鄒 成 趙清俊

（1.四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，四川 瀘州646005;2.重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 402160）

連續(xù)自映射反復(fù)迭代生成的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的研究真正開始于20世紀(jì)30-40年代，但近年來得到了蓬勃發(fā)展.各種點(diǎn)集是一維動力系統(tǒng)中的重要內(nèi)容，因?yàn)樗谙到y(tǒng)中具有很好的動力性質(zhì).1964年烏克蘭數(shù)學(xué)家沙爾可夫斯基（sarkovskii）指出周期點(diǎn)的周期呈現(xiàn)出相當(dāng)整齊的規(guī)律后，相當(dāng)多的文獻(xiàn)都對其進(jìn)行了研究，并立即推廣得到了幾乎周期點(diǎn)、終于周期點(diǎn)、回歸點(diǎn)、ω-極限點(diǎn)、非游蕩點(diǎn)、鏈回歸點(diǎn)等各類非游蕩點(diǎn)集，同時(shí)諸多學(xué)者對它們的性質(zhì)進(jìn)行了大量討論［1-7］.但對于漸近周期點(diǎn)，卻少有提及，此處則對漸近周期點(diǎn)的相關(guān)性狀作一點(diǎn)探討.

1 預(yù)備知識

記I=［0，1］，f:I→I是［0，1］上的一個(gè)連續(xù)自映射.以下預(yù)備知識引自文獻(xiàn)［8］或［9］.

定義1 對任意x∈I，若存在非負(fù)整數(shù)n，使fn（x）=x，則稱x為f的n－周期點(diǎn)，n為f的一個(gè)周期，f的所有周期點(diǎn)構(gòu)成集合記為P（f）.

定義2x∈I稱為f的終于周期點(diǎn)，如果?n＞0，使fn（x）∈P（f），f的所有終于周期點(diǎn)構(gòu)成集合記為EP（f）.

定義3x∈I稱為f的幾乎周期點(diǎn)，如果對于x的任意鄰域U，存在整數(shù)N＞0，使得在連接著的N個(gè)數(shù)中總有某一個(gè)n適合fn（x）∈U，f的所有幾乎周期點(diǎn)構(gòu)成集合記為AP（f）.

定義5x∈I稱為回歸點(diǎn)，如果對于x的任意鄰域U，存在非負(fù)整數(shù)n，使fn（x）∈U，記為R（f）.

定義7x∈I稱為f的非游蕩點(diǎn)，如果對于x的任意鄰域U，存在非負(fù)整數(shù)n，使fn（U）∩U≠?.f的非游蕩點(diǎn)集記為Ω（f）.

顯然有，Ω（f）?W（f）?R（f）?P（f）.

定義8 Λ∈I稱為f的（強(qiáng)）不變子集，若f（Λ）?Λ（f（Λ）=Λ）.

引理9 若F?I是一個(gè)區(qū)間，并且F∩P（f）=?，則必有下列之一:

（1）對于任意的n＞0和任意的x∈F，只要fn（x）∈F，則有fn（x）＞x.

（2）對于任意的n＞0和任意的x∈F，只要fn（x）∈F，則有fn（x）＜x.

稱（1）的情形滿足時(shí)，F(xiàn)是一個(gè)正型區(qū)域;（2）的情形滿足時(shí)，F(xiàn)為負(fù)型區(qū)域.

2 主要結(jié)果

命題1P（f）?EP（f）?APer（f），顯然成立.

命題2 在I上，f的漸近周期點(diǎn)集APer（f）是可迭代的，即APer（f）=APer（fn），且APer（f）是強(qiáng)不變集.

證明 顯然有APer（f）?APer（fn）.

故APer（f）?APer（fn）.立即得到APer（f）是強(qiáng)不變集.

定理1 若I上f的周期點(diǎn)集為閉集，則有APer（f）=AP（f）=EP（f）=P（f）=R（f）.

證明 i）I上f的周期點(diǎn)集為閉集，則由文獻(xiàn)［8］，立即有P（f）=R（f）.

ii）證APer（f）=P（f）.

命題3 若I上f的周期點(diǎn)集為開集，則APer（f）與Ω（f），W（f），R（f）沒有必然的包含關(guān)系.

證明起來是非常復(fù)雜的，見下反例:

設(shè)線段I=［0，1］上的連續(xù)自映射f如圖1，它滿足下列條件:f（a）=b，f（b）=b，f（x）在b附近單調(diào)，且從斜率大于－1小于0.

顯然，對于一列非負(fù)整數(shù) δi，i=1，2，3，…;f（a+ ε）=b－δ1;f2（a+ε）=b+δ2;f3（a+ε）=b－δ3;…;fn（a+ε）=b+（－1）nδn.且有δn+1＜δn，即有fn（a+ε）→f（b）=b.

圖1 線段I=［0，1］上的連續(xù)自映射f

［1］張偉年.動力系統(tǒng)基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2001

［2］周作領(lǐng).符號動力系統(tǒng)［M］.北京:上?？萍冀逃霭嫔?，1997

［3］李繼彬.混沌與Melnikov方法［M］.重慶:重慶大學(xué)出版社，1989

［4］熊金城，拓?fù)鋫鬟f系統(tǒng)中的混沌［J］.中國科學(xué)A輯·數(shù)學(xué)，2005.35（3）:302-311

［5］陳綏陽，褚蕾蕾.動力系統(tǒng)基礎(chǔ)及其方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2002

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［8］熊金城.線段自映射的動力系統(tǒng):非游蕩集、拓?fù)潇丶盎靵y［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1988.17（1）:1-11

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