劉林芽，呂 銳，劉海龍

(華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，江西南昌 330013)

無砟軌道垂向高頻振動(dòng)響應(yīng)分析＊

劉林芽，呂 銳，劉海龍

(華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，江西南昌 330013)

為了分析不平順條件下無砟軌道的高頻振動(dòng)特性及聲輻射特性，建立了高速鐵路無砟軌道車輛－軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型，在輪軌表面粗糙度激勵(lì)下考慮接觸濾波，模擬出了輪軌垂向高頻振動(dòng)相互作用力，并將此力作用在按我國(guó)實(shí)際軌道結(jié)構(gòu)建立的三維實(shí)體有限元模型上，仿真模擬軌道系統(tǒng)在隨機(jī)荷載作用下的高頻振動(dòng)特性，得到了鋼軌軌頭、軌腰、軌底3處的振動(dòng)響應(yīng)與軌道板同一截面離鋼軌不同距離的3處振動(dòng)響應(yīng)和豎向振動(dòng)加速度級(jí)譜。結(jié)果表明:鋼軌振動(dòng)響應(yīng)中軌頭處振動(dòng)響應(yīng)最大，軌道板振動(dòng)響應(yīng)中距離鋼軌越近響應(yīng)也越大;在計(jì)算頻域內(nèi)軌道系統(tǒng)的高頻振動(dòng)主要以鋼軌的振動(dòng)為主，鋼軌高振幅的振動(dòng)主要集中在0～3 000 Hz，而軌道板的高振幅振動(dòng)就主要集中在0～1 000 Hz，這為以后采用三維軌道結(jié)構(gòu)面上的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果作為速度邊界條件，利用聲學(xué)邊界元法計(jì)算軌道的聲輻射奠定了基礎(chǔ)。

高頻振動(dòng);振動(dòng)響應(yīng);無砟軌道;有限元模型

相對(duì)傳統(tǒng)有砟軌道，無砟軌道以其諸多優(yōu)點(diǎn)在國(guó)內(nèi)外得到廣泛應(yīng)用，其中高速列車與無砟軌道產(chǎn)生的噪聲問題受到了高度重視。在高速鐵路上，輪軌滾動(dòng)噪聲是高速鐵路的主要噪聲，而滾動(dòng)噪聲實(shí)際上就是輪軌之間的高頻振動(dòng)造成的。Remington［1］從輪軌相互作用角度出發(fā)，在輪軌系統(tǒng)動(dòng)力特性分析的基礎(chǔ)上，建立了輪軌滾動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)模型;Thompson 等［2－3］對(duì) Remington 的模型進(jìn)行了發(fā)展，考慮了更詳細(xì)的輪軌接觸關(guān)系，并將鋼軌模型擴(kuò)展為軌道模型;國(guó)內(nèi)也有學(xué)者針對(duì)輪軌特點(diǎn)建立了軌道系統(tǒng)高頻振動(dòng)模型，分析了軌道系統(tǒng)高頻振動(dòng)特性［4－5］。本文運(yùn)用車輛－軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)理論，將車輛與板式軌道作為一個(gè)整體系統(tǒng)，建立了車輛與板式軌道垂向相互作用的動(dòng)力學(xué)分析模型，以輪軌表面粗糙度作為激勵(lì)源，并考慮輪軌接觸濾波，得到在輪軌粗糙度激勵(lì)下輪軌垂向高頻振動(dòng)相互作用力，分析了軌道系統(tǒng)的三維有限元模型在此垂向力作用下的垂向高頻振動(dòng)特性。為以后利用聲學(xué)邊界元法將有限元振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果作為邊界條件，計(jì)算軌道系統(tǒng)的瞬態(tài)聲輻射量奠定了基礎(chǔ)［6］。本文研究線路見圖1。

