陳斌，劉西軍，張曉悅，陳曉東，劉國華

（1. 浙江水利水電?？茖W(xué)校，杭州，310018；2. 中國水電顧問集團(tuán)華東勘測設(shè)計研究院，杭州，310014；3. 浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，杭州，310058）

1 引言

在給定原材料品種、質(zhì)量及配合比的情況下，混凝土性能（包括強度、工作性和耐久性）具有唯一對應(yīng)值，因此必然是可預(yù)測的。通過建立各種線性或非線性數(shù)學(xué)模型，使預(yù)測精度得到一定保證，則可用于混凝土配合比設(shè)計和生產(chǎn)質(zhì)量控制等各個方面，是混凝土工程的基礎(chǔ)性工作之一。傳統(tǒng)的混凝土性能預(yù)測方法以水灰比定則（保羅米公式）為代表，其認(rèn)為可塑性混凝土的抗壓強度完全受水灰比的控制，而與其他因素?zé)o關(guān)。近年來，由于混凝土不斷向高強、高性能化發(fā)展，成分不斷復(fù)雜，水灰比定則已不完全適用[1]。因而發(fā)展出各種調(diào)整方法。然而，最直接的混凝土性能預(yù)測，仍在于以原材料用量及質(zhì)量為自變量，通過合適的數(shù)學(xué)模型，直接推求混凝土性能，已被證明比以各種比率指標(biāo)（如水膠比、砂率、漿骨比等）為自變量推求混凝土性能更為有效[2]。筆者基于國內(nèi)文獻(xiàn)公開發(fā)表的613組配合比，采用逐步線性回歸和支持向量機等方法，建立混凝土性能預(yù)測模型；繼而采用線性規(guī)劃的單純形法、粒子群算法建立配合比優(yōu)化模型，最終集成為Compos混凝土性能預(yù)測及配合比優(yōu)化專家系統(tǒng)。系統(tǒng)同時提供了按《規(guī)范》（JGJ55-2000）設(shè)計配合比和大體積混凝土溫度場分析功能。

預(yù)測、優(yōu)化變量的選取見表1、表2。

2 混凝土性能預(yù)測模型的建立

2.1 線性逐步回歸模型

多元線性回歸是最簡單、最直接的變量相關(guān)性統(tǒng)計分析方法，具有物理意義明確、確定性強等優(yōu)點。由于混凝土性能預(yù)測模型的自變量數(shù)量較多，可能并非所有的自變量都與因變量有顯著關(guān)系，換言之，部分自變量的作用可以忽略，其加入甚至可能降低模型的預(yù)測準(zhǔn)確性。因而產(chǎn)生了如何從大量可能相關(guān)的自變量中挑選出對因變量有顯著影響的部分自變量的問題。逐步回歸分析方法應(yīng)運而生，其基本思想是：將變量逐個引入，引入變量的條件為偏回歸平方和經(jīng)檢驗是顯著的，同時每引入一個新變量后，對已選入的變量逐個檢驗，將不顯著變量剔除。這樣保證最后所得的變量子集中的所有變量都是顯著的，經(jīng)若干步后，可得“最優(yōu)”變量子集。有關(guān)逐步線性回歸方法的具體算法可參考相關(guān)文獻(xiàn)[3]，本文不贅述。Compos系統(tǒng)的多元逐步線性回歸界面，如圖1所示。

