盛 文 任 吉

（空軍雷達(dá)學(xué)院，湖北 武漢 430019）

1.引 言

建立在高頻雷達(dá)海雜波特性分析基礎(chǔ)上的目標(biāo)檢測問題，是目前國內(nèi)外研究中有待突破的一個(gè)難點(diǎn)。目前，針對(duì)海雜波特性分析研究還主要集中在微波波段［1］，盡管高頻段海雜波特性與微波波段呈現(xiàn)出大體相似的特性，但是由于缺乏必要的實(shí)驗(yàn)手段和具體數(shù)據(jù)，國內(nèi)外針對(duì)高頻雷達(dá)海雜波特性分析的研究非常少。更重要的是，如果通過建立專門的試驗(yàn)設(shè)備開展研究工作花費(fèi)巨大，而且利用實(shí)裝獲得實(shí)測數(shù)據(jù)的途徑十分有限，因此，建立高頻雷達(dá)海雜波的模型就顯得尤為必要。傳統(tǒng)的雜波機(jī)理建模需要定量地描述散射單元的特征，這導(dǎo)致了雜波機(jī)理模型往往是極其復(fù)雜的且計(jì)算量巨大［2］。統(tǒng)計(jì)建模將雜波描述為無顯著特點(diǎn)的、普適的平穩(wěn)隨機(jī)過程，而近年來的研究證明統(tǒng)計(jì)模型顯然忽視了某種非線性和非平穩(wěn)的特征。由于人們?nèi)狈?duì)海雜波本質(zhì)的足夠認(rèn)識(shí)，至今都沒有任何數(shù)學(xué)或者物理的解釋來支持統(tǒng)計(jì)建模，同時(shí)也沒有看到海雜波其實(shí)只是“貌似”隨機(jī)的過程［3］。

隨著Benoit Mandelbrot提出分形理論，為研究海雜波特性提供了嶄新的思路和理論工具。近年來，研究海雜波領(lǐng)域的學(xué)者們也注意到，基于刻劃分形特性的不變量的目標(biāo)檢測在海雜波研究中具有重要的意義，并取得了令人滿意的效果［4－9］。另一方面，基于分形理論對(duì)海面的描述［10］和對(duì)海雜波建模也受到了相當(dāng)程度的重視。我國學(xué)者王紅光等［11］利用分型布朗運(yùn)動(dòng)（Fractional Brownian Motion，F(xiàn)BM）模型為海雜波建模，并基于分形模型對(duì)目標(biāo)檢測進(jìn)行了研究。隨著多重分形（Multifractal）理論被引入時(shí)間序列分析，許多學(xué)者發(fā)現(xiàn)海雜波數(shù)據(jù)往往并不能用簡單的分形模型來刻畫，而多重分形可能會(huì)取得更好的效果，并利用多重分形方法對(duì)海雜波特性進(jìn)行了分析，得到較好的結(jié)果。本文重點(diǎn)討論多重分形在海雜波時(shí)域分形建模中的應(yīng)用，利用高頻雷達(dá)海雜波具有的多重分形特性建立高頻雷達(dá)海雜波的時(shí)域分形模型，并通過與實(shí)測數(shù)據(jù)的多重分形性的對(duì)比和統(tǒng)計(jì)特性驗(yàn)證分析，得出了仿真的高頻雷達(dá)海雜波具有先驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)特性的結(jié)論，同時(shí)也證明了海雜波時(shí)域多重分形模型的合理性和有效性。

2.分形理論與海雜波建模

2.1 分形理論

分形是非線性科學(xué)研究的主要對(duì)象之一，利用分形的方法人們就可以利用分形參數(shù)來刻畫自然界中的某些復(fù)雜現(xiàn)象。分維數(shù)是刻畫分形的一種重要參數(shù)，基本的理論介紹如下。

2.1.1 時(shí)間序列分維數(shù)的估計(jì)

分維數(shù)是最重要的分形參數(shù)之一，也是分形特性的度量。人們提出了許多分維的估計(jì)方法。本文采用相關(guān)分形維數(shù)來刻畫海雜波序列的分形特征。其估算方法可以歸納如下：首先對(duì)時(shí)間序列｛x1，x2，...，xN｝ 進(jìn)行相空間重構(gòu)，對(duì)于任意給 定的正數(shù)r＞0得到m維相空間 ｛Y1，Y2，..，Ym｝ ，計(jì)算所有的距離‖Yi－Yj‖∞＜r對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)在所有的點(diǎn)對(duì)中所占的比例Cn（r），即

