遲曉燕

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

1 問(wèn)題引入

2 問(wèn)題近似

首先對(duì)函數(shù)不等式約束，應(yīng)用與Jennings和Teo（1990）［1］相同的約束轉(zhuǎn)換.對(duì)每一個(gè)j=1，2，…，m，定義:

因?yàn)棣誮關(guān)于x和ω是連續(xù)可微的，max{φj（x，ω），0}是ω的連續(xù)函數(shù)，?x∈Rn，所以函數(shù)約束等價(jià)于:

方便起見，令問(wèn)題（P）也定義為f（x）關(guān)于式（2）的極小化問(wèn)題.令F為問(wèn)題（P）可行域，定義:

進(jìn)而，令int（F）定義為F的內(nèi)部，即

接下來(lái)給出如下假設(shè):

1）int（F）≠?;2）對(duì)問(wèn)題（P）的最優(yōu)解x*，存在一個(gè)參數(shù)向量∈int（F），使得α+（1－α）x*∈int（F），?α∈［0，1］.

一般來(lái)講，對(duì)每個(gè)j=1，…，m，Gj（x）在x處是光滑的，因此，標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化方法來(lái)解這類等式約束是有一定困難的.下面采用光滑方法，用gi，ε（x，ω）來(lái)取代max{φj（x，ω），0}.

這種光滑化方法在以前的文章中已被采用過(guò).對(duì)每個(gè)j=1，…，m，定義:

對(duì)任意j=1，…，m，gj，ε（x，ω）關(guān)于x是連續(xù)可微的.令:

易知:Fε?F，?ε ＞0.

現(xiàn)在定義一個(gè)近似問(wèn)題（Pε，γ）.?γ ＞0，X∈θ，最小化費(fèi)用函數(shù):

以下結(jié)果保證了（Pε，γ）關(guān)于（P）的解的可行性.

定理 1 ?γ（ε）＞0［2］，使得對(duì)所有 γ ＞γ（ε），對(duì)問(wèn)題（Pε，γ）的任何解也是問(wèn)題（P）的可行點(diǎn).

對(duì)所有x∈θ，固定xε∈Fε，由Gj，ε定義知，Gj，ε=0;j=1，…，m.因?yàn)?θ為緊的且f為連續(xù)的，存在一個(gè)∈θ，使得fˉ）≤f（x），?x∈θ.易知兩邊同時(shí)增加罰條件［3］，由xε定義和式（9）可得:

整理得:

令z=f（xε）－f（ˉ），則式（11）變形為

Jennings和 Teo已經(jīng)給出了證明:?ε，?τ（ε），使得對(duì)所有 0 ＜ τ ＜ τ（ε），如果Gj，ε（x）＜ τ，則x∈F.因

3 算法

基于前面兩個(gè)結(jié)論，給出解決問(wèn)題（P）的算法.

4 數(shù)值計(jì)算

以簡(jiǎn)單的邊界形式給出普通等式約束［5］，0≤x1≤100，0.1 ＜x2≤100，0≤x3≤100.

應(yīng)用以上算法，給出如下結(jié)果（表1）:

表1 計(jì)算結(jié)果

［1］JENNINGS L S，TEO K L.A computational algorithm for functional inequality constrained optimization problem［J］.Automatica，1990，126（2）:371-375

［2］BERTSKAS D P.Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods［M］.New York:Academic Press，1982

［3］BURKE J V.An exact penalization viewpoint of constrained optimization［J］.SIAM J.Control and Optimization，1991.29:968-998

［4］曾波，龍茜.無(wú)約束最大子序列求和改進(jìn)算法［J］.重慶工商大學(xué)學(xué):自然科學(xué)版，2007，24（6）:600-602

［5］LUENBURGER D G.Linear and Nonlinear Programming［M］.New York:Addison-Wesley，1984