蘇清華，胡中波

(1. 孝感學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 孝感 432000；2. 武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

在生產(chǎn)、生活中人們對產(chǎn)品的可靠性要求越來越高，如果用成敗型實驗對產(chǎn)品進(jìn)行可靠性測試，那么產(chǎn)品壽命是以成敗次數(shù)來衡量的. 負(fù)二項分布就是此類測試產(chǎn)品壽命服從的分布之一.

在高可靠性產(chǎn)品的重復(fù)獨立抽樣檢驗中，θ(0<θ<1)為每次抽到合格品的概率，當(dāng)?shù)趓個合格品出現(xiàn)時終止試驗.X為第r個合格品出現(xiàn)之前不合格品的個數(shù)，則X服從參數(shù)為r和θ的負(fù)二項分布，其分布律為：

(1)

其中:r>0已知，θ為產(chǎn)品的可靠度(或合格品率、成功率).

目前已有不少文獻(xiàn)探討了求負(fù)二項分布可靠度的Bayes估計、經(jīng)驗Bayes估計和多層Bayes估計的方法，但幾乎都是在平方損失的情況下進(jìn)行討論. 而E-Bayes估計可以看作是對多層Bayes估計的修正，自E-Bayes估計法提出以來[1]，主要研究的是幾何分布、二項分布和Pascal分布可靠度的估計[2-4]，以及失效概率和狀態(tài)概率的估計[5-6].本文作者在文獻(xiàn)[7]中給出了熵?fù)p失函數(shù)下，先驗分布為冪分布時，負(fù)二項分布可靠度的E-Bayes和多層Bayes估計. 本文則進(jìn)一步在熵?fù)p失函數(shù)下，給出了當(dāng)負(fù)二項分布可靠度的先驗分布為Beta分布時，可靠度的Bayes估計、E-Bayes估計及多層Bayes估計，并通過數(shù)值試驗討論先驗分布為冪分布時，負(fù)二項分布可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計的優(yōu)越性.

(2)

其中δ是θ的估計，且L(θ,δ)關(guān)于δ是嚴(yán)凸的.

給定負(fù)二項分布(1)中可靠度θ的先驗分布為Beta分布，其密度為:

(3)

其中：a>0,b>0,0<θ<1.當(dāng)b=1時，Beta分布即為冪分布，其密度為：π(θ|a)=aθa-1.

1 可靠度的Bayes估計

證明令δ(x)是θ的任一估計，在熵?fù)p失函數(shù)(2)下，δ(x)的Bayes風(fēng)險為:

(4)

對上式關(guān)于δ求導(dǎo)并令其等于零，可得：δ=[E(θ-1|x)]-1，且當(dāng)δ→1或0時后驗風(fēng)險趨于+，從而δ=[E(θ-1|x)]-1即為使后驗風(fēng)險最小的估計，故對于任何先驗分布在熵?fù)p失函數(shù)(2)下，負(fù)二項分布可靠度θ的唯一Bayes估計為：δB(x)=[E(θ-1|x)]-1.

給定θ的先驗分布為Beta分布(3)，則根據(jù)Bayes定理，θ的后驗密度函數(shù)為:

于是，在熵?fù)p失函數(shù)(2)下，先驗分布為Beta分布(3)時，θ的唯一Bayes估計為:

令b=1，即可得可靠度的先驗分布為冪分布時，負(fù)二項分布(1)的可靠度θ的唯一Bayes估計為：

2 可靠度的E-Bayes估計

由模型(1)在高可靠度成敗型試驗中獲得的樣本數(shù)據(jù)大部分包含的次品數(shù)極少，一般X=0,1,2，因此可靠度θ較大的可能性大，而較小的可能性小. 根據(jù)構(gòu)造多層先驗分布的增函數(shù)法[8]，應(yīng)選取θ的增函數(shù)作為θ的先驗分布的密度函數(shù)的核，因此Beta分布(3)中應(yīng)選擇a>1,0

定理2 對負(fù)二項分布(1)，在熵?fù)p失函數(shù)(2)下：

1)若可靠度θ的先驗分布為Beta分布(3)，且取a,b在θ上的先驗分布分別為：π(a)=U(1,c)，π(b)=U(0,1)，其中：c為待定參數(shù)，則θ的E-Bayes估計為:

(x+1)(x+r+c)[ln(x+r+c)-1]+(x+1)(x+r+1)[ln(x+r+1)-1]-

x(x+r+c-1)[ln(x+r+c-1)-1]-x(x+r)[ln(x+r)-1]}；

(x+1)(x+r+c)[ln(x+r+c)-1]+(x+1)(x+r+1)[ln(x+r+1)-1]-

x(x+r+c-1)[ln(x+r+c-1)-1]-x(x+r)[ln(x+r)-1]}；

3 可靠度的多層Bayes估計

E-Bayes估計是對多層Bayes估計的一種修正，以下給出θ的多層Bayes估計，以便與θ的E-Bayes估計進(jìn)行比較.

定理3 對負(fù)二項分布(1)，在熵?fù)p失函數(shù)(2)下：

1)若可靠度θ的先驗分布為Beta分布(3)，且取a,b在θ上的先驗分布分別為π(a)=U(1,c)，π(b)=U(0,1)，其中c為待定參數(shù)，則θ的多層Bayes估計為:

2)若可靠度θ的先驗分布為冪分布，且取a在θ上的先驗分布分別為π(a)=U(1,c)，其中c為待定參數(shù)，則θ的多層Bayes估計為:

證明θ的多層先驗密度為:

則θ的后驗密度為:

從而θ在熵?fù)p失函數(shù)(2)下的多層Bayes估計為:

4 數(shù)值試驗

表和δ-的計算結(jié)果

5 結(jié)束語

本文給出了熵?fù)p失函數(shù)下，當(dāng)可靠度的先驗分布為Beta分布和冪分布時，負(fù)二項分布可靠度θ的Bayes估計、E-Bayes估計及多層Bayes估計.首先，由定理2和定理3中所得結(jié)果可見，E-Bayes估計公式不涉及積分，計算更簡單；其次，數(shù)值試驗結(jié)果表明，先驗分布為冪分布時可靠度的E-Bayes估計和多層Bayes估計相差較小，精度都較高，但E-Bayes估計穩(wěn)健性更高.因此，E-Bayes估計作為對多層Bayes估計的修正方法，更優(yōu)越，更便于在實際中應(yīng)用.

參考文獻(xiàn):

[1]HanMing，DingYuan-yao.SythesizedexpectedBayesianmethodofparametericestimate[J].JournalofSystemsScienceandSystemsEngineering，2004，13(1)：98-111.

[2]韓明.Pascal分布的參數(shù)估計[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，22(4)：510-515.

[3]韓明.產(chǎn)品可靠度的E-Bayes估計[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23(3)：83-87.

[4]熊常偉，張德然，張怡，等. 幾何分布可靠度的Bayse估計[J].統(tǒng)計與決策，2007，20(2)：21-22.

[5]MingHan.E-Bayesianestimationoffailureprobabilityanditsapplication[J].MathematicalandComputerModeling,2007，45( 9/10 ):1272-1279.

[6]韓明.狀態(tài)概率的E-Bayes估計與多層Bayes估計[J]. 運(yùn)籌與管理，2006，15(5)：70-74.

[7]蘇清華，劉次華.熵?fù)p失下負(fù)二項分布可靠度的E-Bayes估計[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2009,29(3)：14-17.

[8]韓明.多層先驗分布的構(gòu)造及其應(yīng)用[J]. 運(yùn)籌與管理，1997，6(3)：31-40.