胡常福，雷亮亮，陳海龍，尚繼宗

(1.中南大學 土木工程學院，湖南長沙 410075;2.華東交通大學土木建筑學院，江西南昌 330013)

當采用懸索線弧長表達式替代拋物線弧長表達式后，經(jīng)過積分計算Mg0可表示為

等截面拋物線拱橋內(nèi)力實用解析解研究＊

胡常福1，2，雷亮亮2，陳海龍2，尚繼宗2

(1.中南大學 土木工程學院，湖南長沙 410075;2.華東交通大學土木建筑學院，江西南昌 330013)

鑒于拋物線拱解析解研究不充分的現(xiàn)狀，提出使用近似弧長微分表達式替代精確弧長微分，得出曲線積分的顯式表達式，簡化了拋物線拱橋內(nèi)力解析解表達式。基于此方法，對拋物線兩鉸拱、無鉸拱在主拱圈自重、橋面均布荷載作用下的內(nèi)力實用表達式進行了推導，用常變位數(shù)值比較和具體工程實例結果證明了本文方法比常規(guī)解析解有更好的精度，比有限元法數(shù)值解有更一般的表達式。

恒載內(nèi)力;弧長微分;實用表達式

拱是結構也是建筑［1］，在土木工程領域具有廣泛的應用。目前常用的拱軸線有圓弧線［2］、拋物線［2］、懸鏈線［2］、懸索線［3－5］和樣條曲線［6］，其中拋物線表達形式簡單被大量使用于拱橋中。

拱橋內(nèi)力計算一般為解析法［2］和有限元法［7］。隨著限元法［7］的推廣和通用程序的開發(fā)，拱橋內(nèi)力普遍采用有限元數(shù)值求解，但由于其采用直梁單元逼近曲梁單元，單元數(shù)量會影響計算結果精度，且需要解析解與之相校核。然而，等截面拋物線拱內(nèi)力解析解一直沒有很好地解決，主要原因是其弧長微分表達形式復雜，得不出曲線積分的顯示解，我國拱橋手冊［2］和英國 MEXE 法［8－9］均采用將沿弧長的曲線積分簡化為沿水平直線積分的方法造成很大的誤差，且不能得出拱圈自重作用下內(nèi)力解析解;因此，有必要研究拋物線拱橋各種荷載工況下內(nèi)力的實用解析解。

本文基于對拋物線弧長微分表達式的近似，使得曲線積分有顯示解，進而得出拋物線拱橋內(nèi)力實用解析解，算例結果表明本文方法比常規(guī)解精度高，比有限元數(shù)值解有更一般的表達式。

1 實用計算基本原理

1.1 弧長微分的近似

在沿拱軸的曲線積分中，弧長微分的精確表達式為

式中，y'為拱軸方程的一階導。

式中，φ為拱軸線截面與水平線的夾角。式(2)的表達式既無法顯示表達也不符合拱圈等截面的工程實際，但能簡化曲線積分為直線積分

式中，f()x為被積函數(shù)。式(3)能得出顯示解因而廣泛使用，但這種方法誤差很大。

造成式(3)誤差的關鍵在弧長微分表達式化簡不合理。任偉新等［13］通過對實際非線性微分方程實用解析解的誤差分析表明，矢跨比相同情況下常用拱軸線的弧長微分數(shù)值相差很小，因而沿相近拱軸曲線積分結果滿足工程精度要求。在所有拱軸線中，懸索線［3－5］的弧長微分表達最簡單

式中，a為拱形參數(shù)。由此可得到等截面拋物線拱曲線積分的實用表達式

使用式(5)的基本方法，可以得出沿拋物線曲線積分的顯示表達式，進而可以得到拋物線兩鉸拱、無鉸拱在主拱圈自重、橋面系自重荷載工況下的內(nèi)力實用解析表達式。

2 拋物線兩鉸拱自重內(nèi)力計算

2.1 拋物線兩鉸拱常數(shù)

兩鉸拱是一次超靜定結構，引入式(5)方法其常變位可以表示為

2.2 主拱圈自重內(nèi)力

拱橋承擔主拱圈自重荷載主要發(fā)生在拱橋裸拱施工階段，它是拱橋最危險的階段。拋物線拱此荷載工況的內(nèi)力解析解在已發(fā)表的文獻中沒有報道，其主要原因是拋物線弧長精確表達后無法求得內(nèi)力的顯示解。根據(jù)前述分析，本文采用懸索線弧長表達式近似替代拋物線弧長精確表達式，以求得實用解析解。

