魏永祥，陳建軍，拓耀飛

(1. 西安電子科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，陜西 西安，710071；2. 榆林學(xué)院 物理與電氣工程系，陜西 榆林，719000)

齒輪系統(tǒng)應(yīng)用于多種機械動力裝備中傳遞運動或動力。在各種機械特別是精密機械中，都要求降低齒輪傳動引起的振動和噪聲。由于材料屬性、加工精度和負載狀況等因素，齒輪系統(tǒng)在工作過程中經(jīng)常會出現(xiàn)振動加劇或突變，導(dǎo)致磨損、疲勞破壞和大噪聲，從而使機器工作的可靠性和性能降低，甚至使系統(tǒng)遭到破壞。因此，有必要研究齒輪嚙合的動態(tài)位移及其各參數(shù)對動態(tài)位移的影響等問題。當考慮齒輪時變嚙合剛度時，系統(tǒng)的動力學(xué)模型將是一個具有周期性時變系數(shù)的非線性系統(tǒng)[1]。對于時變剛度的齒輪系統(tǒng)，很多學(xué)者在確定性齒輪系統(tǒng)的響應(yīng)及穩(wěn)定域方面做了大量的工作。張永忠等[2-4]研究了齒輪在嚙合過程中有關(guān)齒輪剛度、齒根應(yīng)力的計算方法和具有時變嚙合剛度的齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)問題。唐增寶等[6-8]分別用不同的方法求解了齒輪系統(tǒng)的時變非線性微分方程，獲得了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，分析了不同因素對齒輪振動響應(yīng)的影響。然而，這些文獻都是以確定性的齒輪系統(tǒng)為研究內(nèi)容。近年來，人們開始關(guān)注齒輪的隨機動力響應(yīng)問題，如：Wang等[9-11]考慮了隨機(模糊)誤差激勵或在隨機外激勵下，時變剛度齒輪傳動系統(tǒng)的動力響應(yīng)，然而，并未考慮齒輪系統(tǒng)中物理和幾何參數(shù)的隨機性對其動力響應(yīng)的影響。在實際中，由于材料屬性的隨機性和在加工、安裝過程中的多種隨機因素的影響，都會造成齒輪系統(tǒng)動力響應(yīng)的隨機性。Chen等[12-14]應(yīng)用隨機因子法處理了具有隨機參數(shù)結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題。在此，本文作者以隨機參數(shù)時變剛度齒輪副為分析模型，在考慮彈性模量、質(zhì)量密度、齒寬和模數(shù)等系統(tǒng)參數(shù)同時具有隨機性且作用荷載幅值也具有隨機性的情況下，利用Duhamel積分[15]，分析隨機參數(shù)時變剛度齒輪副在隨機力激勵下的動力響應(yīng)的數(shù)字特征。

1 確定性齒輪動力分析模型

對直齒圓柱齒輪副，當支撐軸承和傳動軸的剛度比輪齒嚙合剛度大許多時(即可認為是剛性的)，單級齒輪副傳動系統(tǒng)的動力學(xué)簡化模型如圖1所示。其中：PQ為齒輪理論嚙合線；Ri，Ii，θi和Ti(i=1, 2)分別為嚙合齒輪的基圓半徑、轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)角和所承受的轉(zhuǎn)矩。該模型的動力學(xué)方程為[5]：

式中：iθ，(i=1, 2)分別為主動齒輪和被動齒輪的扭轉(zhuǎn)角、角速度和角加速度；Ii(i=1, 2)為主、被動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；Ri(i=1, 2)為主動齒輪和被動齒輪的基圓半徑；ki和ci(i=1, 2)分別為主動齒輪和被動輪齒的撓曲剛度和阻尼；ei(i=1, 2)為主動齒輪和被動輪齒的綜合誤差；Ti(i=1, 2)為作用在主動齒輪和被動齒輪上的力矩；km(t)和cm分別為齒輪副的嚙合剛度和嚙合阻尼。其中單齒嚙合時的剛度 k(t)采用魏氏撓度公式和兩圓柱接觸變形的赫茲公式[2]進行計算，即：

