曹成度 王 鵬

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,湖北武漢 430063)

在高速鐵路CPⅢ控制網(wǎng)測量中,觀測誤差按性質(zhì)包括三種成分：粗差Δg、系統(tǒng)誤差Δs、偶然誤差Δn,即Δ=Δg+Δs+Δn。目前CPⅢ控制網(wǎng)數(shù)據(jù)處理通常按經(jīng)典平差的方法進行,經(jīng)典平差的前提是觀測值中僅包含偶然誤差,即Δg=0、Δs=0、Δ=Δn,事實上在平差前完全剔除粗差和消除系統(tǒng)誤差的影響是不可能的。在平差中,系統(tǒng)誤差對每一個觀測元素都有影響。系統(tǒng)誤差不像粗差那樣事先一無所知,可預先估計可能存在那些類型的系統(tǒng)誤差,通過引入附加參數(shù)進行自動補償。如果觀測值中存在系統(tǒng)誤差,在平差中不考慮其影響,按最小二乘原理估計平差參數(shù),則所得的平差估計參數(shù)不是最優(yōu)線性無偏估計量。

CPⅢ控制網(wǎng)水平角測量采用盤左盤右全圓方向觀測法,可消除水平度盤和照準部偏心差、視準軸誤差和橫軸誤差等系統(tǒng)誤差,而距離觀測則沒有較好的觀測方法來消除其系統(tǒng)誤差(測距固定誤差、比例誤差)。

1 附加系統(tǒng)參數(shù)平差的數(shù)學模型

對經(jīng)典高斯-馬爾柯夫模型加以擴展,得

(1)

(2)

或?qū)憺?/p>

(3)

隨機模型為

E(Δ)=BS

(4)

E(L)=AX+BS

(5)

(6)

上式(3)就是附加系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)模型,其誤差方程可寫為

(7)

式中P為觀測值的權陣,按最小二乘原理,得法方程為

(8)

設ATPA=N11滿秩,N12=ATPB,N21=BTPA,N22=BTPB

則法方程系數(shù)陣N為

(9)

解法方程得

(10)

2 附加系統(tǒng)參數(shù)平差模型的選擇

系統(tǒng)誤差一般是服從某一函數(shù)規(guī)律的誤差,如果在平差前對系統(tǒng)誤差的出現(xiàn)規(guī)律有所了解,則可以顧及其特點,將系統(tǒng)參數(shù)附加到函數(shù)模型中。對于CPⅢ控制網(wǎng)而言,使用全站儀和配套棱鏡進行距離觀測,則系統(tǒng)誤差一般呈現(xiàn)為測距固定誤差和測距比例誤差的特點。

2.1 顧及測距固定誤差的附加參數(shù)模型

在CPⅢ控制網(wǎng)測量中,用全站儀測量的距離存在明顯的系統(tǒng)性固定誤差,平差時可設立固定誤差改正數(shù)來減弱或消除系統(tǒng)性長度差影響。固定誤差改正數(shù)設立可根據(jù)全站儀使用的臺數(shù),設立一個或幾個。

由距離觀測值S及其改正數(shù)vS和待定點坐標近似值x0、y0及其未知改正量δx、δy,可建立以下關系式

Sij+vSij=

(11)

因δxi、δyi……等為未知小量,上式按泰勒級數(shù)展開,并僅取一次小量,經(jīng)移項歸納后,邊長誤差方程式為

(12)

(13)

i、j兩點間設立固定誤差改正數(shù)的邊長誤差方程式為

(14)

式中,δD=D-D0,取邊長固定誤差D的近似值D0=0,則δD=D。

2.2 顧及測距比例誤差的附加參數(shù)模型

在CPⅢ控制網(wǎng)測量中,用全站儀測量的距離存在明顯的系統(tǒng)性長度差,并且總是按邊長比例的偏短或偏長,平差時可設立比例誤差(尺度誤差)改正數(shù)來減弱或消除系統(tǒng)性長度差影響。

i、j兩點間設立比例誤差改正數(shù)的邊長誤差方程式為

(15)

3 附加系統(tǒng)參數(shù)的統(tǒng)計檢驗

CPⅢ控制網(wǎng)平差中,引入附加固定誤差參數(shù)或比例誤差參數(shù)后改變了原平差模型,附加參數(shù)是否需要引入則需要進行統(tǒng)計檢驗。附加參數(shù)的統(tǒng)計檢驗可以采用基于殘差平方和的檢驗方法,這種檢驗方法的思路是對附加參數(shù)的函數(shù)模型和原函數(shù)模型進行比較檢驗,來判斷兩種模型是否有顯著性差異,如無顯著性差異,表明附加系統(tǒng)參數(shù)模型是不必要的,原模型是正確的。具體做法如下。

(1)模型合理性檢驗

檢驗的原假設為

(16)

備選假設為

(17)

用χ2統(tǒng)計量

(18)

拒絕域為

(19)

(2)附加參數(shù)必要性檢驗

(20)

用F統(tǒng)計量

(21)

