圖1 PAR模型參數(shù)a，b及像素位置的配置

2 基于EM算法的SAI插值算法

2.1 EM算法簡(jiǎn)介

EM算法是一種基于數(shù)據(jù)添加思想的迭代算法，是Demmpeter等人1977年提出求參數(shù)極大似然估計(jì)的一種方法，它可以從非完整數(shù)據(jù)中計(jì)算出參數(shù)的最大似然估計(jì)。它廣泛地應(yīng)用于處理缺損數(shù)據(jù)，截尾數(shù)據(jù)，帶有討厭資料等的非完整數(shù)據(jù)。

EM算法的每次迭代過(guò)程執(zhí)行兩步:E步(Expectation step，期望步)，在給定觀測(cè)數(shù)據(jù)和前一次迭代參數(shù)估計(jì)的情況下，極大化缺失數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)的條件期望，從而估計(jì)出缺失數(shù)據(jù);M步(Maximization step，最大化步)，在給定觀測(cè)數(shù)據(jù)和E步缺失數(shù)據(jù)估計(jì)的情況下，通過(guò)極大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)以確定參數(shù)的值，并用于下一次的迭代。算法在E步和M步間反復(fù)進(jìn)行，直到算法收斂。

2.2 基于EM算法的模型參數(shù)估計(jì)

由式(1)可知，SAI算法中，模型參數(shù)b是由 xi和它的4個(gè)相鄰像素估計(jì)所得，它和式(3)中的模型參數(shù)b是同方向且等距離的，如圖2(a)所示。但由于圖像采樣后的協(xié)方差可能改變，所以直接將式(1)估計(jì)出的b用于式(3)可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)的過(guò)擬合，使插值圖像產(chǎn)生錯(cuò)誤的邊緣。因此，本文將用估計(jì)出的圖像插入值yi和它的4個(gè)相鄰像素對(duì)式(1)中的模型參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行修正。則此時(shí)模型參數(shù)b的估計(jì)可表示為:

圖2 式(1)和式(3)中模型參數(shù)a，b的比較

同理，式(2)中模型參數(shù)估計(jì)也可用圖像的插入值yi和它的4個(gè)相鄰像素來(lái)修正。同時(shí)，式(2)的模型參數(shù)a的估計(jì)還存在一個(gè)問(wèn)題:式(2)中xi和它的相鄰像素的距離是式(3)中yi和它的相鄰像素距離的2倍，如圖2(b)所示。由于不同間隔距離的像素之間的相關(guān)性不一定相一致，所以將式(2)的估計(jì)值用于式(3)中插入值的估計(jì)，估計(jì)出的插入值難免存在誤差。針對(duì)上述問(wèn)題，本文將用估計(jì)出的圖像插入值yi和再次對(duì)式(2)中的估計(jì)值進(jìn)行修正。則此時(shí)模型參數(shù)a的估計(jì)可表示為:

式(3)－式(5)中，低分辨率圖像像素 xi已知，插入的像素yi和PAR模型參數(shù)a，b均未知，該問(wèn)題可用EM算法解決。在統(tǒng)計(jì)模型中，把插入的像素值yi看作是缺失數(shù)據(jù)，則yi和xi可組成完整數(shù)據(jù)，模型參數(shù)a和b可作為未知參數(shù)，希望在丟失數(shù)據(jù)yi的情況下得到模型參數(shù)a和b的最大似然估計(jì)。則EM的主要思想如下:

(3)M步驟:E步驟獲得的插入值yi和低分辨率圖像像素xi，通過(guò)計(jì)算式(4)和式(5)獲得模型參數(shù)估計(jì)值

(4)重復(fù)E和M步驟，直至超過(guò)設(shè)定的迭代次數(shù)(一般取3次)，輸出圖像插入值yi。

2.3 算法的具體實(shí)施

取W是正八角形窗，則式(3)可以寫成矩陣的形式:

其中，矩陣C、D在SAI算法中已經(jīng)給出，向量y是窗中要插入的像素，僅取窗內(nèi)最里面的像素。向量x是窗中的已知像素。

同樣，式(4)和式(5)也可以表示為矩陣形式:

其中，矩陣B的第i(i=1，2，…，21)行是 xi的4個(gè)四方向的相鄰像素和第i(i=22，23，…，33)行是 yi的4個(gè)四方向的相鄰像素。向量v是窗中的已知像素 x1，x2，…，x21和y1，y2，…，y12.

