喻 曉 ，彭建喜 ，劉建萍

(1.佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子信息系，廣東 佛山 528137；2.佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，廣東 佛山 528137)

隨著現(xiàn)代精密和超精密加工技術(shù)以及納米技術(shù)的迅速發(fā)展與應(yīng)用，對機(jī)械產(chǎn)品制造精度的要求不斷提高。傳統(tǒng)的以幾何學(xué)為基礎(chǔ)的第一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范由于在誤差評定模型、數(shù)據(jù)采集方法等方面存在經(jīng)驗(yàn)性、隨意性等缺點(diǎn)，已經(jīng)不能完全適應(yīng)現(xiàn)代制造業(yè)對誤差評定既準(zhǔn)且快的要求[1]。近年來，隨著以計(jì)量學(xué)為基礎(chǔ)的新一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范GPS(Geometrical Product Specification and Verification)系列標(biāo)準(zhǔn)的出現(xiàn)，對形狀誤差的規(guī)范評定提出了新的要求。

在形狀誤差的幾種要素中，圓柱度誤差作為衡量軸類零件形狀誤差的主要指標(biāo)，其精度的高低對產(chǎn)品的質(zhì)量及其使用壽命有著至關(guān)重要的影響，能否實(shí)現(xiàn)圓柱度誤差快速、準(zhǔn)確的評定具有重要的實(shí)際意義。因此，本文以圓柱度精度檢測為例，依據(jù)新一代GPS形狀誤差規(guī)范認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)，提出一種帶交叉算子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于圓柱度測量數(shù)據(jù)的最小區(qū)域評定。該算法借鑒了遺傳算法中的選擇交叉操作，通過交叉增加粒子多樣性，充分利用群體粒子的優(yōu)良特性，跳出局部最優(yōu)的同時也加快了收斂速度。

1 基于新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系的圓柱度誤差評定的數(shù)學(xué)模型

在新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系中，操作是為了規(guī)范幾何產(chǎn)品的誤差評定而提出的概念，是獲得幾何要素的特征值及特征的幾何變動范圍(極限值)的基本數(shù)學(xué)工具。操作分為要素操作和評估操作。其中，要素操作中的擬合操作定義了基于計(jì)量數(shù)學(xué)的各種擬合目標(biāo)函數(shù)，且用Lp范數(shù)定義了最小二乘、最小區(qū)域、單邊切比雪夫目標(biāo)函數(shù)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型[1]。Lp范數(shù)的定義為：

式中，i為非理想要素(即實(shí)際被測幾何要素)上特定點(diǎn)的序號；p為函數(shù)的級數(shù)；n為所采用的非理想要素點(diǎn)的個數(shù)；ri為對應(yīng)于從非理想要素到所擬合的理想要素距離的余量。

最小區(qū)域法目標(biāo)函數(shù)的定義是使余量絕對值中的最大值為最小，令式(1)中的 p=∞，即：

在圓柱度擬合操作中，由于圓柱度誤差是單一實(shí)際圓柱所允許的變動全量。因此，按最小區(qū)域法評定的平面度誤差的關(guān)鍵是尋求某一圓柱面，計(jì)算被測輪廓上各測量點(diǎn) Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n) 到此圓柱面軸線的距離，令各距離中的最大最小值之差為最小，則此距離差即為圓柱度誤差值，如圖1所示。

圖1 圓柱度誤差示意圖

設(shè)理想圓柱面的軸線方程為：

其中，l，m，n為理想圓柱面軸線 L的方向向量。則第 i個點(diǎn)(xi，，yi，zi)到此軸線的距離 di為：

圓柱面度誤差的最小區(qū)域目標(biāo)函數(shù)即為：

在以往的圓柱度評定過程中，一般令c=0，n=1，從而將式(5)中的六個變量簡化為四個變量，以減小計(jì)算難度及復(fù)雜度。但這種做法的前提是假設(shè)軸為垂直放置，軸線平行于Z軸，且軸線起點(diǎn)的Z坐標(biāo)位置為零。而在實(shí)際情況中，被測圓柱面往往會因加工或定位誤差導(dǎo)致軸線偏差，此時使用簡化后的公式是無法得到精確的評定結(jié)果的。因此，本文針對六個變量的復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)，提出基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行圓柱度誤差評定，以獲得準(zhǔn)確及高精度的評定結(jié)果。

2 基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法

2.1 基本粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法PSO(Particle Swarm Optimization)是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種基于群體智能理論的全局優(yōu)化方法，通過群體中粒子間的合作與競爭產(chǎn)生的群體智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索[2]。研究實(shí)踐表明，PSO在多維空間函數(shù)尋優(yōu)、動態(tài)目標(biāo)尋優(yōu)等方面有著收斂速度快、非劣解質(zhì)量高、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，特別適合于工程應(yīng)用。但同時PSO也存在早熟收斂、搜索精度不高、后期迭代效率不高[3]的缺點(diǎn)。

