袁英才 ，劉義倫，王儀明

(1. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南長沙，410083；2. 北京印刷學(xué)院 機(jī)電系，北京，102600)

由于相接觸兩構(gòu)件產(chǎn)生相對運(yùn)動，裝配、制造誤差以及在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生磨損，因而，在機(jī)械系統(tǒng)中運(yùn)動副產(chǎn)生間隙不可避免。在低速狀態(tài)下，運(yùn)動副間隙對機(jī)械系統(tǒng)的影響可以忽略。但是，在高速狀態(tài)下，雖然運(yùn)動副間隙對機(jī)械的運(yùn)動軌跡影響很小，但其對機(jī)械的動力精度和機(jī)械動力學(xué)性能有重要影響，會產(chǎn)生沖擊載荷，引起機(jī)械振動和噪聲[1]。國內(nèi)外研究者對由運(yùn)動副間隙產(chǎn)生的機(jī)械系統(tǒng)非線性振動現(xiàn)象進(jìn)行了大量研究，如：Dubowsky等[2]對含間隙機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)分析；Morita等[3-5]對含間隙四桿機(jī)構(gòu)動力學(xué)及混沌現(xiàn)象進(jìn)行了研究，Bauchau等[6-7]對多體機(jī)械系統(tǒng)中運(yùn)動副間隙進(jìn)行了建模分析；Chen等[8-9]對運(yùn)動副間隙進(jìn)行了非線性動力學(xué)分析；常宗瑜等[10-11]對運(yùn)動副間隙引起的混沌現(xiàn)象及其穩(wěn)定性進(jìn)行了研究；郭鵬飛等[12-13]對含間隙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動精度和誤差進(jìn)行了研究。輪轉(zhuǎn)機(jī)是印刷機(jī)械中運(yùn)行速度最高的大型設(shè)備，在書刊、報紙的印刷中應(yīng)用廣泛。輪轉(zhuǎn)機(jī)的折頁系統(tǒng)在高速狀態(tài)下，由運(yùn)動副間隙引起的非線性振動現(xiàn)象對折頁的精度影響十分明顯，嚴(yán)重制約輪轉(zhuǎn)機(jī)的印刷速度。目前，國內(nèi)對刀式折頁機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性分析都是以理想轉(zhuǎn)動副有前提進(jìn)行的[14-15]，沒有考慮運(yùn)動副間隙的影響，因此，有必要定量研究運(yùn)動副間隙對輪轉(zhuǎn)機(jī)刀式折頁機(jī)構(gòu)動態(tài)特性的影響。

圖1 刀式折頁機(jī)構(gòu)Fig.1 Folder mechanism

圖2 折頁機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖Fig.2 Kinematic sketch of fold mechanism

1 輪轉(zhuǎn)機(jī)刀式折頁機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析

輪轉(zhuǎn)機(jī)刀式折頁機(jī)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，它是通過刀頭進(jìn)入兩輥?zhàn)又g，完成紙張的折頁動作。為分析運(yùn)動副間隙，建立刀式折頁機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖及坐標(biāo)系，如圖2所示，各桿長分別為l1，l2，l3，l4和l5。折刀裝在桿5上，折刀桿由桿5與桿4固接在一起形成，其夾角為β，質(zhì)量為m4，轉(zhuǎn)動慣量為JS4，質(zhì)心距端點(diǎn)距離為ls4。連桿與曲柄的質(zhì)量分別為m2和m3，轉(zhuǎn)動慣量分別為JS2和JS3；質(zhì)心距端點(diǎn)距離分別為ls2和ls3。曲柄、搖桿、折刀桿與x軸的夾角分別為θ2，θ3和 θ4；質(zhì)心的坐標(biāo)為(xs2，ys2)，(xs3，ys3)，(xs4，ys4)。

運(yùn)動副間隙很小，且有阻尼存在，銷與軸套之間分離和碰撞時間很短，因而，可以認(rèn)為組成運(yùn)動副的銷軸與軸套之間保持連續(xù)接觸，采用連續(xù)接觸假設(shè)，即將間隙假設(shè)成長度等于間隙量的無質(zhì)量剛性桿。若r1， r2，r3和 r4為各運(yùn)動副間隙，α1，α2，α3和 α4為各間隙角，則折頁機(jī)構(gòu)變成八桿機(jī)構(gòu)，有5個自由度。采用曲柄轉(zhuǎn)角 θ2和間隙角 α1，α2，α3和 α4這 5 個運(yùn)動參數(shù)作為廣義坐標(biāo)，則 θ3和 θ4是廣義坐標(biāo) q=(θ2，α1，α2，α3，α4)的函數(shù)。各桿轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖1所示，折頁機(jī)構(gòu)向x和y軸方向上投影，可得其運(yùn)動關(guān)系方程：

將式(2)代入式(1)中第2式，可得：

θ3和 θ4是 θ2，α1，α2，α3和 α4的函數(shù)，將其對時間求導(dǎo)可得角速度和角加速度：

2 動力學(xué)分析

采用耗散函數(shù)的拉格朗日方程式，對折頁機(jī)構(gòu)建立如下動力學(xué)方程：

式中：qi為廣義坐標(biāo)，即qi=[θ2,α1,α2,α3,α4]；E，U和D分別為系統(tǒng)的動能、勢能和耗散能；Fi為廣義外力。動能、勢能和耗散能分別為：