圖1 研究線路圖Fig.1 The circuit diagram

1 無砟軌道車輛－軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型

運(yùn)用車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)原理，將車輛和板式軌道作為一個(gè)整體系統(tǒng)建立了無砟軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。車輛系統(tǒng)中車體、構(gòu)架、輪軸視為多剛體系統(tǒng)，車輛結(jié)構(gòu)部件之間考慮由彈簧、阻尼元件連接;軌道系統(tǒng)中鋼軌采用連續(xù)彈性離散點(diǎn)支承無限長(zhǎng)Timoshenko梁模型，軌下膠墊(含扣件)以離散分布的粘滯阻尼和線性彈簧表示;軌道板被視為連續(xù)均布彈性基礎(chǔ)上的自由梁，板下瀝青墊層的彈性阻尼則用連續(xù)分布的阻尼和線性彈簧表示。車輛與板式軌道的垂向耦合作用通過輪軌接觸來實(shí)現(xiàn)，輪軌力按Hertz非線性彈性接觸理論進(jìn)行處理。

圖中:Mc和Jc為車體的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Mt和Jt為轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ks1和ks2為車輛一、二系懸掛剛度;cs1和cs2為車輛一、二系懸掛阻尼;Mwi(i=1，2，3，4)為第i個(gè)車輪的質(zhì)量;vc和θc為車體沉浮振動(dòng)的豎向位移、車體點(diǎn)頭振動(dòng)的角位移;vti和θti(i=1，2)為前、后轉(zhuǎn)向架沉浮振動(dòng)的豎向位移、點(diǎn)頭振動(dòng)的角位移;vwi(i=1，2，3，4)為第i個(gè)車輪的豎向位移。

圖2 車輛－軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Vehicles－ unballasted track vertical coupling dynamics model

1.1 上部車輛系統(tǒng)

上部結(jié)構(gòu)為附有二系彈簧系統(tǒng)的整車模型，車體和轉(zhuǎn)向架考慮沉浮振動(dòng)和點(diǎn)頭振動(dòng)，車輪考慮沉浮運(yùn)動(dòng)，各振動(dòng)微分方程詳見文獻(xiàn)［7］。最后可得上部車輛系統(tǒng)有限元振動(dòng)響應(yīng)方程:

式中:［M］u，［C］u和［K］u分別為上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣;{q}u，{˙q}u和{¨q}u分別為上部結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度矢量;{P}u為上部結(jié)構(gòu)荷載矢量。

1.2 下部軌道系統(tǒng)

1.2.1 鋼軌振動(dòng)方程

板式軌道由于其結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱，故可取一股軌道進(jìn)行研究，鋼軌視為Timoshenko梁，考慮其剪切與旋轉(zhuǎn)。當(dāng)列車在軌道上運(yùn)行時(shí)，鋼軌在輪軌力Pi和軌道板扣件作用力Rj的共同作用下，得到鋼軌垂向位移vr的振動(dòng)偏微分方程:

式中:ErIr為鋼軌的抗彎剛度;mr為單位長(zhǎng)度鋼軌質(zhì)量;vs為軌道板豎向位移;v0為車輪靜壓量;xpi為各車輪坐標(biāo);xj為扣件坐標(biāo);Nw為輪對(duì)數(shù);NS為扣件數(shù)。

1.2.2 軌道板振動(dòng)微分方程

根據(jù)彈性基礎(chǔ)上梁和板計(jì)算的一般規(guī)定，當(dāng)結(jié)構(gòu)物的長(zhǎng)度小于其寬度的3倍時(shí)，應(yīng)當(dāng)作板計(jì)算，而在長(zhǎng)度大于3倍寬度的情況下則可當(dāng)作梁計(jì)算。據(jù)此，可以將對(duì)應(yīng)于單股鋼軌的軌道板簡(jiǎn)化為彈性地基梁上的自由梁［8－9］。軌道板支承在有阻尼的彈性基礎(chǔ)上其振動(dòng)微分方程為:

