馬銀珍

(山西省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院,太原030024)

軸面液流過(guò)水?dāng)嗝媸请x心葉輪葉片水力設(shè)計(jì)中的重要概念,這一斷面指葉輪內(nèi)一個(gè)與所有流面正交的回轉(zhuǎn)曲面。該斷面上各點(diǎn)處的流體質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度都與斷面斜交,但絕對(duì)速度的軸面分量將與斷面垂直。這一斷面面積的計(jì)算在葉輪設(shè)計(jì)中有著重要的作用。比如,在計(jì)算葉片進(jìn)口邊某點(diǎn)的葉片安放角時(shí),就必須計(jì)算通過(guò)葉片軸面圖上給定點(diǎn)的軸面液流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e;葉輪軸面投影圖的繪形質(zhì)量也要通過(guò)考察這一斷面面積隨流道中線的變化規(guī)律來(lái)保證。

盡管軸面液流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e與葉片設(shè)計(jì)精度和質(zhì)量關(guān)系密切,但是長(zhǎng)期以來(lái),在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法中,都只能計(jì)算這一面積的近似值[1-2]。筆者將以線積分和重心定理為基礎(chǔ),通過(guò)數(shù)學(xué)分析方法,給出了這一面積的精確解,以供設(shè)計(jì)人員參考,并可作為設(shè)計(jì)高水平的葉輪繪圖軟件的重要依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)背景

如圖1所示,xoy平面上有一平面曲線AB,其長(zhǎng)度為l。這一平面曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周生成一回轉(zhuǎn)面,這一回轉(zhuǎn)面的面積a可以計(jì)算求解如下。

在曲線上取一點(diǎn),其坐標(biāo)為(x,y),曲線上包括這一點(diǎn)的一微弧段長(zhǎng)d l,如果曲線的線密度為l,這一微弧段對(duì)y軸的力矩為x d l,由此,全曲線對(duì)y軸的力矩M為：

如果平面曲線的重心C到y(tǒng)軸的垂直距離為xc,由重心定義,全曲線對(duì)y軸的力矩M也可表示為

圖1 曲線重心

比較(1)、(2)式,可以得到

另一方面,微弧段d l繞y軸旋轉(zhuǎn)一周生成的微回轉(zhuǎn)體可視為一高等于d l,半徑為 x的圓柱面,其表面積d a=2πx d l,全曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周生成的回轉(zhuǎn)面面積a,可積分上式得到

由此得到結(jié)論：一平面曲線繞平面上任一直線旋轉(zhuǎn)一周生成的回轉(zhuǎn)面面積,等于2π倍曲線長(zhǎng)和曲線重心到給定直線的垂直距離的乘積。上述結(jié)論稱(chēng)古魯金定理。但應(yīng)注意,平面曲線的重心不一定位于曲線上。

2 軸面液流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e計(jì)算的傳統(tǒng)方法

如圖2所示,在初定或最終確定的葉輪軸面投影圖中作一內(nèi)切圓O,這一圓與前后蓋板流線相切于A、B兩點(diǎn)。連接OA、OB及AB得到一等腰三角形,存在唯一一條與半徑OA、OB相切于 A、B的圓弧。由于OA、OB與前后蓋板流線正交,且圓弧與兩半徑相切,這一圓弧顯然與前后蓋板流線正交。前后蓋板流線是兩條軸面流線。同時(shí)認(rèn)為,上述圓弧與軸面內(nèi)其他軸面流線也正交。這一平面圓弧繞葉輪軸心線旋轉(zhuǎn)一周所得到的回轉(zhuǎn)面就是一軸面液流過(guò)水?dāng)嗝?這一斷面顯然符合過(guò)水?dāng)嗝娴亩x。

圖2 尋求曲線重心的傳統(tǒng)方法

在傳統(tǒng)的葉輪設(shè)計(jì)過(guò)程中,當(dāng)獲取了上述弧長(zhǎng)之后,用下述方法確定圓弧重心的位置：將等腰三角形底邊上的高三等分,把靠近三角形底邊的一個(gè)分點(diǎn)C視為圓弧重心,量出這一點(diǎn)到葉輪軸心線距離后,即可由上面導(dǎo)出的古魯金定理計(jì)算這一過(guò)水?dāng)嗝婷娣e。

3 軸面液流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e計(jì)算的新方法

為利用古魯金定理計(jì)算軸面液流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e的精確值,由式(5)可知,必須尋求軸面上作為軸面液流過(guò)水?dāng)嗝嫘纬删€的圓弧的長(zhǎng)度,及其重心的正確位置。

