李濤 于曉楠

1沈陽理工大學(xué) 遼寧 110168 2大連海事大學(xué) 遼寧 116023

0 引言

目前，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的整體動力學(xué)行為和整個網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相互作用的研究引起廣泛的關(guān)注。研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的最終目的是要了解網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如何影響網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為，以及反過來網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如何受動力學(xué)影響，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制及其穩(wěn)定性分析就是其中一項重要的研究內(nèi)容。在控制一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到某一穩(wěn)定狀態(tài)時，牽制控制是一種十分經(jīng)濟(jì)實用的控制策略。特別是通過對網(wǎng)絡(luò)中的少數(shù)節(jié)點施加線性誤差反饋控制將網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定到一個均勻的平衡點狀態(tài)，即是網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點的狀態(tài)都穩(wěn)定到單個節(jié)點的平衡點上。一個很有趣的結(jié)論就是僅僅控制網(wǎng)絡(luò)中的任何一個節(jié)點，就可以將整個復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)控制到這樣一個均勻的平衡點狀態(tài)。

1 預(yù)備知識

考慮一個由N個相同的線性分散耦合節(jié)點構(gòu)成的延遲復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，其中每個節(jié)點都是一個n維的動力學(xué)系統(tǒng)。第i節(jié)點的狀態(tài)方程為：

這里x(t) = (x(t),x(t) , L ,x(t) )T∈Rn是第i個節(jié)點的狀

ii1i2in態(tài)向量，常數(shù)τ(t)＞0代表延遲函數(shù)。f(·)是一個描述節(jié)點動力學(xué)特性的連續(xù)可微的向量函數(shù)，常數(shù)a＞ 0 是網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度。常數(shù)對稱矩陣 Γ = （γ）∈Rn×n是各個節(jié)點狀態(tài)變量ij之間的內(nèi)部耦合矩陣，這里假設(shè)每個節(jié)點的內(nèi)部耦合矩陣是完全相同的。耦合矩陣B= (bij) ∈RN×N代表網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，若節(jié)點i和j(j≠i)之間有連接，則bij=bji= 1 ；否則bij=bji= 0 。在本文的模型中，耦合系數(shù)滿足如果節(jié)點的度ki定義為與第i個節(jié)點連接的邊的數(shù)目，則

我們的目標(biāo)是使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到一個穩(wěn)定狀態(tài)，也就是當(dāng)t→∞時

這里是孤立節(jié)點的平衡點，滿足條件

為了實現(xiàn)目標(biāo)(4)我們選擇控制網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點來達(dá)到控制整個網(wǎng)絡(luò)的目的。不失一般性，我們選擇前l(fā)個節(jié)點作為被控節(jié)點，l是Nδ的整數(shù)部分。

因此，該被控網(wǎng)絡(luò)的第i個節(jié)點的狀態(tài)方程為：

該系統(tǒng)的局部負(fù)反饋控制器的方程為：

本文考慮的是無向網(wǎng)絡(luò)，同時我們假設(shè)網(wǎng)絡(luò)(1)是連同的。從而我們得到耦合矩陣B是一個不可約的實對陣矩陣，即T

BB= 。對于本文中其他部分，我們作出如下假設(shè)：

假設(shè) 1.()tτ是一個可微函數(shù)，滿足下列條件：

引理1. 如果一個實對稱不可約矩陣B= (bij) ∈RN×N滿足下列兩個條件：

則有：

(a) 0是矩陣 B的最大特征值且對應(yīng)的特征向量為[1,1, ,1]T

L ；

(b) B的其它特征值都是負(fù)實數(shù)；

(c) 存在一個非奇異矩陣

這里 0 =λ1＞λ2≥λ3≥ L ≥λN是矩陣B的特征值。

引理2.如果矩陣B符合引理1中的定義，非零對角矩陣D定義如下：

這里di≥ 0 (i= 1 , 2,L ,N)，

則C=B-D是負(fù)定矩陣。

引理3.假設(shè)

Q(x) =QT(x)、R(x) =RT(x)線性矩陣不等式

與下面的條件之一等價：

(a)Q(x) ＞ 0 ,R(x) -ST(x)Q-1(x)S(x) ＞ 0

(b)R(x)＞ 0 ,Q(x) -S(x)R-1(x)ST(x) ＞ 0

2 帶有時變延遲的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的牽制同步判據(jù)

定理1.如果下列N個微分方程

η˙k(t) =J(t)ηk(t) +aλkΓηk(t-τ(t)), i=1, 2, …, N, (8)

關(guān)于其零解漸進(jìn)穩(wěn)定，則被控網(wǎng)絡(luò)(5)能夠達(dá)到局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