表1 預(yù)測、優(yōu)化模型的可選自變量

表2 預(yù)測、優(yōu)化模型的可選因變量

2.2 BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

線性回歸模型雖然具有簡單、直接的優(yōu)點，但擬合能力有限。若混凝土性能與各自變量間存在非線性關(guān)系，則需采用非線性預(yù)測模型。最常規(guī)的非線性模型當(dāng)屬多項式擬合。根據(jù)泰勒定理，當(dāng)泰勒級數(shù)的項次趨向無窮時，可以任意精度擬合任何函數(shù)。但是經(jīng)驗表明，多項式擬合計算效率較低，但自變量數(shù)量較多時，耗時量相當(dāng)大，且實際選用的項次不可能過多。近年來，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（主要為BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）受到較多關(guān)注。所謂BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，就是以輸入單元為自變量，輸出單元為因變量、網(wǎng)絡(luò)單元間的連接權(quán)值和閾值為調(diào)整參量，按最小誤差原則逐步反饋修正而使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到最佳模擬狀態(tài)的一種數(shù)學(xué)算法。其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示[4]。

圖1 Compos系統(tǒng)的混凝土性能線性回歸分析界面

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主要參數(shù)為隱含層（中間層）單元數(shù)。合適的隱層單元數(shù)選擇是一個比較復(fù)雜的問題，最佳的隱層單元數(shù)與輸入、輸出單元數(shù)，訓(xùn)練集樣本數(shù)均有關(guān)系，目前尚無成熟的理論方法，基本上依賴經(jīng)驗選定。隱層單元數(shù)過少，訓(xùn)練達(dá)不到應(yīng)有精度，容易出現(xiàn)“欠擬合”；隱層單元數(shù)過多，則易出現(xiàn)“過擬合”。筆者經(jīng)過大量試驗，發(fā)現(xiàn)隱層單元數(shù)輸入樣本數(shù)的1/2（9個），預(yù)測精度基本已達(dá)到最優(yōu)?？紤]輸入、輸出層單元數(shù)的變化，基本認(rèn)為隱層單元數(shù)取10，通常情況下均能適用。

為了控制過擬合，筆者進(jìn)一步提出了一種“誤差跟蹤策略”，即：首先進(jìn)行第一次網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和預(yù)測，以其預(yù)測誤差作為最優(yōu)誤差的初始值。而后網(wǎng)絡(luò)每訓(xùn)練一次，立即對預(yù)測樣本組進(jìn)行預(yù)測，若預(yù)測誤差小于初始值，則取其為最優(yōu)值并記錄發(fā)生位置，如此不斷重復(fù)計算，直至網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差或訓(xùn)練次數(shù)達(dá)到預(yù)定值為止，見圖3。從圖上看，預(yù)測相對誤差過程線開始上揚的A點，即為訓(xùn)練截止點，超過該點，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練即進(jìn)入過擬合狀態(tài)。

2.3 支持向量機模型

BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較強的非線性擬合能力，但實踐表明，其過擬合控制能力較差。所謂“過擬合”，即指模型過度擬合樣本的個別甚至錯誤信息，而偏離了對整體規(guī)律的把握。支持向量機模型（SVMs）是一種基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的新型算法，其建立在統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的VC 維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小原理基礎(chǔ)上，能有效抑制過擬合，被普遍認(rèn)為優(yōu)于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5,6]。

圖3 過擬合狀態(tài)示意

根據(jù)大數(shù)定律，式(2)只有當(dāng)樣本數(shù)n趨于無窮大且函數(shù)集足夠小時才成立。這實際上是假定最小二乘意義的擬合誤差最小作為建模的最佳判據(jù)，結(jié)果導(dǎo)致擬合能力過強的算法的預(yù)報能力反而降低。為此，SLT用結(jié)構(gòu)風(fēng)險函數(shù) ][fRh代替 ][fRemp，并證明了 ][fRh可用下列函數(shù)求極小而得：

此處n為訓(xùn)練樣本數(shù)目，Sh為VC維空間結(jié)構(gòu)，h為VC 維數(shù)，即對函數(shù)集復(fù)雜性或者學(xué)習(xí)能力的度量。1-δ為表征計算的可靠程度的參數(shù)。

