○宋興明

（哈爾濱工程大學理學院黑龍江 哈爾濱 150000）

一、短期個別風險模型

1、函數分析

矩母函數對于一個非負隨機變量X，其分布函數為F（x），其矩母函數定義為：

矩母函數可以完全刻畫隨機變量X的分布特征：如果兩個隨機變量具有相矩母函數，則它們的分布函數也相同。由于這種一一對應的關系，矩母函數便成為研究隨機變量的一個得心應手的工具，以矩母函數表達的結論均可以轉換成關于分布函數的關系。矩母函數有一個很好的性質：獨立和的矩母函數等于各個變量的矩母函數，即設：S=X1+X2+…+Xn，其中 X1，X2，…，Xn相互獨立，則有：

這一性質在研究總理賠量的分布時具有重要的意義。矩母函數的優(yōu)點在于求隨機變量的分布函數，這樣容易求隨機和的分布函數。

利用全概率公式，可以得到2個條件期望和條件方差的公式：

公式（2）稱為期望的累積法則，公式（3）則表明，總的方差可以分解成方差的期望與條件期望的方差之和。

2、短期個別風險模型簡介

承保人收取投保人的保費后，將面臨賠償損失的風險。設在一定時間內承保人所面臨的總的賠償為S，S為一個隨機變量，設該時期內共有n個投保個體，假定第i張保單可能發(fā)生的理賠（或理解為保險人i的賠付）為Xi，則：

也就是說個體損失的和構成總損失。通常假設X1,X2,…,Xn相互獨立，即風險損失彼此無影響。而且由于我們假設是在某一段時間內，這樣考慮的時間變化的范圍較小，可以忽略利息的影響。以上公式稱為短期個別風險模型。

3、求S分布的幾種方法

（1）卷積方法。令 F（x）=P（S≤x）表示 Xi的分布函數（i=1，2，…n），F（k）是 X1+X2+…+Xk的分布函數，FS是 S的分布函數，則有下述遞推公式：

式中FX*FY是分布FX與FY的卷積運算，它是W=X+Y的分布函數，在X和Y獨立的條件下：

（2）矩母函數法。設Ms與Mi（t）分別為S與Xi的矩母函數，即Ms（t）=E（ets）及Mi（t）=E（etxt），則有：

若將t換成-t，則Ms（-t）是Laplace變換，由矩母函數的連續(xù)性及唯一性，便可求得S的概率分布。

二、短期聚合風險模型

1、短期聚合風險模型簡介

給定時間內保單的總理賠量為S，則有：

同樣，Xi來表示對某類保單的第i次理賠，N表示在給定時間內保單發(fā)生理賠的次數。為了使以上的理論具有可操作性，通常對其中的隨機變量做以下的假設：假設一：隨機變量X1，X2，…，Xn是相互獨立的。假設二：X1，X2，…，Xn是具有相同分布的隨機變量，即Xi中的風險都為同質風險，其分布函數為P（x）。與個體風險模型不同之處在于，理賠次數n=N是隨機變量。這正是“聚合”的意義之所在。

2、建立理賠額S的數字特征

首先確定理賠總額S的數字特征的計算公式。

X的數學期望：uX=E{X}

X的方差：σ2X=Var{X}

X的矩母函數：MX（t）=E{etX}

再設MN（t）與MS（t）分別為N與S的矩母函數，應用條件期望嵌套公式及全方差公式，我們有：

這樣便建立了S的數字特征。

這表明：理賠總額S的期望值為理賠次數N與每次理賠次數N期望值之乘積；理賠總額S的變異（即方差）由兩部分構成。一部分來自于個體理賠量的變異，另一部分來自于理賠次數的變異；理賠總額S的矩母函數是理賠次數N的矩母函數在關于個體理賠量X1的半不變量lnMX（t）處的函數值。

利用全概率公式，可得S的分布函數為：

其中 P*n（x）=P*P*…P（x）=Pro（X1+X2+…+Xn=x）理賠次數N取不同的分布，個別理賠量取不同的分布P（x），就得到了總理賠量S的不同復合分布。如果N為Poisson分布，則S的相應分布便成為復合Poisson分布。

3、復合Poisson分布

當理賠次數服從參數為λ的Poisson分布，個別理賠量的分布函數為P（x）時，稱S的分布為參數λ、分布函數P（x）確定的復合Poisson分布，它的數字特征如下：

復合Poisson分布有一個很好的性質，如定理1所述。

這個定理在建立保險模型方面有兩個應用：若有m個險種，每個險種的理賠總量均是復合Poisson變量并相互獨立，則總理賠量也服從復合Poisson分布；考慮m年期的單個險種，假設各年內的理賠總量均是復合Poisson變量，但各年理賠總量的分布可能不同，則定理表明：m年期的總理賠量也服從復合Poisson分布。

三、長期聚合風險模型

1、長期聚合風險模型簡介

本模型是針對一個較長時期內建立保險人盈余量變化模型。此處的盈余是指某個初始啟動基金加上收取保費超過理賠的那一部分，而非財務意義上的盈余。為了數學處理方便，通常不考慮利息和其他除了保費和理賠之外的影響盈余的因素，例如附加費和保單持有人的分紅等等。對t≥0，記U（t）為保險人在時刻t的盈余。假設保費以常數c>0，c=（1+θ）u，連續(xù)收取，S（t）為直到時刻t的總理賠量。如果U（0）=u為時刻0時初始盈余，則有：