沿弧長均布的主拱圈自重荷載作用下，拋物線兩鉸拱力法方程為

當采用懸索線弧長表達式替代拋物線弧長表達式后，經(jīng)過積分計算Mg0可表示為

將式(9)代入式(8)可得

將式(7)代入式(9)，可得

這樣，可以得到主拱圈自重作用下拋物線兩鉸拱的內(nèi)力

2.3 橋面系自重內(nèi)力

不考慮彈性壓縮情況下，拋物線是橋面系水平均布荷載的壓力線，截面只有軸力無彎矩

考慮彈性壓縮作用時，力法方程為

根據(jù)拱橋彈性壓縮理論，有

將式(15)代入式(14)，可得

那么在計入彈性壓縮后，橋面系自重荷載q作用下拋物線無鉸拱內(nèi)力可以表示為

3 拋物線無鉸拱自重內(nèi)力計算

3.1 拋物線無鉸拱常數(shù)

由無鉸拱彈性中心定義，可得

那么，3個常變位為

3.2 主拱圈自重內(nèi)力

沿弧長均布的主拱圈自重荷載作用下，拋物線無鉸拱力法方程為

當采用懸索線弧長表達式替代拋物線弧長表達式后，經(jīng)過積分計算Mg0可表示為

將式(20)代入式(19)可得

將式(7)(常變位)代入式(9)(載變位)，可得

這樣，可以得到主拱圈自重作用下拋物線無鉸拱的內(nèi)力

3.3 橋面系自重內(nèi)力

不考慮彈性壓縮情況下，拋物線是橋面系水平均布荷載的壓力線，截面只有軸力無彎矩

考慮彈性壓縮作用時，力法方程為

根據(jù)拱橋彈性壓縮理論，有

將式(26)代入式(25)，可得

那么在計入彈性壓縮后，橋面系自重荷載q作用下拋物線無鉸拱內(nèi)力可以表示為

為實際工程使用方便，將各系數(shù)結果列于表1。

表1 拋物線拱常變位3種方法計算結果對比Table 1 Comparison of three methods results on parabolic arch constant deflection

4 精度分析與算例驗證

4.1 實用表達式精度分析

為考察實用方法的精度，分別使用數(shù)值積分(方法1)、本文方法(方法2)和常規(guī)方法(方法3)對拋物線兩鉸拱、無鉸拱的常數(shù)進行求解，并將每種方法計算結果除以數(shù)值積分結果以比較相對誤差的大小，如表2所示。

從表2的數(shù)據(jù)可以看出，以數(shù)值積分結果為基準，使用常規(guī)方法計算的兩鉸拱與無鉸拱的常變位的最大誤差為29.960 0%，最小誤差為1.115 6%;并且出現(xiàn)無鉸拱的ys，δ11和δ33為常量，不隨矢跨比變化的現(xiàn)象。本文方法計算的兩鉸拱與無鉸拱的常變位的最大誤差為2.422 0%，最小誤差為0.009 6%。從拋物線常變位誤差角度說明本文方法與常規(guī)方法相比具有較好的精度，與數(shù)值結果相比具有更一般的表達式。

表2 拋物線拱常變位3種方法計算結果對比Table 2 Comparison of three methods results on parabolic arch constant deflection

4.2 算例驗證

某上承式拱橋，跨徑為255 m，矢跨比為1/6，拱肋面積 0.77 m2，慣性矩 0.775 m4，彈性模量 210 GPa，材料容重78.5 kN/m3，橋面系采用波形鋼底板、鋼纖維鋼絲網(wǎng)的鋼筋混凝土組成的“四鋼”混凝土結構體系，平均重量為305.2 KN/m，以拋物線為拱軸線，分別使用有限元法、常規(guī)方法和本文方法計算出兩鉸拱和無鉸拱工況下橋梁恒載作用下的內(nèi)力，如圖1所示。

由圖1可以看出，在橋面系均布荷載作用下拋物線兩鉸拱彎矩中本文方法與有限元方法計算結果非常吻合，常規(guī)方法計算結果小于有限元方法結果，偏于不安全。在軸力方面，3種方法結果吻合較好。

由圖2可以看出，在主拱圈自重荷載作用下，常規(guī)方法彎矩結果從線形到數(shù)值都與有限元結果相差很大，主要原因是常規(guī)將主拱圈自重也假定為均布荷載;本文方法彎矩結果與有限元方法結果線形吻合較好，由于推力0.1%誤差造成彎矩數(shù)值上存在誤差。在軸力中，本文方法與有限元方法結果吻合較好，常規(guī)方法與有限元法結果有4.7%的誤差。

圖1 拋物線兩鉸拱在橋面系均布載作用下內(nèi)力比較Fig.1 Inner force compare of three methods result under deck dead load

圖2 拋物線兩鉸拱在主拱圈自重作用下內(nèi)力比較Fig.2 Inner force compare of three methods result under main arch ring dead load

5 結論

本文基于對拋物線弧長微分的簡化，通過對拋物線兩鉸拱、無鉸拱在主拱圈自重、橋面系均布荷載作用下的內(nèi)力表達式推導表明，弧長微分的簡化可以得出曲線積分顯示表達式;通過常變位與實橋算例表明，本文方法比常規(guī)方法精確，比數(shù)值解有更一般的表達式。當然，在尋求結果更準確且形式簡潔的拋物線弧長微分近似表達式方面，仍可以進一步研究。

［1］林同炎.拱是結構也是建筑［J］.土木工程學報，1997，30(3):11－15.

