馮光東 王 鵬

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,湖北武漢 430063)

目前,我國正在大規(guī)模建設高速鐵路,其高速性、高平順性對測量提出了更高的要求。為指導鐵路精測網(wǎng)的建網(wǎng),2009年鐵道部頒布了《高速鐵路工程測量規(guī)范》，該規(guī)范要求控制網(wǎng)的投影長度變形值不大于10 mm/km[1]。為達到投影長度變形不大于10 mm/km,各鐵路設計院在實際生產(chǎn)中都采用任意中央子午線、任意高程面的高斯投影處理方法。該方法對南北走向的線路工程比較適合,對東西走向的線路工程,分帶過多導致坐標換帶計算工作繁瑣,施工中容易出錯。為此,本文對斜軸墨卡托投影處理方法在高速鐵路精測網(wǎng)中的應用進行探討,對高斯投影和斜軸墨卡托投影兩種方法進行了比較分析。

1 任意中央子午線任意高程面的高斯投影處理方法

大地坐標系的橢球面是一個凸起的不可展平的曲面,當采用高斯正形投影將曲面上的元素投影到平面上時,投影后的邊長會產(chǎn)生長度變形,這種投影變形主要由高程歸化與高斯投影變形改化兩方面因素引起,其綜合影響公式為[2]

(1)

式中S——地面上的觀測長度；

Hm——觀測邊的平均大地高；

hm——觀測邊的歸化大地高；

Rm——邊長地區(qū)地球平均曲率半徑；

Ym——S在高斯平面上離中央子午線的垂距。

投影改正的相對殘差公式為[2]

(2)

投影長度變形不大于10 mm/km,即VS/S不大于10 mm/km。目前,常規(guī)的做法是通過選擇合適的中央子午線和投影面高程,即通過合理確定式(2)中的Ym和hm,使VS/S不大于10 mm/km。對于不同的高程歸化值(Hm-hm),可以計算出相應的離中央子午線垂距Ym的范圍,見表1。

表1 投影長度變形不大于10 mm/km的坐標系帶寬統(tǒng)計

由表1分析可知：

當高程歸化值(Hm-hm)在60 m以內時,其高程歸化改正很小,并能起到抵償高斯投影變形的作用,使得滿足投影長度變形不大于10 mm/km的坐標系帶寬最大。

當高程歸化值(Hm-hm)大于60 m時,由于高程歸化改正增大,其對投影長度綜合變形的影響占據(jù)主導地位,從而使得在中央子午線附近對高斯投影變形的抵償作用相對變小,使坐標系帶寬變窄。

在實際工程應用中,通常采用構建工程橢球的方法來消除高程歸化改正的影響,采用移動中央子午線的方法來消除高斯投影變形的影響。對于南北走向的線路,其東西跨越的范圍不大,可采用任意中央子午線、任意高程面的高斯投影處理方法。對于東西走向的線路,其東西跨越的范圍較大,由于高斯投影坐標系帶寬較窄而使得投影帶的數(shù)量過多,導致坐標換帶計算工作繁瑣,為了避免這種問題,可采用斜軸墨卡托投影。

2 斜軸墨卡托投影處理方法

斜軸墨卡托投影亦即斜軸圓柱投影。對于線路控制網(wǎng),采用斜軸墨卡托投影,使圓柱面與線路中心線相切,并進行投影,從而有效解決長度變形的問題。地球是一個橢球體,用橢球體描述地球進行斜軸墨卡托投影則計算較為困難。為了計算簡便,在幾百公里的工程范圍內可以選用圓球來表示地球,若線路控制網(wǎng)較長,圓球描述地球帶來的誤差較大,則可以分段處理。為了便于計算,通常斜軸圓柱投影都轉換為橫軸圓柱投影或正軸圓柱投影。

2.1 斜軸圓柱投影轉換為橫軸圓柱投影的處理方法

斜軸圓柱投影轉換為橫軸圓柱投影時,需要對參考圓球進行變換,使線路中心線走向與變換后參考圓球的經(jīng)線方向一致。

(1)參考圓球的大地坐標

當斜軸圓柱投影轉換為橫軸圓柱投影時,斜軸圓球一般取線路中心線走向為起始子午線方向。正軸圓球的大地坐標計算式為

(3)

斜軸圓球的大地坐標可以由正軸圓球的大地坐標通過變換得到,此變換需要以球面極坐標為中間過渡坐標。

在以Q點為極點的球面坐標系中,計算出線路上各GPS點的極坐標(α,z),其計算公式可根據(jù)球面三角公式推導得到[3-4],即

(4)

式中：(B0,L0)為極點Q在正軸圓球上的經(jīng)緯度,(B,L)為所求點在正軸圓球上的經(jīng)緯度,(α,z)為所求點的球面極坐標,方位角α由過極點Q的經(jīng)線起算,z為極距QT。

假設QT與線路中心線的走向一致,以QT為斜軸圓球的中央子午線,則各GPS點在斜軸圓球上以Q點為極點的極坐標為

(5)

在斜軸圓球上,根據(jù)球面三角公式可推導大地坐標的計算公式[3-4],即

(6)

(2)圓柱投影的平面直角坐標

由球面上一點的大地坐標(B′,L′)計算其平面直角坐標的公式為[5]

(7)

(8)