式中:ESIS為軌道板的抗彎剛度;ms為單位長(zhǎng)度軌道板質(zhì)量;cca和kCA分別為軌道板下CA砂漿墊層沿長(zhǎng)度方向的分布阻尼和剛度;n0為單塊軌道板上單股鋼軌的支點(diǎn)數(shù);Rrs為鋼軌支點(diǎn)反力;δ為Diraeδ函數(shù)。

由式(2)～(6)得出下部軌道子系統(tǒng)的有限元振動(dòng)響應(yīng)方程:

式中:［M］l，［C］l和［K］l分別為下部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣;{q}l，{˙q}l和{¨q}l分別為下部結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度矢量;{P}l為下部結(jié)構(gòu)荷載矢量。

1.3 輪軌耦合

對(duì)輪軌動(dòng)態(tài)相互作用關(guān)系的描述采用了動(dòng)態(tài)輪軌關(guān)系模型，輪軌之間耦合采用Hertz非線性彈性接觸理論［10］。

2 激勵(lì)模型

2.1 輪軌表面粗糙度譜

至今為止，我國(guó)尚沒有適合輪軌高頻振動(dòng)及輪軌噪聲預(yù)測(cè)的短波輪軌聯(lián)合粗糙度譜，在輪軌噪聲研究中只能借用已有的擬合公式。徐志勝等［11］應(yīng)用Sato譜作為輪軌表面粗糙度公式對(duì)輪軌高頻振動(dòng)進(jìn)行了研究，獲得較為可靠的結(jié)果，在此，將Sato譜作為輪軌表面粗糙度的激勵(lì)源，擬合公式解析表達(dá)式如下［12］:

式中:k為粗糙度波數(shù);A為輪軌表面粗糙度系數(shù)，A=4.15×10-8～5.0×10-7。

2.2 輪軌表面粗糙度輸入模型

由于采用Herzt非線性接觸理論描述輪軌接觸，表面粗糙度譜不能直接輸入系統(tǒng)，必須以時(shí)序樣本的方式輸入。為此，首先必須將表面粗糙度空間譜密度通過時(shí)頻轉(zhuǎn)換的方法轉(zhuǎn)換為時(shí)序樣本，即根據(jù)功率譜分別求出頻譜的幅值和隨機(jī)相位，然后再通過傅立葉逆變換得到輪軌表面粗糙度時(shí)域模擬樣本［13］。

2.3 輪軌接觸濾波

因?yàn)檩嗆壉砻娲植诙葘?duì)輪軌的激勵(lì)作用與接觸斑大小有關(guān)，當(dāng)粗糙度波長(zhǎng)小于接觸斑時(shí)，其激勵(lì)作用將削弱，這種輪軌接觸區(qū)的特性稱為輪軌接觸區(qū)濾波作用，為了考慮這種影響，通常引入濾波函數(shù) ，其解析表達(dá)式如下［14］:

式中:b為接觸區(qū)圓半徑;k為粗糙度波數(shù);α為粗糙度相關(guān)系數(shù);J為貝塞爾函數(shù)。

最后模擬得到了Sato譜的時(shí)域序列，如圖3所示。

圖3 Sato譜時(shí)域系列Fig.3 Sato spectral time－domain series

2.4 計(jì)算結(jié)果

運(yùn)用Newmark法求解系統(tǒng)振動(dòng)方程組，并采用計(jì)算機(jī)編程數(shù)值模擬求解，得到輪軌力時(shí)程曲線圖如圖4所示?？梢钥闯鲚嗆壗佑|力時(shí)程曲線是圍繞列車單輪重70 kN來回振蕩，這也說明了所計(jì)算輪軌接觸力的合理性與可行性。列車采用CHR3－380型動(dòng)車，鋼軌為 P60軌，軌道板是CRTSⅡ型板，列車時(shí)速300 km/h，其他參數(shù)均取自文獻(xiàn)［15］。

