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        隨機(jī)收入下的對偶風(fēng)險(xiǎn)模型*

        2011-05-28 03:32:26彭之光
        關(guān)鍵詞:對偶定理符號

        彭之光

        (重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400044)

        1 模型介紹

        符號和基本假設(shè)與上面一致,該模型即為隨機(jī)收入的盈余過程.為簡單起見,考慮時(shí)間間隔服從Erlang(2)分布,收入服從幾何分布的對偶模型.

        為使模型的破產(chǎn)概率有意義(否則模型必然破產(chǎn),即破產(chǎn)概率為1),有如下條件:

        其中λ1,λ2是Erlang(2)分布的參數(shù),μ是幾何分布的期望,λ為前面提到的poisson過程參數(shù):λ=1.

        2 關(guān)于破產(chǎn)概率的方程

        首先引入如下函數(shù)和符號[1]:m(u),初始資金為u的破產(chǎn)概率;對于i=0,1,2,S1=W1,S2=W1+W2(Erlang(2)),定義mδ,i(u)=E[e-(τ-t)I(τ< ∞ )|Si=t,U(t)=u],知m(u)=m0,0(u)=m0,2(u).對于i=0,根據(jù)W1(幾何分布)的無記憶性有:

        接下來定義如下生成函數(shù),將式(6)兩邊同時(shí)乘以su,并取u=0,1,…,∞的形式,以無窮級數(shù)的形式相加有:

        在此假設(shè)f(i)服從幾何分布,取t=u+i+1,則u+1=t-i,其中:

        最后,得到下面兩個方程:

        將這兩個方程寫成矩陣形式有:

        考慮如下方程:

        式(10)等價(jià)于|A(s)|=0.

        定理1 對任意δ≥0,式(11)在單位圓內(nèi)存在一個根.

        證明 設(shè)ξ為以α為圓心,以1-α為半徑的圓.考慮下面的方程:(sq1-1)(sq2-1)(s-α)=sp2p1(1-α).

        對任意s∈ξ,有:

        由儒歇定理,知道:(sq1-1)(sq2-1)(s-α)和sp2p1(1-α)在單位圓內(nèi)有同樣數(shù)目的根,易知α不是式(11)的根.可知有一個根ρ在ξ內(nèi).

        3 函數(shù) mδ,i(0)

        到現(xiàn)在為止得到3個方程:

        其中m0(0)為當(dāng)u=0時(shí)的破產(chǎn)概率.

        [1]GERBER H,SHIU E.On the time of ruin in a Sparre Andersen risk process[J].North American Actuarial Journal 2005:9(2):49-84

        [2]LI S,GARRIDO J.On ruin for the Erlang(n)risk process[J].Insurance:Mathematic and Economics,2004;34:391-408

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        [4]LI S.On a class of discrete time renewal risk models[J].Scandinavian Actuarial Journal,2005(4):241-260

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