其中，矩陣A的第i(i=1，2，…，21)行是 xi的4個(gè)八方向的相鄰像素和第 i(i=22，23，…，33)行是 yi(i=1，2，…，12)的4個(gè)八方向的相鄰像素 xi和第i(i=34，35，…，45)行是yi(i=1，2，…，12)的4個(gè)八方向的相鄰像素 yi。向量 v是窗中的像素 x1，x2，…，x21和 y1，y2，…，y12。

如2.2所述，采用EM算法解式(6)－(8)。

上述僅介紹了第一步的插值過(guò)程，第二步插值與第一步插值唯一的不同處是，第二步的插入像素采用它的4個(gè)四方向的相鄰xi像素或第一步插入的像素yi來(lái)估計(jì)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文采用圖像 lena、boy、fish、mrit、flower作為測(cè)試圖像，如圖3所示。以雙立方插值算法，SAI算法以及本文所提出的算法進(jìn)行2倍插值實(shí)驗(yàn)對(duì)比。

圖3 本文用到的測(cè)試圖像

為觀察圖像放大后的細(xì)節(jié)，在lena、boy、fish測(cè)試圖像中分別取尺寸為200×200的子圖像作為觀測(cè)圖像，先對(duì)子圖像進(jìn)行2×2的下采樣，然后分別用3種算法對(duì)下采樣圖像進(jìn)行2×2插值，結(jié)果如圖4所示。以lena的局部放大圖像為例，雙立方插值算法中l(wèi)ena的肩膀處存在嚴(yán)重的模糊及沿邊緣方向的鋸齒;相比于雙立方插值，SAI算法能有效地減少圖像邊緣的模糊及沿邊緣方向的鋸齒，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，lena圖像的肩膀邊緣仍有模糊和細(xì)小的鋸齒;相比于SAI算法，本文算法進(jìn)一步減少了圖像的模糊和鋸齒效應(yīng)，獲得了更好的視覺(jué)效果。

圖4 幾幅圖像的局部放大效果

為了測(cè)試算法的全局性能，計(jì)算插值圖像的峰值信噪比，結(jié)果見(jiàn)表1，差值是本文算法比其它兩種算法高出的峰值信噪比。從中可以看出，本文算法的峰值信噪比比雙立方插值算法高0.17dB～1.89dB，比 SAI算法的峰值信躁比高0.10dB～0.37dB。這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果所表現(xiàn)出的視覺(jué)效果是一致的。

表1 3種插值算法的峰值信噪比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于EM算法的PAR模型參數(shù)優(yōu)化算法。在E步利用估計(jì)出的PAR模型參數(shù)和已知的像素值估計(jì)出圖像插入值，在M步利用E步估計(jì)的插入值和已知的像素值估計(jì)出模型參數(shù)。仿真結(jié)果表明，本文所提出算法獲得了良好視覺(jué)效果和客觀質(zhì)量。

［1］Keys R G.Cubic Convolution Interpolation for Digital Image Processing［J］.IEEE Trans-actions on Acoustics，Speech and Signal Processing，1981，29(6):1153－1160.

［2］Hou H S，Andrews H C.Cubic Splines for Image Interpolation and Digital Filtering［J］.IEEE Transactions on A-coustics，Speech and Signal Processing，1978，26(6):508－517.

［3］Li X，Orchard M T.New Edge-Directed Interpolation［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2001，10(10):1521－1527.

［4］王會(huì)鵬，周利莉，張杰.一種基于區(qū)域的雙三次圖像插值算法［J］.計(jì)算機(jī)工程，2010，36(19):216－218.

［5］Zhang X，Wu X.Image Interpolation by Adaptive 2-D Autoregressive Modeling and Soft Decision Estimation［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2008，17(6):887－896.

［6］Wu X，Barthel E U，Zhang W.Piecewise 2D Autoregression for Predictive Image Codings［C］.Proceedings of IEEE InternationalConferenceon ImageProcessing，1998，3:901－904.