圖4 輪軌垂向接觸力時(shí)程曲線圖Fig.4 Wheel－ rail vertical force －time curve

3 軌道結(jié)構(gòu)有限元模型及其高頻振動(dòng)分析

3.1 軌道結(jié)構(gòu)有限元模型

運(yùn)用大型通用有限元軟件根據(jù)我國(guó)軌道實(shí)際結(jié)構(gòu)建立軌道系統(tǒng)的三維實(shí)體有限元模型，鋼軌、軌道板采用三維實(shí)體單元SOLID45進(jìn)行模擬;扣件系統(tǒng)、CA砂漿層采用COMBIN14單元進(jìn)行模擬，如圖5所示。

圖5 軌道系統(tǒng)三維有限元模型Fig.5 Finite element model of rail system

3.2 軌道結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)響應(yīng)分析

將2.4中計(jì)算得到的垂向輪軌力加載到三維有限元模型上，并對(duì)其進(jìn)行移動(dòng)荷載瞬態(tài)分析，之后分別提取鋼軌和軌道板跨中節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果。

對(duì)鋼軌的軌頭、軌腰和軌底進(jìn)行研究比較，取點(diǎn)位置如圖6，其時(shí)間位移響應(yīng)曲線如圖7。結(jié)果表明，鋼軌在垂向激勵(lì)作用下，軌頭處位移最大為1.04 mm，其次是軌底處位移為 0.91 mm，最小位移是軌腰處位移為0.87 mm，3處位移相差不大，且軌頭處響應(yīng)最大，那么鋼軌的加速度響應(yīng)可用最大的軌頭處加速度響應(yīng)表示，見圖8。

圖6 鋼軌取點(diǎn)位置截面圖Fig.6 The section graph fetch points position of rail

圖7 鋼軌垂向位移時(shí)間曲線Fig.7 Vertical displacement－ time curve of rail

圖8 鋼軌垂向振動(dòng)加速度曲線Fig.8 Vertical acceleration － time curve of rail

對(duì)軌道板進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，觀察點(diǎn)選取如圖9，其位移時(shí)間響應(yīng)曲線如圖10。結(jié)果表明，軌道板同一截面上距離鋼軌最近的振動(dòng)響應(yīng)最大，距離越遠(yuǎn)響應(yīng)越小，其中最大響應(yīng)值為0.48 mm，那么軌道板的加速度響應(yīng)可用最大的點(diǎn)1處加速度響應(yīng)表示，見圖11。

圖9 軌道板取點(diǎn)位置截面圖Fig.9 The section graph fetch points position of track slab

圖10 軌道板垂向位移時(shí)間曲線Fig.10 Vertical displacement－ time curve of track slab

圖11 軌道板垂向振動(dòng)加速度曲線Fig.11 Vertical acceleration － time curve of track slab

由圖8、圖11分析鋼軌軌頭處和軌道板1點(diǎn)處垂向的加速度響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)鋼軌最大豎向加速度為182.23 m/s2，軌道板的最大豎向加速度值為25.49 m/s2。

為了給在垂向輪軌力作用下軌道系統(tǒng)的瞬態(tài)聲輻射量提供計(jì)算依據(jù)，對(duì)鋼軌和軌道板的高頻振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算［12］。將圖8、圖11結(jié)果進(jìn)行時(shí)頻轉(zhuǎn)換，得到了鋼軌以及軌道板的豎向振動(dòng)加速度級(jí)譜，如圖12～圖13所示，加速度參考值取為0.001g。

由圖12可知，900，1 800和3 000 Hz時(shí)鋼軌加速度級(jí)譜有峰值，波谷出現(xiàn)在1 200，2 500 Hz，可以看出鋼軌高振幅的振動(dòng)集中在0～3 000 Hz，在更高的頻域范圍內(nèi)由于波數(shù)過濾器作用很強(qiáng)，鋼軌的振動(dòng)加速度并不突出。

圖12 鋼軌豎向振動(dòng)加速度級(jí)譜Fig.12 The vertical vibration acceleration spectrum level of rail

圖13 軌道板豎向振動(dòng)加速度級(jí)譜Fig.13 The vertical vibration acceleration spectrum level of track slab