式中：H（）·為Heaviside單位函數(shù)，即

則相關(guān)分形維數(shù)D可以表示為

長程相關(guān)Hurst指數(shù)與分維數(shù)的關(guān)系為

2.1.2 多重分形理論

多重分形分析的方法有很多，主要有q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法、消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（MF－DFA）和基于標(biāo)準(zhǔn)配分函數(shù)（統(tǒng)計(jì)矩）法、計(jì)盒方法，采用q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法進(jìn)行分析。對(duì)于給定的時(shí)間序列x（n），使用q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法進(jìn)行多重分形分析的步驟如下：

1）構(gòu)造歸一化序列｛xi｝，且有xk≥0，

2）將序列｛xi｝分為v個(gè)長度為s的子區(qū)間，這樣可以得到每個(gè)區(qū)間上的盒概率為

式中Ns＝［N／S］；

3）由此可以得到q階分割函數(shù)

對(duì)變量s，在數(shù)學(xué)意義上，如果某一序列為多重分形序列，那么就滿足冪律關(guān)系

式中：τ（q）為質(zhì)量指數(shù)，與q呈非線性關(guān)系，且非線性程度為多重分形性的度量。奇異吸收子作為幾何學(xué)對(duì)象通常是多重分形的。從這個(gè)意義上講，一個(gè)完整的奇異吸收子可能是被分割成了許多或者可能是無限多子集，每一個(gè)子集有自己的分維數(shù)，并且在原始吸收子中它們的權(quán)重是適當(dāng)?shù)囟x的［12］。

刻畫多重分形的另外一個(gè)重要指數(shù)是奇異指數(shù)α（q），也是質(zhì)量指數(shù)τ（q）與q呈非線性程度的度量，即多重分形性強(qiáng)弱的度量。α（q）可以由質(zhì)量指數(shù)τ（q）的微分得到，即

定義

為多重分形性程度，顯然Δα越大，質(zhì)量指數(shù)τ（q）與q呈現(xiàn)非線性程度越明顯，多重分形就越強(qiáng)。

2.2 分形理論與海雜波建模

基于分形理論的海雜波建模主要分為基于分形海面的散射機(jī)理模型和簡單的時(shí)域模型。文獻(xiàn)［13］根據(jù)海面的分形特性將被保留在雷達(dá)回波中，給出了海雜波散射機(jī)理模型。但是，經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)：該模型的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜且計(jì)算量巨大。下面介紹另一種便于計(jì)算的方法——時(shí)間序列的分形模型。

直接對(duì)回波建立時(shí)域建模是分形理論在海雜波建模中的另一應(yīng)用，其優(yōu)點(diǎn)在于可以用一個(gè)簡單的迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）和較少的參數(shù)產(chǎn)生復(fù)雜的信號(hào)。如果已經(jīng)知道海雜波具有分形特性且已知海雜波的分形參數(shù)就可以反演出海雜波的時(shí)間序列，或者再加入目標(biāo)信息即可得到一般目標(biāo)的回波。最常見的由Weiestrass函數(shù)法、FBM增量法和小波三種方法產(chǎn)生。

以上三種FBM信號(hào)產(chǎn)生方法均滿足或近似滿足FBM的定義，產(chǎn)生的FBM信號(hào)也比較理想，但也存在一些問題。FBM增量法中，增量滿足相關(guān)性，但還存在一定的差距；小波方法則要求所選用的小波應(yīng)具有高階原點(diǎn)矩為零的特點(diǎn)，而且階次愈高愈好；Weiestrass函數(shù)法產(chǎn)生的FBM信號(hào)的模型相對(duì)比較理想。

但是，文獻(xiàn)［14］研究表明高頻雷達(dá)海雜波可能為具有多個(gè)單一分形的組合并且海雜波具有多重分形特性。由此可見，假設(shè)海雜波是單分形的時(shí)間序列會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論。所以，從概率的意義上講，作為一個(gè)“完整的”具有多重分形特性的奇異吸收子的海雜波來說，它的精確的分維數(shù)值是無法確定地得到，而可能出現(xiàn)的分維數(shù)值只是以一定的機(jī)率呈現(xiàn)出來，當(dāng)測量的次數(shù)無限大的時(shí)候，就可以近似地得到其分維數(shù)的概率密度函數(shù)。