這里J(t) ∈RN×N是f(xi(t))在s(t)附近估計的 Jacobian矩陣。

證明. 定義誤差系統(tǒng)ei=xi(t) -x,i=1, 2, …,N，則有

由于f(xi(t))是連續(xù)可微的，將被控網(wǎng)絡(luò)(5)在平衡狀態(tài)附近線性化，得到；

這里J(t) ∈Rn×n是f(xi(t))在x附近估計的 Jacobian矩陣，且C=B-D，D=diag(d1,d2, LdN)。

由引理1和引理2知C是負(fù)定對稱矩陣，所以可知C的特征值是嚴(yán)格的小于零的，其特征值定義如下：

其相對應(yīng)的特稱向量為：

滿足：

定 義η(t) = (η1(t) ,η2(t) , L ,ηN(t))，基 于 特 征 向 量{φ1,φ2,L ,φN}，我們可以得到：

于是由(9)和(13)可得如下的等式：

這里 Λ =diag(λ1,λ2,L ,λN)，所以我們只需要使下列N個微分方程：

關(guān)于其零解漸進(jìn)穩(wěn)定，則被控網(wǎng)絡(luò)(5)能夠達(dá)到局部漸進(jìn)穩(wěn)定，證畢。

最后指出：這里我們將(N×n)維的非線性系統(tǒng)(5)的局部穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為N個獨立的m維的線性系統(tǒng)(8)的穩(wěn)定性問題。

下面的定理給出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)關(guān)于平衡狀態(tài)x的局部漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。

定理2.如果存在矩陣P＞ 0 ，Q＞ 0 ，R＞ 0 ，M＞ 0 和適當(dāng)維數(shù)的矩陣N1，N2滿足下列條件：

則被控網(wǎng)絡(luò)(5)能夠達(dá)到局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

這里

則有：

由Newton-Leibniz 公式可得下面的公式：

那么下面我們可以得到

則我們可以知系統(tǒng)(8)局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

由引理3，可知式(23)等價于下式：

通過引理3，由式(22)和(24)我們可以得到以下的穩(wěn)定性條件：

再由引理3知條件(11)與條件(25)等價，所以0V＜˙，也就是說被控網(wǎng)絡(luò)(5)能夠達(dá)到局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

3 仿真實例

為了驗證前面得到的理論結(jié)果，下面我們以三維非線性系統(tǒng)為節(jié)點構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行分析。這里我們只選擇具有代表性的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真。

我們?nèi)∑胶鉅顟B(tài)x= [ 0 0 0]T考慮全狀態(tài)耦合矩陣Γ=diag(1 1 1)，則整個被控網(wǎng)絡(luò)可以描述為：

設(shè)計如下的狀態(tài)反饋控制律：

在下面的仿真研究中，考慮耦合時延τ(t)=sin(t)+1選擇了網(wǎng)絡(luò)規(guī)模有 50個節(jié)點(N=50)，初始值一致分布在區(qū)間[-1 1]內(nèi)的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)定理的結(jié)論，可求得耦合強(qiáng)度0＜a＜0.08。

圖1 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在 0.09a= 時的狀態(tài)變化圖

圖1(a)和(b)給出了不同的耦合強(qiáng)度對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)變化圖。當(dāng) 0.02a= 時滿足穩(wěn)定條件，網(wǎng)絡(luò)能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng) 0.09a= 時不滿足穩(wěn)定條件，網(wǎng)絡(luò)不能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。所以說耦合強(qiáng)度過大反而會破壞網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性；而對于無延遲網(wǎng)絡(luò)來說，隨著耦合強(qiáng)度的增大網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性能會增強(qiáng)。

圖 1(a)是在 0.09a= 時牽制控制度最大的節(jié)點時的控制效果圖，從圖1(b)中可以看出在未施加控制時網(wǎng)絡(luò)不能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；而在牽制其中一個度最大的節(jié)點后，網(wǎng)絡(luò)能夠很快的達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。這說明特定牽制控制BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的一個節(jié)點就能達(dá)到很好的控制效果。

4 總結(jié)

本文主要研究了帶有時變延遲的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題，得到了與時間相關(guān)的穩(wěn)定條件。選擇的 Lyapunov-Krasovskii函數(shù)能夠充利用這個延遲量的信息，降低了所得穩(wěn)定條件的保守性。所用的方法主要是在平衡點附近進(jìn)行了線性化處理，同時將網(wǎng)絡(luò)相互關(guān)聯(lián)的N個動力學(xué)系統(tǒng)解耦為N個獨立的動力學(xué)系統(tǒng)，使得網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜的動力學(xué)特性變得容易處理。在此基礎(chǔ)上，我們對每個獨立的系統(tǒng)進(jìn)行分析，得到確保整個網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的充分條件。本文的研究還表明：復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的動力學(xué)特性、節(jié)點之間的耦合強(qiáng)度、內(nèi)部的耦合矩陣、節(jié)點的耦合特征矩陣和牽制反饋增益等共同決定著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性能。

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