SLT要求在控制以VC維為標(biāo)志的擬合能力上界（以限制過擬合）的前提下追求擬合精度?？刂芕C維的方法有三大類：1）拉大兩類樣本點集在特征空間中的間隔；2）縮小兩類樣本點各自在特征空間中的分布范圍；3）降低特征空間維數(shù)。一般認(rèn)為特征空間維數(shù)是控制過擬合的唯一手段，而新理論強調(diào)靠前兩種手段可以保證在高維特征空間的運算仍有低的VC維，從而保證限制過擬合。

對于分類學(xué)習(xí)問題，傳統(tǒng)的模式識別方法強調(diào)降維，而SVM與此相反。對于特征空間中兩類點不能靠超平面分開的非線性問題，SVM采用映照方法將其映照到更高維的空間，并求得最佳區(qū)分二類樣本點的超平面方程，作為判別未知樣本的判據(jù)。這樣，空間維數(shù)雖較高，但VC維仍可壓低，從而限制了過擬合。即使已知樣本較少，仍能有效地作統(tǒng)計預(yù)報。

對于回歸建模問題，傳統(tǒng)的算法在擬合訓(xùn)練樣本時，將有限樣本數(shù)據(jù)中的誤差也擬合進(jìn)數(shù)學(xué)模型了。針對傳統(tǒng)方法這一缺點，SVR采用“ε 不敏感函數(shù)”，即對于用f (x)擬合目標(biāo)值y時時，即認(rèn)為進(jìn)一步擬合是無意義的。這樣擬合得到的不是唯一解，而是一組無限多個解。SVR方法是在一定約束條件下，以取極小的標(biāo)準(zhǔn)來選取數(shù)學(xué)模型的唯一解。這一求解策略使過擬合受到限制，顯著提高了模型的預(yù)報能力。

3 混凝土配合比優(yōu)化模型

3.1 單純形法優(yōu)化混凝土配合比

當(dāng)混凝土性能預(yù)測模型為線性方程，則可采用線性規(guī)劃的單純形法進(jìn)行配合比優(yōu)化。以1m3混凝土的成本最低為優(yōu)化目標(biāo)，以混凝土的設(shè)計強度、工作性或耐久性指標(biāo)為約束條件，優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型表示如下：

式中， A = [ aij]m×n為線性約束方程組的系數(shù)矩陣；為線性約束方程組的右端項矩陣；x = [x ,x...x]T12n為原材料的用量；C =[c1,c2...cn]T為不同原材料的價格；m為約束條件數(shù)量，n為自變量數(shù)量。

單純形法通過從可行域的一個極點出發(fā)，先判斷該點是否是極小點，如是，則運算結(jié)束；否則沿能使目標(biāo)函數(shù)下降的方向搜索，抵達(dá)下一個極點；繼續(xù)執(zhí)行這一過程，直到獲得最優(yōu)點為止。其基本過程包括求基本可行解，換基、轉(zhuǎn)軸運算等。有關(guān)單純形法的原理和計算過程可參見文獻(xiàn)[7]。圖4和圖5為采用單純形法優(yōu)化混凝土配合比的參數(shù)設(shè)定及計算結(jié)果界面。

圖4 Compos系統(tǒng)優(yōu)化配合比的參數(shù)選擇界面

圖5 Compos系統(tǒng)優(yōu)化混凝土配合比的結(jié)果輸出界面

3.2 粒子群算法優(yōu)化混凝土配合比

粒子群優(yōu)化算法或稱微粒群算法（PSO）是1995年Russell Eberhart和James Kennedy提出的[8]，PSO源于人工生命理論和鳥類和魚類的群集行為，是一種基于群體智能的優(yōu)化技巧。與其他進(jìn)化類算法相似，PSO也采用“群體”與“進(jìn)化”的概念，同樣也是依據(jù)個體（粒子）對環(huán)境的適應(yīng)度大小進(jìn)行操作，所不同的是粒子群算法不像其他進(jìn)化算法那樣對于個體使用進(jìn)化算子，而是將每個個體看作是在多維搜索空間中沒有體積和重量的粒子，以一定的速度飛行搜索，并按照個體的飛行經(jīng)驗和群體飛行經(jīng)驗動態(tài)地調(diào)整飛行的速度，經(jīng)若干代的并行搜索趨近最優(yōu)解?，F(xiàn)考慮如下的優(yōu)化模型：