3.高頻雷達(dá)海雜波的時(shí)域分形模型及其仿真計(jì)算

3.1 高頻雷達(dá)海雜波的時(shí)域分形模型

基于以上分析，高頻雷達(dá)海雜波可以看作是大量單一分形在概率意義上的線性組合，不同分形具有特定的權(quán)系數(shù)，這些權(quán)系數(shù)可假定滿足如下條件

1）權(quán)系數(shù)之和為1，即

式中：n反映模型的復(fù)雜度，顯然其值越大仿真的模型越精確。由此，每個(gè)分量對(duì)應(yīng)的權(quán)值可以看作某一隨機(jī)事件的概率，而所有的概率之和為1。顯然，就可以假設(shè)所求的權(quán)系數(shù)為某一隨機(jī)事件的概率分布，本文主要針對(duì)均勻分布、正態(tài)分布和χ2分布等幾種常見的分布形式進(jìn)行分析。

2）每個(gè)單一分形序列的分維數(shù)Di為均勻分布，且已知模型整體上表現(xiàn)出來的分維數(shù)D0應(yīng)位于所有可能的分維數(shù)Di的幾何中心，即

由此，如果權(quán)系數(shù)為一正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的形式分布，就可以看作是中心分維數(shù)在構(gòu)造的多重分形的時(shí)間序列中貢獻(xiàn)最大。

3）最優(yōu)權(quán)遵循誤差最小原則，即

根據(jù)以上假設(shè)，得到的海雜波時(shí)域分形模型為

式中：wi為單一分形的權(quán)系數(shù)；fi為單一分形，對(duì)應(yīng)的分維數(shù)為Di，即D｛fi｝＝Di，D｛·｝表示求分維數(shù)，單一分形fi為簡單的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。

本文采用的海雜波數(shù)據(jù)是在HF波段雷達(dá)上采集到的海面后向散射回波信號(hào)。根據(jù)2.1.1節(jié)估算相關(guān)分維數(shù)的方法，計(jì)算了本文所有256批實(shí)測的高頻海雜波周期積累信號(hào)的分維數(shù)，得到分維數(shù)的均值為1.732。這就是多重分形的分維數(shù)的幾何中心，即所有的實(shí)測數(shù)據(jù)整體上表現(xiàn)出來的分維數(shù)。

3.2 高頻雷達(dá)海雜波模型的仿真計(jì)算

在簡單地分析了均勻分布、正態(tài)分布和χ2分布等幾種常見的分布形式之后，可以發(fā)現(xiàn)，在滿足3個(gè)假設(shè)的情況下，正態(tài)分布形狀N（D0，σ2）的權(quán)值能較好地刻畫出多重分形的時(shí)間序列?；诖?，將在滿足3個(gè)假設(shè)的前提下，采用具有正態(tài)分布的概率密度函數(shù)形狀的權(quán)值對(duì)單一分形序列加權(quán)求和來描述多重分形序列，即雜波數(shù)據(jù)的時(shí)域多重分形建模。當(dāng)復(fù)雜度系數(shù)n選定以后，分布的中心為實(shí)測的高頻海雜波分維數(shù)的均值1.732，此時(shí)只需要對(duì)分布的形狀——“胖瘦”進(jìn)行一維搜索即可。具體仿真流程如圖1所示。

為了保證新建立的模型精度和仿真速度，選取復(fù)雜度系數(shù)n＝50進(jìn)行仿真計(jì)算。權(quán)值的搜索過程為：將分布方差σ2＝［0，100］平均地分成10份，在每一份進(jìn)行100次搜索（即最小的搜索步進(jìn)為0.1），觀測每一次的分維數(shù)的誤差?？梢钥闯觯簩?0次搜索中每一次的最小值顯示在圖2中，由圖2（a）可以看出：當(dāng)仿真多重分形權(quán)值分布的方差達(dá)到62.9時(shí)，模型就具有穩(wěn)定收斂的誤差，此時(shí)得到的時(shí)域模型顯示在圖2（b）中。

4.高頻雷達(dá)海雜波模型的驗(yàn)證分析

模型的驗(yàn)證分析主要是考察時(shí)域多重分形模型、FBM模型和實(shí)測數(shù)據(jù)的多重分形性的相似性。利用質(zhì)量指數(shù)函數(shù)和奇異指數(shù)來度量多重分形性的強(qiáng)弱，從而驗(yàn)證多重分形模型比FBM模型更加能夠匹配實(shí)測數(shù)據(jù)的多重分形性。除此以外，為了更加嚴(yán)謹(jǐn)，驗(yàn)證仿真雜波數(shù)據(jù)與高頻雷達(dá)海雜波的統(tǒng)計(jì)特性，將比較仿真數(shù)據(jù)與最可能模型幅度分布的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）。為進(jìn)一步考察兩個(gè)分布的擬合優(yōu)度，對(duì)仿真數(shù)據(jù)的“拖尾”與由參數(shù)估計(jì)得到的理論分布模型做了修正的K－S檢驗(yàn)。