拒絕域為

F>Fα,r2,r1

(22)

這個檢驗的意義是,引入附加系統(tǒng)誤差參數(shù)后平差結果是否比原平差模型有顯著性差異,接受H0,表示引入并比一定必要,接受H1,表示要引入。

4 算例分析

以下將以一個實際高速鐵路CPⅢ控制網(wǎng)進行試算分析,對該控制網(wǎng)的邊長觀測值加入固定誤差、比例誤差,并嘗試采用附加系統(tǒng)參數(shù)的平差方法進行平差計算,比較附加系統(tǒng)參數(shù)的平差方法與經(jīng)典約束平差方法的差異。

試算數(shù)據(jù)采用某段高速鐵路CPⅢ平面控制網(wǎng)數(shù)據(jù)，該段CPⅢ控制網(wǎng)全長約8.65 km,呈東北西南走向。

4.1 附加固定誤差的計算比較

準備兩套試算數(shù)據(jù),一套為原始CPⅢ平面觀測數(shù)據(jù),另一套為對原始CPⅢ平面觀測數(shù)據(jù)距離觀測值加入2 mm的固定誤差的數(shù)據(jù)。分別采用經(jīng)典約束平差方法和附加參數(shù)平差方法對兩套數(shù)據(jù)進行平差。

加入固定誤差的數(shù)據(jù)采用約束平差方法和附加參數(shù)平差方法的平差結果比較如圖1所示。

加入固定誤差的數(shù)據(jù)采用附加參數(shù)平差,原始CPⅢ觀測數(shù)據(jù)采用約束平差,平差結果比較如圖2所示。

圖2 不同方法的比較(二)

加入固定誤差的數(shù)據(jù)采用約束平差,原始CPⅢ觀測數(shù)據(jù)采用約束平差,平差結果比較如圖3所示。

圖3 不同方法的比較(三)

從以上比較結果可以看出,加入固定誤差的數(shù)據(jù)采用附加參數(shù)平差與原始CPⅢ觀測數(shù)據(jù)采用約束平差的平差結果極為相近,而加入固定誤差的數(shù)據(jù)采用約束平差與原始CPⅢ觀測數(shù)據(jù)采用約束平差的平差結果相差較大,特別是CPⅢ控制網(wǎng)的兩端相差較大；并且加入固定誤差的數(shù)據(jù)采用附加參數(shù)平差求得的固定誤差參數(shù)為2.09 mm,與設計加入的2 mm固定誤差接近。對平差模型中附加的參數(shù)進行統(tǒng)計檢驗,結果表明引入的附加參數(shù)合理。

4.2 附加比例誤差的計算比較

準備兩套試算數(shù)據(jù),一套為原始CPⅢ平面觀測數(shù)據(jù),另一套為對原始CPⅢ平面觀測數(shù)據(jù)加入5pp m的比例誤差的數(shù)據(jù)。分別采用經(jīng)典約束平差方法和附加參數(shù)平差方法對兩套數(shù)據(jù)進行平差,平差結果比較分析如下。

加入比例誤差的數(shù)據(jù)采用約束平差方法和附加參數(shù)平差方法的平差結果比較如圖4所示。

圖4 不同方法的比較(四)

加入比例誤差的數(shù)據(jù)采用附加參數(shù)平差,原始CPⅢ觀測數(shù)據(jù)采用約束平差,平差結果比較如圖5所示。

圖5 不同方法的比較(五)

加入比例誤差的數(shù)據(jù)采用約束平差,原始CPⅢ觀測數(shù)據(jù)采用約束平差,平差結果比較如圖6所示。

圖6 不同方法的比較(六)

從以上比較結果可以看出,加入比例誤差的數(shù)據(jù)采用附加參數(shù)平差與原始CPⅢ觀測數(shù)據(jù)采用約束平差的平差結果相近,而加入比例誤差的數(shù)據(jù)采用約束平差與原始CPⅢ觀測數(shù)據(jù)采用約束平差的平差結果在CPⅢ控制網(wǎng)的兩端相差較大；并且加入比例誤差的數(shù)據(jù)采用附加參數(shù)平差求得的比例誤差參數(shù)為5.8×10-6,與設計加入的5×10-6比例誤差接近。對平差模型中附加的參數(shù)進行統(tǒng)計檢驗,結果表明引入的附加參數(shù)合理。

5 結論

在高速鐵路CPⅢ控制網(wǎng)測量中,全站儀的距離觀測值不可避免的存在系統(tǒng)誤差,如果CPⅢ控制網(wǎng)距離觀測值存在系統(tǒng)性的固定誤差或比例誤差,在平差中不考慮其影響,按經(jīng)典約束平差的方法進行平差,則所得的平差估計參數(shù)不是最優(yōu)線性無偏估計量。對于存在系統(tǒng)誤差的CPⅢ控制網(wǎng),可預先估計可能存在那些類型的系統(tǒng)誤差,通過引入附加參數(shù)進行自動補償,則平差結果更為可靠。

[1]TB10601—2009 高速鐵路工程測量規(guī)范[S]

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