吳懷弟，阮育清

(1.福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福州 350108;2.福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福州 350002)

時(shí)滯系統(tǒng)是用于描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與時(shí)間歷史有關(guān)的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，時(shí)滯的存在給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究帶來(lái)了很大的困難.對(duì)具有周期系數(shù)的Logistic時(shí)滯模型，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了許多相關(guān)研究［1－5］。

本文考慮如下多時(shí)滯單種群Logistic模型

其中a(t)、bi(t)、r(t)是T－周期函數(shù);a(t)＞0，bi(t)≥0，且

根據(jù)生態(tài)學(xué)含義，考慮系統(tǒng)(1)的如下初值問題:

其中:τ=max{τi};φ 是［－τ，0］上的連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)m=1時(shí)，F(xiàn)reedman［3］運(yùn)用 Horn不動(dòng)點(diǎn)定理證明了系統(tǒng)(1)在函數(shù)方程 r(t)－a(t)u(t)+b(t)u(t－τ(t))=0有周期解的條件下存在周期正解。最近，對(duì)于線性多時(shí)滯的情形，Li［5］借助重合度理論獲得了如下系統(tǒng)在條件下存在周期正解。

對(duì)于非線性的情形，文獻(xiàn)［1－2］研究了純時(shí)滯滯系統(tǒng)(4)的周期正解。

筆者借助重合度理論證得系統(tǒng)(4)在系統(tǒng)的系數(shù)都是連續(xù)正周期函數(shù)的條件下至少存在一個(gè)周期正解;注意到系統(tǒng)(4)和(1)是有本質(zhì)差別的。系統(tǒng)(1)由于有正反饋時(shí)滯項(xiàng)，這就使得文獻(xiàn)［1－2］的估計(jì)解的先驗(yàn)界的分析手法無(wú)法應(yīng)用到系統(tǒng)(1)。由于文獻(xiàn)［3］定理?xiàng)l件需要借助于解函數(shù)方程，但這并不容易做到。文獻(xiàn)［5］所給條件僅依賴于系統(tǒng)的系數(shù)，非常簡(jiǎn)潔。最近Lisena［4］在研讀文獻(xiàn)［3，5］時(shí)注意到這一事實(shí)，試圖獲得一組介于文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［5］之間的條件，這一條件既要推廣文獻(xiàn)［5］的主要結(jié)果，同時(shí)又要克服文獻(xiàn)［3］的定理?xiàng)l件不易驗(yàn)證的困難。借助Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理Lisena獲得一組新的保證系統(tǒng)(1)當(dāng)m=1時(shí)存在周期正解的充分性條件。如本文分析，無(wú)法將文獻(xiàn)［1－2］的分析手法應(yīng)用于系統(tǒng)(1)的周期正解的存在性問題，那么一個(gè)比較有趣的問題就是能否運(yùn)用文獻(xiàn)［4］的手法來(lái)探討系統(tǒng)(1)周期正解存在性的條件。

1 周期正解的存在性

引理1 設(shè)k(t)＞0，a(t)＞0，bi(t)≥0，若如下的時(shí)滯函數(shù)方程

存在一個(gè)連續(xù)可微的T－周期正解，則系統(tǒng)(1)存在一個(gè)T－周期正解。

引理2 設(shè)a(t)、bi(t)、k(t)、r(t)是連續(xù)的T－周期函數(shù)，且

若系統(tǒng)

的T－周期正解，u(t)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)正解，且滿足

則

證明先證

故存在 t0＞0，使得又，由微分方程比較原理有又因?yàn)槠錇橹芷诤瘮?shù)，所以式(8)成立。

由歸納法可得上述不等式在t∈［0，T］上成立。

故結(jié)論得證。

定理1 設(shè)和為引理2所定義的函數(shù)，則方程(1)存在一個(gè)T－周期正解滿足

證明定義線性空間

定義連續(xù)映射

所以F(S)一致有界等度連續(xù)，因此F(S)列緊，則由 Schauder第二不動(dòng)點(diǎn)定理得存在，使得也即方程(1)有一個(gè) T － 周期正解滿足

證明完畢。

下面給出本文主要定理的證明。

定理2 設(shè)a(t)＞0，bi(t)≥0，m［r］＞0，若存在一個(gè)正的連續(xù)可微的T－周期函數(shù)φ(t)，滿足

則方程(1)有一個(gè)T－周期正解。

證明取

由式(9)和k(t)＞r(t)，應(yīng)用定理1結(jié)論得證。

注1 文獻(xiàn)［3］的多時(shí)滯情形要求有周期正解，這是不容易判別的，而定理2只要求存在周期函數(shù)φ(t)滿足不等式，避免了函數(shù)方程的根的判別，且顯然該條件也更容易滿足。

注2 當(dāng)取定理2中的φ(t)=1時(shí)，即為文獻(xiàn)［5］中定理2.3所表述的內(nèi)容，因此本文推廣了文獻(xiàn)［4－5］的相關(guān)工作。

［1］Chen F D，Shi J L.Periodicity in a logistic type system with several delays［J］.Computers and Mathematics with Applications，2004，48:35 －44.

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［3］Freedman H I，Wu J H.Periodic solutions of single-species models with periodic delay［J］.SIAM Journal on Mathematical A-nalysis，1992，23:689 －701.

［4］Lisena B.Periodic solutions of logistic equations with time delay［J］.Applied Mathematics Letters，2007，20:1070 －1074.

［5］Li Y K.Periodic solutions of periodic delay Lotka-Volterra equations and systems［J］.Journal of Mathematical Analysis Applications，2001，255:260 －280.