2.2 斜軸圓柱投影轉換為正軸圓柱投影的處理方法

斜軸圓柱投影轉換為正軸圓柱投影時,需要對參考圓球進行變換,使線路中心線走向與變換后參考圓球的赤道方向一致。

(1)參考圓球的大地坐標

當斜軸圓柱投影轉換為正軸圓柱投影時,斜軸圓球一般取線路中心線走向為參考圓球的赤道方向。

斜軸圓球的大地坐標可以由正軸圓球的大地坐標通過變換得到,此變換需要以球面極坐標為中間過渡坐標,變換過程與橫軸圓球的大地坐標向斜軸圓球的大地坐標變換相似,不同之處在于線路中心線走向QT與斜軸圓球的赤道重合,則各GPS點在斜軸圓球上以Q點為極點的極坐標為

(9)

斜軸圓球上的大地坐標計算公式見式(6)。

(2)圓柱投影的平面直角坐標

經(jīng)過正軸圓球大地坐標向斜軸圓球大地坐標的變換,斜軸墨卡托投影已轉換為正軸等角切圓柱投影。等角切圓柱投影具備著經(jīng)線長度比等于緯線長度比,以及圓柱切線處的投影變形等于零等性質。

(10)

對式(10)積分,得[6]

則正軸等角切圓柱投影的平面坐標為[6]

(11)

式中ρ是角度換算為弧度的常數(shù)。

由于圓柱面沿線路中心線相切,線路中心線上的長度投影前后保持不變,偏離線路中心線愈遠,長度變形愈大；投影前后各點的方向值保持不變。因此,以上兩種斜軸墨卡托投影對線路工程的測量極具意義。

3 算例分析與比較

以一個實際工程控制網(wǎng)算例進行試算分析,比較斜軸墨卡托投影處理方法與任意中央子午線、任意高程面的高斯投影處理方法的差異。

試算數(shù)據(jù)采用某段高速鐵路CPⅠ級GPS控制網(wǎng)數(shù)據(jù)。該段GPS控制網(wǎng)全長約190 km,位于東經(jīng)109°38′～121°20′,北緯31°09′～32°02′之間,見圖2。

如圖2所示,該段線路GPS控制網(wǎng)呈東南—西北走向,若采用任意中央子午線、任意高程面的高斯投影處理方法,則該段線路GPS控制網(wǎng)至少劃分3個投影帶，才能達到投影長度變形不大于10 mm/km；若采用斜軸墨卡托投影處理方法,由于GPS點離線路中心線較近,則不需要進行分帶投影處理,在一個坐標系內就能達到投影長度變形不大于10 mm/km。下面將采用這兩種不同投影處理方法進行計算比較。

3.1 計算方案

圖2 某段高速鐵路CPⅠ級GPS控制網(wǎng)示意

基線解算完成后,在其三維基線向量的成果基礎上,完成下述后續(xù)計算：

以點GCPⅠ159的A級GPS基站網(wǎng)基站成果,在WGS-84坐標系中,對GPS網(wǎng)進行三維無約束平差,檢測GPS基線向量網(wǎng)本身的內部精度以及可能存在的粗差。

以點CPⅠ128、CPⅠ141、GCPⅠ159、GCPⅠ176的A級GPS基站網(wǎng)基站成果,在WGS-84坐標系中進行三維約束平差。

根據(jù)投影長度變形不大于10 mm/km的要求,對該段線路GPS控制網(wǎng)進行投影帶的劃分及投影面高程的選擇,并計算各GPS點的高斯平面直角坐標及投影變形系數(shù),根據(jù)投影變形系數(shù)劃分投影帶。投影帶的劃分及投影面高程的選擇結果見表2。

表2 投影帶劃分、投影面高程選擇統(tǒng)計

取沿線路分布較為均勻,且大地高與線路平均高程面較為接近的點CPⅠ133、CPⅠ145、GCPⅠ160、GCPⅠ175作為參考圓球的擬合點,以點CPⅠ127至GCPⅠ178作為線路中心線的走向，進行斜軸墨卡托投影處理。

3.2 計算結果分析

按照上述計算方案對數(shù)據(jù)進行計算,其計算結果分析如下：

對于線路GPS控制網(wǎng),通過選擇合適的中央子午線和投影面高程,采用高斯分帶投影處理方法,可以達到投影長度變形不大于10 mm/km的要求；但存在高斯投影坐標帶寬較窄,投影帶的數(shù)量過多,投影帶邊緣變形較大等問題,見圖3。

圖3 高斯投影變形系數(shù)統(tǒng)計

通過球面擬合使參考圓球與測區(qū)地面達到最佳吻合,采用線路中心線與投影圓柱面相切,從而使投影長度變形控制在較小的范圍內；對于該段線路GPS控制網(wǎng),可使投影長度變形小于2 mm/km,見圖4。

圖4 斜軸墨卡托投影變形系數(shù)統(tǒng)計

將高斯投影處理與斜軸墨卡托投影處理得到的平面邊長進行比較,其比較結果均小于10×10-6,除了高斯投影帶邊緣,其他地區(qū)的均小于3×10-6,說明兩種投影處理方法得到的平面邊長是基本吻合的,差異較大的邊長產(chǎn)生的原因主要是由于高斯投影變形引起的,其分布規(guī)律與高斯投影變形相關。

4 結 論

斜軸墨卡托投影的參考圓球是通過沿線路分布較為均勻且大地高與線路平均高程面較為接近的點最佳擬合出來的,其參考圓球面與測區(qū)地面達到最佳吻合,緩解了由高程歸化引起的變形；投影圓柱面沿線路中心線相切,使得各GPS點離投影中心線較近,緩解了由圓柱投影引起的投影變形。綜上所述,對于線路GPS控制網(wǎng),特別是高速鐵路GPS控制網(wǎng),在保持邊長投影與地面網(wǎng)的邊長尺度一致方面,斜軸墨卡托投影比高斯投影更加適用。

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