其中，f ( X)為定義在D維歐氏空間 ED的區(qū)域S上的實函數(shù)，設(shè) N為群體規(guī)模，為粒子i的當(dāng)前位置，為粒子i的當(dāng)前飛行速度，fitnessi= f (Xi)為粒子i的適應(yīng)度值，其中 i = 1 , 2 ,L,N.記pbesti和分別為粒子i曾經(jīng)達(dá)到的最佳適應(yīng)度值及其對應(yīng)于D維空間中的位置，gbest和 Pg=(pg1, pg2,L,pgD)T分別為群體中所有粒子曾經(jīng)達(dá)到的最佳適應(yīng)度值及其對應(yīng)位置?；玖Ｗ尤核惴ú捎玫倪M(jìn)化方程（動態(tài)調(diào)整規(guī)則）是：

式中，下標(biāo)i表示第i個粒子，d表示粒子的第d維，t表示第t代，C1,C2為學(xué)習(xí)常數(shù)，分別稱為認(rèn)知參數(shù)和社會參數(shù)，通常在0～2間取值， r1～∪(0,1)和r2～∪(0,1)為兩個相互獨立的隨機數(shù)。

為了改善算法的收斂性能，1998年Y.Shi和R.C. Eberhart在速度進(jìn)化方程中引入慣性權(quán)重w[9]，即：

采用（6）（7）式的稱基本粒子群算法，采用（8）（7）式的稱標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法。

取混凝土各種原材料的用量為“粒子”，可建立上述的PSO優(yōu)化模型。優(yōu)化模型中，需考慮強度、工作性、耐久性等約束條件?？刹捎眠m應(yīng)度與違反度雙值控制法。將約束條件與目標(biāo)函數(shù)分離，讓每個粒子都具有兩個函數(shù)值，一個對應(yīng)于目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值，一個對應(yīng)問題的約束條件，反映粒子關(guān)于約束的違反程度。

粒子的優(yōu)劣將由上述二個函數(shù)按一定規(guī)則決定：

a.當(dāng)二個粒子i和j都可行時，比較它們的適應(yīng)度值fitness i和fitness j，適應(yīng)度值小者為優(yōu)；

b.當(dāng)二個粒子i和j都不可行時，比較它們違反度值voilationi和 vo ilationj ，違反度值小者為優(yōu)；

c.當(dāng)粒子i可行，粒子j不可行，如果voilalionj＞e則粒子i為優(yōu)；若voilalionj＜e則比較它們的適應(yīng)度值fitness i和fitness j，小的粒子為優(yōu)。有關(guān)PSO算法的具體過程可參見有關(guān)文獻(xiàn)[10]。圖6是PSO算法優(yōu)化混凝土配合比的過程。

4 Compos系統(tǒng)的集成

以配合比數(shù)據(jù)庫為平臺，筆者集成了混凝土性能預(yù)測與配合比優(yōu)化系統(tǒng)。系統(tǒng)同時包含了按《普通混凝土配合比設(shè)計規(guī)程》（JGJ55-2011）和《水工混凝土試驗規(guī)程》（SL 352-2006）設(shè)計配合比，以及基于有限元法的大體積混凝土溫度場分析的模塊。系統(tǒng)框架如圖7所示。

圖6 PSO算法的優(yōu)化過程

圖7 Compos系統(tǒng)框架

系統(tǒng)同時具有Excel數(shù)據(jù)導(dǎo)入與導(dǎo)出、試驗調(diào)整等功能，方便用戶的整個配合比設(shè)計、試驗流程。

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