因此，通常的盈余過程{U（t），t≥0}如圖 1所示：

圖1

使用“過程”這一詞表明，我們關心的是隨時間t，（t≥0）變化的隨機變化族以及它們分布之間的關系。

對盈余過程{U（t），t≥0}來說，保險人最關心在某一時期內首次出現負盈余（即破產發(fā)生）的時間機器破產發(fā)生的概率，即確定：

第一，破產發(fā)生時刻。

如果對于一切的 t≥0，都有 U（t）>0，則約定 T=∞，表示保險公司不會發(fā)生破產。

第二，時間t以內破產發(fā)生概率。

特別地，當 t→∞ 時的概率 Ψ（u）=P（T<∞）。

稱Ψ（U）為初始盈余是u的情況下破產發(fā)生的概率，簡稱為破產概率。破產概率的研究一直以來是人們關注的焦點，它是衡量一個保險機構金融風險的極其重要的尺度。

與破產時刻問題相聯系，我們需要確定如下問題：

第一，直到時刻t為止的理賠次數過程N（t）。

第三，Ψ（u）及與Ψ（u）有關的調節(jié)系數R，即下面關于r方程的正解：

其中θ為安全附加系數。

第四，與u-S（t）有關的一些特殊隨機變量的概率分布。

2、理賠過程

對某個確定的保險險種，把N（t）記作直到時刻t為止的理賠次數，S（t）為直到時刻t為止的總理賠量。假設初始時刻為t=0，故 N（0）=0。顯然，只要 N（t）=0，就有 S（t）=0。Xi來表示對第i次理賠的理賠量，則

{N（t），t≥0}稱為理賠次數過程，{S（t），t≥0}稱為總理賠過程。

對于式（14）定義的 S（t），如果 X1，X2，…，Xn是相互獨立且服從同一分布函數 P（x）的隨機變量，它們還與過程{N（t），t≥0}獨立，而且假設{N（t），t≥0}為 Poisson過程，則稱{S（t），t≥0}為復合Poisson過程。如果總理賠量過程是由參數λ和P（x）確定的復合Poisson過程，則它和理賠次數有如下相似的性質：

如果 t≥0，h>0，則 S（t+h）S（t）是由參數 λh和 P（x）的確復合Poisson分布，也就是說：

這里P*k（x）是分布函數P（x）的的k重卷積。

在長度為dt的無窮小區(qū)間中，可能沒有理賠，也可能只有一次理賠量服從分布函數P（x）的的理賠，有一次理賠的概率為λdt，沒有理賠的概率為 1-λdt。

對任意時刻h，下一次理賠發(fā)生在h+t和h+t+dt之間，而且理賠量小于等于 x的概率為 e-λhλdtP（x）。

四、破產理論

破產理論是風險理論中非常重要的一個問題，對于保險公司而言，破產概率可以作為綜合保費和索賠過程的保險公司穩(wěn)定性的一個指標，是風險管理的一個有用工具，它可以作為保險公司一個十分有用的早期風險的警示手段，所以對破產理論的研究也具有很重要的意義。

在盈余過程 U（t）=u+ct-S（t），t≥0中通常人們最關心的是{u（t）<0}這一事件發(fā)生的可能性，我們定義 u（t）<0為破產發(fā)生。記破產發(fā)生的時刻為：

如果對于一切的 t≥0，都有 u（t）>0，則約定 T=∞，表示保險公司不會發(fā)生破產。記 Ψ（u）=Pr（T<∞），稱 Ψ（u）為初始盈余是u的情況下破產發(fā)生的概率，簡稱為破產概率。

為了進一步分析哪些量與破產概率有關，我們比較時刻t時所收取的保費ct與索賠S（t）的矩母函數。

所以由此推出 logMS（t）（r）的 Taylor展開式為：

圖2

由于 logMS（t）（r），圖形的彎曲程度取決于它的一階、二階導數。由圖 2可以看出，當 E[S（t）]，Var[S（t）]增大，R變??；而當 c變大，則R變大。因此，R的大小，可以衡量風險的變化。R稱為調節(jié)系數，是以下關于r方程的正根：

在離散時間情形下，R是關于如下方程的正根：

由于（18）式是一個非線性方程，通常來說求解比較困難。但利用調節(jié)系數r，可以得到破產概率的指數界，即下面的Lundberg不等式：

定理2：存活概率滿足下列方程：

[1]Gerber H.U.數學風險導引[M].世界圖文出版社，1979.

[2]Gerber H.U.，Shiu E.S.W.The joint distribution of the time of ruin，The surpluse immediately before ruin，and the deficit at ruin[J].Insurance:Mathematics and Ecnom ics，1997（21）.

[3]GerberH.U.，Shiu E.S.W.On the time value of ruin[J].North American Actuarial journal，1998（2）.

[4]Gerber，Goovaerts，kass.On the probability and severity of ruin[J].ASTIN Bulletin，1987（17）.