傳統(tǒng)方法中確定的重心實(shí)質(zhì)是等腰三角形的重心,將三角形的重心作為圓弧重心顯然是一種近似。下面首先將導(dǎo)出重心位置的精確解。

如圖3所示,將直角坐標(biāo)原點(diǎn)置于圓弧的圓心M,x軸等分圓弧且與圓弧對(duì)應(yīng)的弦AB垂直。設(shè)弧半徑為R。在弧上取一點(diǎn)K,通過(guò)K點(diǎn)的圓弧半徑與x軸正向夾角為θ,弧上一微弧段長(zhǎng)d s且通過(guò)K 點(diǎn)。如果d s對(duì)應(yīng)的圓心角為 dθ,那么 d s=R dθ。設(shè)單位長(zhǎng)度弧長(zhǎng)重l單位,這一微弧段對(duì)y軸的力矩應(yīng)為R cosθd s=R2cosθdθ,全弧對(duì) y 軸的力矩顯然為

另一方面,全弧對(duì)y軸的力矩應(yīng)為全弧長(zhǎng)s乘以弧重心到y(tǒng)軸的距離x,由此有方程

弧重心顯然位于弧對(duì)稱(chēng)軸即 x軸上。求出了圓弧重心到y(tǒng)軸距離x后,就可以在x軸上標(biāo)出重心位置。式(6)中未知量圓弧半徑R和圓弧長(zhǎng)s的求解將在下面說(shuō)明。s值不僅關(guān)系到式(6)中 x值,在最后應(yīng)用古魯金定理時(shí)也要用到。

在設(shè)計(jì)實(shí)踐中,本文給出的軸面液流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e的求解過(guò)程如下：

1)在葉輪軸面投影圖上作一與前后流線都相切的內(nèi)切圓,并作出等腰三角形OAB,如圖3所示。

2)用繪圖軟件量出三角形的腰長(zhǎng)(OA或OB)l,同時(shí)量出三角形的頂角∠AOB值Φ。在葉輪軸面平面上,量取這兩個(gè)幾何量都很容易。

3)按本方法中不必實(shí)際作出圓弧。根據(jù)測(cè)量所得的l和Φ值,可以得到圓弧所在園半徑R=l?tan(Φ/2),這是因?yàn)椤鱉AO及△MBO均為直角三角形。

圖3 尋求曲線重心的新方法

圓弧長(zhǎng)s比較易于計(jì)算。圓弧所在圓的周長(zhǎng)為2πR=2πl(wèi) tan(Φ/2),由于 ∠AMB=π-Φ(括號(hào)內(nèi)的Φ值單位應(yīng)為弧度,下同),于是弧長(zhǎng)

s=2πl(wèi) tan(Φ/2)?(π-Φ)/2π=

s也可用繪圖軟件直接精確量取?？紤]到∠AMO=∠AMB/2=(π-φ)/2,以及 R=l tg(φ/2),由式(6),圓弧重心到M距離x應(yīng)等于

4)由直角三角形MAO可求出OM長(zhǎng)為l/cos(Φ/2),這也是等腰三角形頂點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離,那么圓弧重心到等腰三角形頂點(diǎn)距離顯然為

5)在等腰三角形的高上取一點(diǎn),使這點(diǎn)到等腰三角形頂點(diǎn)距離為上述值,由此就精確地確定了圓弧重心在葉輪軸面圖上的位置。用繪圖軟件量出這點(diǎn)到葉輪軸心線的距離,并乘上2π倍已獲取的s,由前面導(dǎo)出的古魯金定理即可得到平面圓弧(軸面液流過(guò)水?dāng)嗝嫘纬删€)繞葉輪軸心線旋轉(zhuǎn)一周所得軸面液流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e。

4 結(jié)束語(yǔ)

在離心泵葉輪設(shè)計(jì)實(shí)踐中,準(zhǔn)確計(jì)算葉輪內(nèi)軸面液流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e是提高設(shè)計(jì)質(zhì)量的重要措施。筆者以數(shù)學(xué)分析和重心定理為依據(jù),導(dǎo)出了這一值的解析求解方法。這一方法將成為水泵設(shè)計(jì)工程師完成優(yōu)質(zhì)設(shè)計(jì)的新工具。

致謝：本文在寫(xiě)作中得到西華大學(xué)能環(huán)學(xué)院嚴(yán)敬教授的指導(dǎo)和幫助,作者在此表示誠(chéng)摯的謝意!

[1] 嚴(yán)敬.低比轉(zhuǎn)速離心泵[M].成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社,1998：144-147.

[2] 關(guān)醒凡.現(xiàn)代泵技術(shù)手冊(cè)[M].北京：宇航出版社,1995：203-204.

[3] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研組.理論力學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社,2007：176-187.

[4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社,2002：264-288.

[5] 戴正元,谷傳剛.離心泵葉輪軸面流道計(jì)算新方法[J].工程熱物理學(xué)報(bào),2003,24(5)：783-785.

[6] 劉棟,楊敏官,王群,等.離心泵內(nèi)部流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究與數(shù)值計(jì)算[J].中國(guó)農(nóng)村水利水電,2008(9)：87-91.