從圖13可得知，軌道板振動(dòng)加速度級(jí)譜的多數(shù)波峰和波谷主要集中在0～1 000 Hz，在700 Hz時(shí)存在一個(gè)較大的波峰，這說明軌道板主要還是以低頻振動(dòng)為主，對(duì)高頻部分的貢獻(xiàn)很少且高頻振動(dòng)的衰減很快。

綜上所述，在高頻范圍內(nèi)(＞1 000 Hz)軌道系統(tǒng)的振動(dòng)主要是以鋼軌的振動(dòng)為主，且符合國(guó)內(nèi)外研究者在高頻振動(dòng)與聲輻射之間的關(guān)系所做出的結(jié)論與成果［16］。所以可以預(yù)測(cè)在接下來的聲輻射計(jì)算中，軌道系統(tǒng)的聲輻射也是以鋼軌引起的聲輻射為主。

4 結(jié)論

(1)運(yùn)用車輛－軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)理論，在輪軌表面粗糙度激勵(lì)下考慮接觸濾波，模擬出了輪軌隨機(jī)粗糙度譜情況下輪軌垂向高頻振動(dòng)相互作用力，根據(jù)我國(guó)實(shí)際軌道結(jié)構(gòu)，建立軌道系統(tǒng)的三維實(shí)體有限元模型，以輪軌垂向作用力為激勵(lì)，分析了軌道系統(tǒng)的振動(dòng)和頻率響應(yīng)特性;

(2)建立成熟的二維車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型，可以有效計(jì)算出粗糙度激勵(lì)下的輪軌垂向作用力，建立的三維軌道實(shí)體有限元模型可以計(jì)算出輪軌垂向作用力下的軌道結(jié)構(gòu)面上的振動(dòng)，為以后采用三維軌道結(jié)構(gòu)面上振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果為邊界條件，利用聲學(xué)邊界元法計(jì)算軌道的聲輻射奠定基礎(chǔ);

(3)在計(jì)算頻域內(nèi)軌道系統(tǒng)的高頻振動(dòng)主要以鋼軌的振動(dòng)為主，鋼軌高振幅的振動(dòng)主要集中在0～3 000 Hz，在更高的頻域范圍內(nèi)由于波數(shù)過濾器作用很強(qiáng)，鋼軌的振動(dòng)加速度并不突出，而軌道板的高振幅振動(dòng)就主要集中在0～1 000 Hz。

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Vertical high frequency vibration response analysis of ballastless track

LIU Lin-ya，LV Rui，LIU Hai-long

(Engineering Research Center of Railway Environmental Vibration and Noise，Ministry of Education，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China)

In order to analyze the high frequency dynamical and the sound radiation characteristics of unballasted track under an irregularity condition，the paper proposed a vehicle－track vertical coupled model of high－speed railway.Under the incentive of surface roughness and considering contact filtering，the high frequency vertical load between rail and wheels can be calculated.Applying the load on the three dimensional finite element model，based on the rail structure of actual conditions in our country，the high－frequency vibration features of track system under the influence of random vibration loads can be numerically modeled，and the vibration response at the head，waist and base of the rail，the vibration response and vertical vibration acceleration spectrum level of three different sections parallel to the rail plate were calculated.The results show that the biggest vibration response of the rail appears at the rail head while that of the rail plate turn up at the one closer to the rail.The dominate high－frequency vibration of the rail system within the frequency included in the calculation is vibration of rail of which the high amplitude range is 0 ～3 000 Hz，while，as for the rail plate，the range mainly is 0 ～1 000 Hz.The domain provided a foundation for using the calculation result of vibration response on the 3D rail structure as speed boundary and calculating orbit sound radiation by acoustic boundary method.

high frequency vibration;vibration response;ballastless track;finite element model

U213.2

A

1672－7029(2011)06－0001－06

2011－11－16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51068007);新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(NECT－09－0167)

劉林芽(1973－)，男，江西樟樹人，教授，從事鐵道及城市軌道交通工程振動(dòng)與噪聲的研究