4.1 分形模型的多重分形性驗(yàn)證

首先對(duì)海雜波時(shí)域模型進(jìn)行多重分形特性驗(yàn)證。利用q階矩結(jié)構(gòu)函數(shù)分割法［15］對(duì)海雜波時(shí)域模型做多重分形分析。圖3是q為－20～20，步長為4共11組值時(shí)的雙對(duì)數(shù)關(guān)系圖?？梢钥闯稣w上呈現(xiàn)了很好的線性關(guān)系，因此，滿足式（7）中的冪律關(guān)系，即說明在規(guī)定的尺度變化范圍內(nèi)海雜波模型具有無標(biāo)度性，也就是說海雜波模型具有分形的特性。

為了比較仿真模型與實(shí)測數(shù)據(jù)的多重分形性的相似性，同時(shí)為了說明仿真模型比文獻(xiàn)［11］的FBM模型具有更強(qiáng)的多重分形性。首先產(chǎn)生256批符合最優(yōu)權(quán)值的多重分形模型，再利用文獻(xiàn)［11］中的FBM模型產(chǎn)生256批分形數(shù)據(jù)。然后分別計(jì)算實(shí)測數(shù)據(jù)、FBM模型和多重分形模型數(shù)據(jù)的質(zhì)量指數(shù)函數(shù)τ（q）和奇異指數(shù)α（q）的誤差圖，分別顯示在圖4、圖5和圖6中。

圖3 配分函數(shù)lnZq（s）與對(duì)數(shù)尺度ln（s）的關(guān)系

圖6 多重分形模型的質(zhì)量指數(shù)τ（q）～q和奇異指數(shù)α（q）～q的關(guān)系圖

從圖4～6可以看出，三種數(shù)據(jù)的質(zhì)量指數(shù)函數(shù)τ（q）都是q的一個(gè)上凸的函數(shù)，即τ（q）與q之間都存在著較強(qiáng)的非線性關(guān)系，這表明了三種數(shù)據(jù)都具有一定的多重分形的特性。同時(shí)可以注意到，實(shí)測數(shù)據(jù)和多重分形模型比FBM模型具有更為明顯的彎曲，即實(shí)測數(shù)據(jù)和多重分形比FBM模型具有更強(qiáng)的多重分形性。同時(shí)多重分形模型和實(shí)測數(shù)據(jù)的Δα都比FBM模型的Δα要大，也能反映實(shí)測數(shù)據(jù)和多重分形比FBM模型具有更強(qiáng)的多重分形性。除此以外，可以很清楚地看出：多重分形模型比FBM模型更加能匹配實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)的多重分形性。這就證明了多重分形模型的合理性。

4.2 多重分形模型數(shù)據(jù)與經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)估計(jì)模型的PDF比較分析

首先對(duì)仿真數(shù)據(jù)分別估計(jì)瑞利分布（Rayleigh）、韋布爾分布（Weibull）和對(duì)數(shù)正態(tài)分布（Log－Normal）模型的相關(guān)特征參數(shù)，由表1給出。然后與理論模型比較由仿真數(shù)據(jù)估計(jì)的經(jīng)驗(yàn)分布（柱狀圖），同時(shí)為了觀察我們感興趣的數(shù)值較小的尾部數(shù)據(jù)的特性，將結(jié)果在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下顯示出來，如圖7所示。同時(shí)將實(shí)測數(shù)據(jù)的估計(jì)經(jīng)驗(yàn)分布也附在圖7中，由仿真結(jié)果可以清楚地看出：多重分形模型不存在長的拖尾現(xiàn)象，數(shù)據(jù)幅度接近瑞利分布。這與文獻(xiàn)［16］認(rèn)為低分辨率雷達(dá)海雜波的幅度統(tǒng)計(jì)特征接近瑞利分布的研究結(jié)論是一致的，而且分形模型的分布與實(shí)測數(shù)據(jù)的分布具有相似性，從而進(jìn)一步說明了海雜波時(shí)域多重分形模型的合理性。

圖7 仿真數(shù)據(jù)與估計(jì)模型的概率密度函數(shù)比較分析

表1 仿真雜波數(shù)據(jù)的模型參數(shù)估計(jì)

