劉玉財，何濤，李勝友，王洋

(天津市測繪院，天津 300191)

1 概述

在大型工程施工及運營管理過程中，在建工程自身及其對臨近建筑物的變形監(jiān)測工作顯得尤為重要。變形監(jiān)測是通過對設(shè)置在建筑物上的觀測點進行周期性重復(fù)觀測以獲取對象的變形信息。對變形信息的處理主要包括獲取真實的變形值并進行解釋以及對未來變形量做出準(zhǔn)確可靠的預(yù)報。對于周期性的變形監(jiān)測，對其預(yù)測方法研究較多，常用的統(tǒng)計學(xué)分析方法主要包括:回歸分析法，時間序列法、灰色模型等。其中灰色模型預(yù)測不需要大量的實測數(shù)據(jù)，且變形數(shù)據(jù)既可以是線性的也可以是非線性的，可以隨時對模型進行修正以提高其預(yù)測精度，具有較高的實用性。本文首先討論了灰色模型的基本建模流程，并結(jié)合某基坑開挖工程中對周圍建筑物的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，討論了傳統(tǒng)的GM(1，1)灰色模型和非等步長GM(1，1)灰色模型的預(yù)測效果，以期建立有效的變形預(yù)報模型，為建筑的設(shè)計、施工、管理和科學(xué)研究提供可靠的資料［8，9］。

2 灰色模型GM(1，1)的建立

灰色系統(tǒng)理論研究的是貧信息建模，其核心是灰色動態(tài)模型，特點是生成函數(shù)和灰色微分方程。灰色動態(tài)模型是以灰色生成函數(shù)概念為基礎(chǔ)，以微分?jǐn)M合為核心的建模方法，灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為:一切隨機量都是在一定范圍內(nèi)、一定時段上變化的灰色量和灰過程，對灰色量的處理不是尋求它的統(tǒng)計規(guī)律和概率分布，而是將雜亂無章的原始數(shù)據(jù)列，通過一定的方法處理，變成比較有規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù)，即按照以數(shù)找數(shù)的思想，再建立動態(tài)模型［1，2］。

2.1 灰色模型的建模原理

灰色模型一般建模原理是通過對非負(fù)離散原始序列X(0)進行一次累加生成(1-AGO)獲得一個新的生成序列X(1)后，對生成序列建立一階微分方程為:

式中:

把求取的參數(shù)帶入(1)式，求出離散解即時間響應(yīng)函數(shù)為:

對^x(1)(k+1)做累減生成可得還原數(shù)據(jù):

其中，-a稱為發(fā)展系數(shù)，u稱為灰色作用量。當(dāng)k〈n時，稱 ^x(0)(k)為模型模擬值;當(dāng)k=n時，稱^x(0)(k)為模型濾波值;當(dāng)k〈n時，(k)為模型預(yù)測值。

2.2 傳統(tǒng)GM(1，1)模型

當(dāng)觀測資料為非等間隔序列時，應(yīng)先將非等間隔序列的原始觀測資料變成等間隔序列，再以此為基礎(chǔ)生成預(yù)測模型，非等間隔灰色模型有內(nèi)插值改進法、二次參數(shù)擬合法、直接累加生成法、單位時段差系數(shù)修正法等生成非等間隔 GM 模型［2，3］。

當(dāng)采用單位時段差系數(shù)修正法時，對于非等間隔序列觀測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)序列值對應(yīng)的觀測時段為:

則各時段與平均時段的單位時段差系數(shù)u(ti)為:

則各時段總的差值為:

可等間隔點的灰指數(shù)為:

即可得到等間隔序列，利用前述的一般灰色建模方法對非等間隔序列改化后的等間隔序列建立非等間隔的t時刻的灰色GM(1，1)模型為:

2.3 非等步長GM(1，1)模型

傳統(tǒng)模型的建立是非等間隔觀測數(shù)據(jù)列改化為等間隔數(shù)據(jù)列后按一般灰色模型建模方法進行模型建立，針對數(shù)據(jù)非等間隔特點，以相鄰觀測時間間隔為權(quán)，做觀測序列的1-WAGO生成，可以直接建立非等步長 GM(1，1)模型［4］。

設(shè)ti時刻觀測數(shù)據(jù)為x(0)ti，當(dāng)相鄰觀測時間間隔不等時，對x(0)ti做一次1-WAGO生成序列為:

x(1)的GM(1，1)的白化微分方程式為:

式中a，u為參數(shù)，求得微分方程的解，并求其差分還原公式，則可得到非等步長GM(1，1)模型預(yù)測方程:

以上即為一元一階灰色模型GM(1，1)不同數(shù)據(jù)觀測序列采用的模型。

2.4 模型的精度評定

對模型精度的評定方法有殘差大小檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后檢差檢驗三種，灰色模型的精度通常用后驗差方法檢驗［5，7］。

設(shè)有GM(1，1)模型得到:

計算殘差為:

記原始序列x(0)及殘差數(shù)列e的方差分別為則有:

則后驗差比值C、小誤差概率p為:

模型精度等級判斷式為:模型精度等級=max{P所在的級別，C所在的級別}，P，C的精度判別等級如表1所示。

模型精度等級參照表 表1

3 實例分析

利用實際建筑物某單位沉降監(jiān)測點的數(shù)據(jù)進行建模預(yù)測，采用第J18的觀測數(shù)據(jù)為例，選取前10期的數(shù)據(jù)進行灰色模型建模，在建模之前對原始觀測數(shù)據(jù)進行處理，使之滿足灰色建模需要數(shù)據(jù)的非負(fù)性，處理的方法常采用累積變化量的絕對值加上初始觀測的高程值得到非負(fù)數(shù)據(jù)序列。建模的初始數(shù)據(jù)如表2所示。

沉降監(jiān)測數(shù)據(jù) 表2

3.1 傳統(tǒng)GM(1，1)建模

根據(jù)前面介紹的非等間隔數(shù)據(jù)建模方法，利用前10期的數(shù)據(jù)分別以傳統(tǒng)的GM(1，1)和對觀測序列做1-WAGO生成直接建立非等步長GM(1，1)模型方法建模。

傳統(tǒng)GM(1，1)建模:根據(jù)表2數(shù)據(jù)J18在各個觀測時段的高程值，選擇前10期數(shù)據(jù)，依據(jù)2.2所述建模方法建立灰色模型，根據(jù)式(5)～式(8)建立非等間隔觀測數(shù)據(jù)的等間隔數(shù)據(jù)序列，利用式(2)計算得到建立GM(1，1)所需白化值參數(shù):

由求得的白化值根據(jù)(1)式可以建立灰色微分方程的時間響應(yīng)函數(shù):

還原為非等間隔數(shù)列中與時間t有關(guān)的響應(yīng)函數(shù)為:

3.2 非等步長模型建模

對觀測序列按照式(10)以相鄰觀測時間間隔為權(quán)進行1-WAGO生成，直接生成非等步長GM(1，1)模型。根據(jù)(11)式求得原始觀測序列的1-WAGO生成序列的白化微分方程后利用式(2)計算得到建立非等步長GM(1，1)所需白化值參數(shù)a，u的最小二乘解為:

根據(jù)(12)式建立預(yù)測方程為:

表3為傳統(tǒng)模型和非等步長GM(1，1)模型的對前10期的擬合結(jié)果及對后5次的預(yù)測結(jié)果。

傳統(tǒng)模型和非等步長GM(1，1)模型的對前10期的擬合結(jié)果及對后5次的預(yù)測結(jié)果 表3

數(shù)據(jù)處理的分析:

(1)從表3中可以看出，傳統(tǒng)模型擬合平均誤差為0.572 4 mm，后驗差比值為C=0.459 5，非等步長模型擬合平均誤差為 0.547 7 mm，后驗差比值為C=0.427 8，說明兩種模型的擬合精度和可靠性具有一定差別但差別不是很大。

(2)從表中可以知道傳統(tǒng)模型預(yù)測中誤差為11.36 mm，而非等步長預(yù)測中誤差為 9.68 mm，說明兩種模型都可以用于短期的預(yù)測，但非等步長模型有更高的預(yù)測精度。

(3)分析表3中數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)模型和非等步長模型的檢驗參數(shù)均小于0.35，中誤差概率P均大于0.95說明模型精度均達到Ⅰ精度，都能取得較好的擬合精度和預(yù)測結(jié)果。比較兩種模型的平均誤差、方差檢驗參數(shù)發(fā)現(xiàn)非等步長具有相對較高的預(yù)測精度、較小的殘差離散度和較好的外推性，可以看出兩模型對沉降趨勢均可較準(zhǔn)確預(yù)測，非等步長模型精度較優(yōu)。

4 結(jié)語

(1)采用灰色建模對建筑物的沉降預(yù)測能夠達到較好的預(yù)測結(jié)果，對工程的實施具有一定的借鑒作用，但建筑物沉降的不均勻會導(dǎo)致觀測值出現(xiàn)偶然反彈，形成隨機振蕩序列，這種振蕩對模型預(yù)測精度有很大影響。本文中利用非等步長灰色GM(1，1)模型，對建筑物沉降進行了預(yù)測和分析，驗證了該方法的有效性，但并未表現(xiàn)出比傳統(tǒng)模型更高的靈敏性，因此由于沉降機理的不確定性，灰色模型的選擇應(yīng)根據(jù)工程的實際情況進行數(shù)據(jù)分析與處理。

(2)每種數(shù)學(xué)模型都有其局限性，由于建筑施工是一個動態(tài)的過程，建筑物的沉降將不斷受到系統(tǒng)內(nèi)外多方面因素的綜合作用，遠(yuǎn)期觀測數(shù)據(jù)所反映建筑物沉降變化的真實程度隨時間的推移逐步降低，并且灰色模型本身隨著預(yù)測時間的變長，預(yù)測精度也會降低，這就需要在實踐中對模型不斷試驗，探索模型對數(shù)據(jù)序列的要求，以求在盡量減少運算的基礎(chǔ)上達到精度要求，從而提高模型的預(yù)測精度。

(3)GM(1，1)模型要求監(jiān)測數(shù)據(jù)為等間隔的數(shù)據(jù)序列，但實際工作中由于客觀原因，所得到的原始數(shù)據(jù)序列往往是非等間隔的，因此需要對數(shù)據(jù)序列進行數(shù)學(xué)變換成等間隔的數(shù)據(jù)，但非等步長GM(1，1)模型則可以直接進行建模，減少了數(shù)據(jù)計算量，且其預(yù)測與擬合精度并沒有降低，顯示了其實用價值。

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