式中：kc為輪齒在嚙合點的接觸剛度。

圖1 單級齒輪副物理模型Fig.1 Physical model of one-stage gear

由于k1，k2和kc在不同嚙合點處的取值不同，且單齒或多齒交替嚙入嚙出會導(dǎo)致剛度突變，因此，嚙合剛度km(t)為時變剛度。將單齒嚙入到嚙出作為1個研究周期，并把這1個周期n等分后逐步計算不同嚙合點的剛度，最后根據(jù)重合度判斷不同嚙合點處是單齒或是多齒嚙合來計算總的時變嚙合剛度。

對嚙合阻尼cm由下式計算[5]：

其中：ξc為輪齒嚙合的振型阻尼比。

記嚙合線上兩齒輪的相對位移為x，即有：

其中：me為等效質(zhì)量；P為等效載荷。

由于齒輪嚙合時齒間間隙很小，故將齒輪副等效為2個等厚薄圓柱，且其質(zhì)量密度相同，它們的轉(zhuǎn)動慣量分別為：

其中基圓半徑由下式得：

式中：z1和z2分別為主動齒輪和被動齒輪的齒數(shù)；α為壓力角。

2 隨機參數(shù)時變剛度齒輪副在隨機力激勵下的響應(yīng)分析

利用 Duhamel積分可求得系統(tǒng)動力學(xué)方程(8)的形式解為：

其中：τ為時間積分變量；h(t)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，即有

現(xiàn)考慮系統(tǒng)參數(shù)具有隨機性的情況。設(shè)齒輪副的材料相同，其物理參數(shù)(彈性模量E和質(zhì)量密度ρ)和幾何參數(shù)(齒寬b，模數(shù)mo= s /π，s為相鄰兩輪齒同側(cè)齒廓間的齒距)同時為隨機變量。模數(shù)雖已標準化，但由于制造、裝配等因素都會導(dǎo)致齒距s仍有隨機性，從而使模數(shù)也有隨機性。則由以上推導(dǎo)公式可知，齒輪嚙合系統(tǒng)的等效嚙合剛度 km(t)和等效質(zhì)量 me亦為隨機變量。顯然，這將導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率ωn的隨機性，進而導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的隨機性。下面導(dǎo)出系統(tǒng)位移響應(yīng)的數(shù)字特征計算表達式。

利用求解隨機變量函數(shù)數(shù)字特征的矩法，從式(12)出發(fā)，可求得系統(tǒng)位移響應(yīng)的均值和方差分別為：

式中：μ和σ分別為隨機變量的均值和均方差。

以下導(dǎo)出求式(14)和(15)中所需的計算表達式。

首先將式(10)和(11)代入式(9)，經(jīng)整理并利用隨機因子法[12]得：

利用求解隨機變量函數(shù)的代數(shù)綜合法，由式(16)可推得隨機變量me的均值μme和方差分別為：

由動力學(xué)中的瑞利商公式，系統(tǒng)的固有頻率nω可寫成隨機因子的形式如下：

同樣，由式(19)可推得系統(tǒng)固有頻率ωn的均值μωn和均方差σωn分別為：

其中：ρ,EC為E和ρ的相關(guān)系數(shù)。

將以上導(dǎo)出的計算式(16)～(21)代入式(14)和(15)，即可獲得隨機時變齒輪副動力響應(yīng)的數(shù)字特征。

3 算例

依據(jù)上述導(dǎo)出的計算公式和Duhamel數(shù)值積分方法，編制了計算隨機參數(shù)時變剛度齒輪副的動力響應(yīng)分析程序。取標準圓柱齒輪副，材料為鋼。齒數(shù)z1=45，z2=100，壓力角α=20°，齒輪的額定轉(zhuǎn)速為 2 000 r/min，阻尼系數(shù) ξ=0.003，泊松比 μ=0.2，變位系數(shù) χ=0。考慮材料的彈性模量E、密度ρ、齒寬度b、模數(shù)mo和荷載P均為隨機變量，它們的均值分別為：μE=2.08×1011Pa，μρ=7.86 t/m3，μb=16 mm，μmo=4 mm，μP=795.78 N。為比較各隨機參數(shù)取值的分散性對系統(tǒng)的影響，它們的變異系數(shù)均取為0.1。

