夏生虎

（重慶大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，重慶 400044）

設(shè)f表示一個(gè)開平面上的非常數(shù)整函數(shù)，采用亞純函數(shù)NevanLinna理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)，特別地，用

S（r，f）表示任意滿足S（r，f）=O{T（r，f）（r→∞ ，rE）}的量，其中E是一個(gè)有窮線性測(cè)度集.

對(duì)有窮級(jí)整函數(shù)，儀洪勛證明了:

林偉川，呂巍然證明了:

1 主要結(jié)果

在改進(jìn)上述定理的情況下，得到下列結(jié)果:

2 引理

引理1 設(shè)f（z）與g（z）為開平面上非常數(shù)亞純函數(shù)，其級(jí)分別為λ（f）與λ（g），如果λ（f）＜λ（g），則λ（fg）=λ（g），λ（f+g）=λ（g）.

引理2［3］設(shè)h（z）為非常數(shù)整函數(shù)，f（z）=eh（z），且f（z）的級(jí)為 λ，下級(jí)為 μ.

i）若h（z）為P次多項(xiàng)式，則λ=μ=P;ii）若h（z）為超越整函數(shù)，則λ=μ=∞.

引理3 設(shè)f（z）與g（z）為開平面上的非常數(shù)亞純函數(shù)，其級(jí)分別為 λ（f）與 λ（g），則 λ（fg）≤max{λ（f），λ（g）}，λ（f+g）≤max{λ（f），λ（g）}.

證明 由NevanLinna第二基本定理得:

結(jié)合引理的條件，由式（1）得:

由于g（z）的級(jí)λ（g）為有窮非整數(shù)，故由式（2）可推得:

下面分兩種情況討論.

①若f（z）≡g（z），則λ（f）=λ（g），引理成立.

②若f（z）不恒等于g（z），設(shè):

由f=0→←g=0得F（z）=eh（z），其中h（z）為整函數(shù)，利用引理2，即得λ（eh）為整數(shù)，同時(shí)由式（4）及引理（3）可得:

由于λ（g）為有窮非整數(shù)，所以λ（eh）＜λ（g）由引理（1）得:

3 定理的證明

定理5的證明 假設(shè)f（z）不恒等于g（z），根據(jù)定理?xiàng)l件及引理4與式（4）（6）可得:

定理6的證明 由定理1的證明得:

［1］儀洪勛，楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1995

［2］林偉川，呂巍然.有窮級(jí)整函數(shù)的唯一性［J］.福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2001（2）:6-9

［3］HAYMAN W.Meromorphic Functions［M］.Oxford，1964