4.3 多重分形模型數(shù)據(jù)的K－S統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)擬合優(yōu)度，我們使用一種修正的兩點(diǎn)K－S統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。標(biāo)準(zhǔn)的兩點(diǎn)檢驗(yàn)驗(yàn)證兩個(gè)隨機(jī)序列是否具有相同的分布。在標(biāo)準(zhǔn)的檢驗(yàn)中使用了分布的整個(gè)定義范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，而在修正版中，只用一部分?jǐn)?shù)據(jù)［17］。因?yàn)橥衔驳臄?shù)據(jù)直接影響對(duì)目標(biāo)的檢測，所以我們對(duì)拖尾的數(shù)據(jù)特別感興趣。固定不同的門限值并且只考慮比門限值更大的采樣值。對(duì)于不同的門限值，在原假設(shè)為真的前提下，將由參數(shù)估計(jì)得到的理論積累分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function，CDF）與仿真數(shù)據(jù)構(gòu)造的經(jīng)驗(yàn)CDF相比較，若它們的最大差別大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，反之亦然。

利用K－S檢驗(yàn)方法分別對(duì)兩個(gè)不同的門限值，即門限1和門限2，分別表示標(biāo)準(zhǔn)兩點(diǎn)檢驗(yàn)和其幅度值大于0.667（它可以將拖尾數(shù)據(jù)隔離開來）的數(shù)據(jù)進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果如表2所示。其中α表示顯著性水平，H的值為1就表示最大偏差量De大于臨界值Dcri，同時(shí)拒絕原假設(shè)，反之亦然?？梢郧宄乜闯?，對(duì)全部數(shù)據(jù)（門限1）的檢驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，這3種典型的分布都拒絕了原假設(shè)，即仿真數(shù)據(jù)不服從這3種假設(shè)分布中的任何一種。但是也可以看到，瑞利分布的最大偏差值最小，幾乎達(dá)到了臨界值，這也驗(yàn)證了前面由仿真數(shù)據(jù)估計(jì)的PDF比較分析結(jié)果——仿真數(shù)據(jù)幅度近似服從瑞利分布，這與先驗(yàn)的海雜波的統(tǒng)計(jì)特性是一致的。更進(jìn)一步，對(duì)于我們感興趣的尾部數(shù)據(jù)（門限2）進(jìn)行檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)顯著水平為0.05和0.1的時(shí)候，對(duì)數(shù)正態(tài)分布和瑞利分布都可以接受原假設(shè)。但是，當(dāng)進(jìn)一步提高顯著性水平到0.2的時(shí)候，只有瑞利分布可以接受原假設(shè)，進(jìn)一步地說明高頻雷達(dá)海雜波時(shí)域多重分形模型幅度具有瑞利分布的統(tǒng)計(jì)特征。

表2 柯爾莫哥洛夫－斯米爾洛夫檢驗(yàn)

5.結(jié) 論

本文重點(diǎn)討論分形理論在海雜波建模，特別是在高頻雷達(dá)海雜波的時(shí)域分形建模中的應(yīng)用。在高頻雷達(dá)海雜波多重分形特性的基礎(chǔ)上建立高頻雷達(dá)海雜波的時(shí)域分形模型，通過對(duì)韋布爾分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和瑞利分布3種最常用的海雜波幅度的概率密度函數(shù)的比較分析并且利用修正的K－S統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，得出了高頻雷達(dá)海雜波的多重分形模型具有瑞利分布的統(tǒng)計(jì)特性的結(jié)論，證明了海雜波時(shí)域多重分形模型的合理性，這對(duì)于高頻雷達(dá)海雜波建模與仿真及其背景下目標(biāo)檢測研究具有現(xiàn)實(shí)意義。

本文的一個(gè)最基本的限制就是：由于實(shí)測數(shù)據(jù)有限且對(duì)海雜波的入射角、極化方式、風(fēng)速、風(fēng)向以及海情等先驗(yàn)信息缺乏，所以得到的數(shù)據(jù)模型可能只匹配與原始觀測數(shù)據(jù)相同或者相似的觀測環(huán)境的測量數(shù)據(jù)。在以后的研究中需要在大量實(shí)測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行更加全面深入的研究。但是同時(shí)也注意到，本文的意義在于從一個(gè)新的視角來建立海雜波模型，并且基于非線性理論的高頻海雜波模型對(duì)于研究海雜波的特性以及目標(biāo)檢測都有現(xiàn)實(shí)意義。

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