圖2所示為單齒嚙合4倍個嚙合周期T(單齒從嚙入到嚙出的時間)內(nèi)嚙合剛度的變化曲線。經(jīng)計算得齒輪嚙合的重合度為1.794 2，即在1個嚙合周期T內(nèi)，0.794 2T的時間處于雙齒嚙合區(qū)，0.205 8T的時間為單齒嚙合區(qū)。在不同嚙合點處剛度不同，且單齒與雙齒交替嚙入和嚙出時導(dǎo)致剛度突變。

圖2 齒輪時變剛度Fig.2 Time-varying stiffness of gear

圖3 所示為根據(jù)計算結(jié)果按“3σ”準則繪出的隨機時變齒輪副的動態(tài)位移響應(yīng)(此處的位移是指兩齒輪輪齒嚙合處的相對變形量)的均值μ和上下界μ±3σ的波動曲線。圖中的橫坐標是以輪齒嚙合周期(單齒從嚙入到嚙出的時間)T的倍數(shù)。從圖 3可看出：在0.794 2T單雙齒交替嚙合時由于剛度突變引起的位移沖擊響應(yīng)；位移的均方差也隨時間變化，且在單齒嚙入時動態(tài)位移響應(yīng)的分散性變大。剛度突變對動態(tài)位移響應(yīng)的均方差與對均值的影響趨勢相一致。

圖3 隨機動態(tài)位移響應(yīng)Fig.3 Stochastic dynamic displacement response

圖4 所示為考慮隨機時變齒輪副系統(tǒng)參數(shù)全部為隨機變量時的動態(tài)位移均值與參數(shù)為確定性時動態(tài)位移的對比。從圖4可以看出系統(tǒng)參數(shù)的隨機性對動態(tài)位移的均值也有影響。

圖4 隨機和確定模型的動態(tài)位移響應(yīng)Fig.4 Random and determine model of dynamic displacement response

為考察各個隨機參數(shù)的分散性對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，表1列出了不同隨機參數(shù)組合時系統(tǒng)的最大位移響應(yīng)的均值和均方差。結(jié)果表明：當參數(shù)全為隨機變量時位移響應(yīng)均值的分散性最大，與確定模型相差也最大。其中：彈性模量E和密度ρ的隨機性對位移響應(yīng)的均值影響相反，但對方差的影響卻基本相一致；齒寬b的隨機性對位移響應(yīng)的影響很??；荷載P的隨機性對位移響應(yīng)的均值基本沒有影響，卻對方差的影響起主導(dǎo)作用；模數(shù)mo的隨機性對位移響應(yīng)方差的影響也很大，其影響僅次于荷載P的影響；模數(shù)mo的隨機性主要反映了齒輪的分度圓半徑的隨機性對位移響應(yīng)的影響。

表1 不同隨機組合時系統(tǒng)的最大位移位移響應(yīng)的均值和均方差Table1 Mean and variance of effect of different random combinations of maximum displacement response of system

4 結(jié)論

(1) 當考慮齒輪副的物理和幾何參數(shù)具有隨機性時將導(dǎo)致系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量和固有頻率也有隨機性，使動力方程成為隨機微分方程，常規(guī)的動力分析方法將無法求解，只能用概率的分析方法。當隨機性模型中各隨機變量的變異系數(shù)均為0就變?yōu)榇_定性模型，后者僅是前者的特例。

(2) 齒輪副參數(shù)的隨機性對系統(tǒng)位移響應(yīng)的均值有一定的影響，荷載的隨機性對系統(tǒng)位移響應(yīng)的均值沒有影響，卻對系統(tǒng)位移響應(yīng)的均方差的影響很大。齒輪的幾何參數(shù)(特別是模數(shù)mo)的隨機性對系統(tǒng)位移響應(yīng)的影響不可忽略；因此，齒輪副的加工精度對齒輪副的動力響應(yīng)的隨機性具有重要作用。由于單齒雙齒甚至多齒交替嚙入嚙出時將導(dǎo)致嚙合剛度突變，在剛度突變時，系統(tǒng)的位移響應(yīng)有沖擊現(xiàn)象發(fā)生，系統(tǒng)響應(yīng)的均方差也會出現(xiàn)突變。

(3) 本文計算所得的系統(tǒng)動力響應(yīng)的數(shù)字特征可為開展隨機參數(shù)齒輪系統(tǒng)的動力可靠性分析、預(yù)測和優(yōu)化設(shè)計提供了必要的數(shù)據(jù)信息。

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