式中：cθ為轉(zhuǎn)角阻尼系數(shù)；cα為間隙角阻尼系數(shù)；cs為線位移阻尼系數(shù)。

折頁機(jī)構(gòu)曲柄轉(zhuǎn)速θ˙2在工作狀態(tài)下恒定，即=ω2，則θ2= ω2t 。對運(yùn)動副間隙接觸角 α1，α2，α3和α4，各廣義坐標(biāo)的動力學(xué)方程可以寫為：

式(10)簡化為：

式(11)為二階偏微分非線性方程組，可以用數(shù)值解法求出各間隙角的角加速度和，進(jìn)而求出和。由式(2)~(5)可求出折刀的角位移、角速度和角加速度。

3 刀式折頁機(jī)構(gòu)動態(tài)特性分析

某刀式折頁機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。在轉(zhuǎn)速為28 800 r/h，運(yùn)動副間隙為0.2 mm，阻尼系數(shù)cθ=0.1 N·s/rad，cα=0.1 N·s/rad，忽略 cs時，折刀的加速度動態(tài)響應(yīng)曲線如圖3所示。從圖3可見：由于考慮運(yùn)動副間隙，銷軸與軸套之間發(fā)生了碰撞，使折刀的加速度動態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)出明顯的非線性特征。

圖3 加速度動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 Acceleration curves of dynamic response

為了進(jìn)一步研究運(yùn)動副間隙對折刀動態(tài)響應(yīng)特性的影響，模擬了不同轉(zhuǎn)速、不同運(yùn)動副間隙條件下，折刀加速度動態(tài)響應(yīng)的情況。在各種運(yùn)動副間隙狀態(tài)下，折刀加速度峰值隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動速度變化如圖4所示。從圖4可見：折刀的加速度隨著曲柄轉(zhuǎn)速上升呈非線性增長。在轉(zhuǎn)速小于10 000 r/h時，運(yùn)動副間隙對折刀加速度影響很小，但是，隨著轉(zhuǎn)速上升，運(yùn)動副間隙量對折刀加速度峰值的影響非常顯著。這種加速度的急劇上升和變化引起折刀出現(xiàn)強(qiáng)烈振動現(xiàn)象，從而影響了折頁的精度。為了更好地反映刀式折頁機(jī)構(gòu)的加速度動態(tài)響應(yīng)特性，引入沖擊動載系數(shù)Kd。Kd為加速度動態(tài)響應(yīng)曲線中加速度最大的5個峰值的平均值與理想狀態(tài)下加速度的峰值之比。沖擊動載系數(shù) Kd見表2。由表2可見：刀式折頁機(jī)構(gòu)的沖擊動載系數(shù)并不完全隨著曲柄轉(zhuǎn)速的上升而增大，存在一定的波動性，但是，動載系數(shù)隨著運(yùn)動副間隙r增大而顯著上升；當(dāng)運(yùn)動副間隙為 0.01 mm時，Kd基本穩(wěn)定在1.100 0左右，刀式折頁機(jī)構(gòu)能夠很好地運(yùn)轉(zhuǎn)；當(dāng)運(yùn)動副間隙量達(dá)到0.10 mm時，Kd在1.400 0~1.500 0之間波動，此時，折頁機(jī)構(gòu)隨著曲柄轉(zhuǎn)速的上升，折刀的非線性動態(tài)特性比較明顯；當(dāng)折頁機(jī)構(gòu)運(yùn)動速度達(dá)到32 400 r/h時，折刀的加速度峰值達(dá)7.0 km/s2，折頁機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性無法保證，已不能達(dá)到折頁精度的要求；當(dāng)運(yùn)動副間隙為0.20 mm時，Kd在1.700 0~2.100 0之間波動，為保證折頁精度，機(jī)構(gòu)的運(yùn)轉(zhuǎn)速度只能在28 000 r/h以下；此外，刀式折頁機(jī)構(gòu)必須進(jìn)行維修。

圖4 加速度峰值曲線Fig.4 Peak acceleration curves

表1 刀式折頁機(jī)構(gòu)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Table1 Main structural parameters of fold mechanism

表2 沖擊動載系數(shù)KdTable2 Impact dynamic load coefficients Kd

4 結(jié)論

(1) 在高速狀態(tài)下，由于運(yùn)動副間隙的存在，輪轉(zhuǎn)機(jī)刀式折頁機(jī)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)出明顯的非線性特征，機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)的平穩(wěn)性和精度將隨之下降。

(2) 運(yùn)動副間隙量是影響輪轉(zhuǎn)機(jī)刀式折頁機(jī)構(gòu)動態(tài)特性的關(guān)鍵因素。當(dāng)折頁機(jī)構(gòu)運(yùn)動副間隙達(dá)到 0.1 mm以上時，機(jī)構(gòu)的非線性動態(tài)特性十分明顯，機(jī)構(gòu)的沖擊振動現(xiàn)象加劇，折頁精度下降。因此，為了保證輪轉(zhuǎn)機(jī)刀式折頁機(jī)折頁的精度和運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)性，在進(jìn)行設(shè)計和裝配時，要嚴(yán)格控制各運(yùn)動副間隙；在使用過程中，要使機(jī)構(gòu)處于良好潤滑狀態(tài)，防止運(yùn)動副過快磨損，造成機(jī)構(gòu)精度下降，運(yùn)動副間隙擴(kuò)大。

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