LIN Tong － yan.Arch is structure and architecture［J］.China Civil Engineering Journal，1997，30(3):11 －15.

［2］顧安邦.公路橋涵設計手冊(拱橋上)［M］.北京:人民交通出版社，1994.

GU An－bang.Manual of highway bridge and culvert(Arch bridge)［M］.Beijing:China Transportation Publishing House，1994.

［3］劉孝平.無支架吊裝雙曲拱橋設計原理的探討［R］.長沙:湖南大學，1973.

LIU Xiao－ping.Research on theory in main arch ring lifting construction stage of double curved arch bridge［R］.Changsha:Hunan University，1973.

［4］童 林，周興國，上官興.拱軸線的新型式－懸索線［J］.城市道橋與防洪，2004(1):27－31.

TONG Ling，ZHOU Xing－ guo，SHANGGUAN Xing.A new type of arch axis － cable line［J］.Urban Roads and Flood Control，2004(1):27 －31.

［5］上官興，彭德清，胡常福，等.一種桁式索拱橋結構［P］.中國專利:ZL200720109156.9，2007－05－09.

SHANGGUAN Xing，PENG De－qing，HU Chang－fu，et al.One type structure of truss － cable combined arch Bridge［P］.Chinese patent:ZL200720109156.9，2007－05－09.

［6］蔣啟平.三次樣條插值確定拱橋合理拱軸線的方法探討［J］.武漢理工大學學報，2001，25(1):101－104.

JIANG Qi－ ping.A study of method of determining rational arch axis using three order splin interpolation ［J］.Journal of Wuhan University of Technology，2001，25(1):101－104.

［7］雷曉燕.有限元法［M］.北京:中國鐵道出版社，2000.

LEI Xiao－yan.Finite element method［M］.Beijing:China Railway Press，2000.

［8］Pippard A J S，Ashby R J.An experimental study of the voussoir arch ［J］.Journal of Institute Civil Engineering，1939，10(4):383 －404.

［9］Wang J，Melbourne C.Mechanics of MEXE method for masonry arch bridge assessment［J］.Proceedings of the ICE － Engineering and Computational Mechanics，2010，163(3):187－202.

［10］張 玥.采用數(shù)值方法解算懸鏈線無鉸拱橋［J］.包頭鋼鐵學院學報，2005，24(1):84－88.

ZHANG Yue.Calculation in catenary higeless arch bridge with numerical method［J］.Journal of Baotou University of Iron and Steel Technology，2005，24(1):84 －88.

［11］胡常福.懸索線無鉸拱橋自重內(nèi)力實用計算方法研究［J］.華東交通大學學報，2010，27(6):12 －16.

HU Chang－Fu.Practical method research of dead load internal force calculation in cable line hingeless arch bridge［J］.Journal of East China Jiaotong University，2010，27(6):12 －16.

［12］HU Chang － Fu，WAN Yi，SHANGGUAN Xing.A new practice in the design of arch axis［C］//Proceedings of 6th International Conference on Arch Bridge，F(xiàn)uzhou，China，2010:709 －715.

［13］任偉新，胡常福，上官興.等.空腹式拱橋新型拱軸線研究［J］.交通科學與工程，2010，26(2):26 －30.

REN Wei－Xin，HU Chang－Fu，SHANGGUAN Xing，et al.Research on new arch axis of open－spandrel arch bridge［J］.Journal of Transport Science and Engineering，2010，26(2):26 －30.

Research on practical analytic solution of parabolic arch bridges with uniform section

HU Chang-Fu1，2，LEI Liang-liang2，CHEN Hai-long2，SHANG Ji-zong2

(1.School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410075，China;2.School of Civil Engineering and Architecture，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China)

Inner force calculation method of main arch ring is a significant part of arch bridge design work，which consists of finite element method and analytical method.Due to the inadequate research work in parabolic main arch ring inner force analytic solution，an approximate arc length differential expression was proposed.The display expression of curve integral was deduced，so the parabolic main arch ring inner force analytic solution was simplified.For testing the promoted method，the main arch ring inner force analytic solution of parabolic two hinged arch and hingeless arch under main arch ring and deck system dead load was deduced，through constant deflection and practical arch bridge inner force comparing，it is shown that the promoted method has more accuracy than other literature，more general expression than numerical results.

dead load internal force;arc length differential;practical analytic solution

U445

A

1672－7029(2011)05－0012－07

2011－06－30

國家973計劃資助項目(2009BC623203);國家自然科學基金資助項目(51002050);鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心資助

胡常福(1980－)，男，安徽六安人，博士研究生，講師，從事橋梁工程的研究與教學