在基本粒子群算法中，每個優(yōu)化問題被看作是搜索空間中的一個沒有體積沒有質(zhì)量的飛行粒子，粒子在每一次迭代中通過跟蹤兩個“極值”來更新自己：一個是粒子自身目前找到的最優(yōu)解，即個體極值pbest；另一個是全局極值gbest，即整個種群目前找到的最優(yōu)解[4]。找到這兩個最優(yōu)解后，粒子根據(jù)如下的公式來更新自己的速度和新的位置：

2.2 引入收斂因子模型的PSO算法

為有效地控制粒子的飛行速度，使算法達(dá)到全局探測與局部開采兩者間的有效平衡，Clerc M在基本PSO的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了引入收斂因子模型的 PSO算法[4]，其位置更新方程同式(7)，速度更新方程如式(8)所示：

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明[5]，收斂因子K比慣性權(quán)重系數(shù)ω，更能有效地控制與約束粒子的飛行速度，增強(qiáng)算法的局部搜索能力。因此，本文在引入收斂因子模型的PSO算法基礎(chǔ)上，借鑒了遺傳算法中的選擇交叉操作，提出了基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法。

2.3 基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法

基于遺傳交叉算子的改進(jìn)粒子群算法(GHPSO)借鑒了遺傳算法中的組合交叉和變異思想，通過采用交叉算子產(chǎn)生出代表新的解集的種群。其交叉方法如下：每一次迭代中，取排序后適應(yīng)度好的前一半粒子直接進(jìn)入下一代，后一半粒子放入粒子選擇池中兩兩配對，產(chǎn)生一個隨機(jī)交叉位置進(jìn)行遺傳選擇和交叉操作，生成和父代同樣數(shù)目的子代后再和父代做比較，選擇適應(yīng)度好的一半進(jìn)入下一代，以保持種群的粒子數(shù)目不變。這樣通過交叉既可以增加粒子多樣性，跳出局部最優(yōu)，還可以加快收斂速度[3]。

設(shè)a、b分別表示被選擇進(jìn)行遺傳選擇和交叉操作的兩個父代個體的指針，則該操作的具體計(jì)算公式如下：

經(jīng)過上述計(jì)算，在由父代粒子形成的超立方體中隨機(jī)產(chǎn)生了兩個新的位置，其中在速率的交叉處將兩個父代個體的速率之和的長度進(jìn)行了規(guī)格化。因此，只有粒子的方向受到影響，數(shù)量卻不會改變。該算法流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖

3 實(shí)例驗(yàn)證與結(jié)果討論

本文使用參考文獻(xiàn)[6]給出的兩組圓柱度誤差的測量數(shù)據(jù)按照之前提出的數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化算法進(jìn)行計(jì)算分析。根據(jù)圓柱度誤差的特性并參考經(jīng)典PSO參數(shù)集[7]，本文設(shè)置算法的基本參數(shù)如下：

(1)粒子規(guī)模數(shù) n：一般取 20～40，本文取 n=40；

(2)粒子維數(shù)D：由目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的自變量個數(shù)決定，本文取 D=6；

(3)粒子范圍：根據(jù)測點(diǎn)的分布范圍確定；

(4)最大速度 vmax：由于圓柱度的誤差較小，設(shè) vmax=0.02；

(5)最大迭代次數(shù)：設(shè)為500次；

(6)終止條件：循環(huán)達(dá)到終止迭代次數(shù)或最優(yōu)適度值連續(xù)迭代50次，計(jì)算結(jié)果差值小于0.000 000 1。

[6]分別應(yīng)用最小區(qū)域法(MZM)和最小二乘法(LSM)對這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算；參考文獻(xiàn)[8]和參考文獻(xiàn)[9]則分別應(yīng)用了遺傳算法(GAM)和基本粒子群算法(PSO)對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析。表1和表2為以上幾種算法和本文使用GHPSO算法得到的結(jié)果。圖3和圖4分別為GHPSO算法計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)時的粒子適應(yīng)度收斂曲線。由這些表和圖中可以看出，本文針對同一組數(shù)據(jù)計(jì)算得出的結(jié)果明顯優(yōu)于遺傳算法和基本粒子群算法，收斂過程迅速、穩(wěn)定。

表1 第一組數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果比較

表2 第二組數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果比較

圖3 第一組數(shù)據(jù)粒子適應(yīng)度迭代曲線圖

圖4 第二組數(shù)據(jù)粒子適應(yīng)度迭代曲線圖

本文根據(jù)新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)體系給出了圓柱度誤差的定義及誤差評定的數(shù)學(xué)模型，并將一種帶交叉算子的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于圓柱度誤差評定，得到了較好的效果。該改進(jìn)粒子群算法原理較簡單，且計(jì)算效率高，相比其他幾種算法可以更有效、準(zhǔn)確地評定圓柱度誤差。同時，將圓柱度誤差的目標(biāo)函數(shù)稍加改變，即可方便地應(yīng)用于其他形位誤差的評定。因此，該方法作為一種誤差評定方法，對于規(guī)范形狀誤差的評定過程具有一定的現(xiàn)實(shí)意義與參考價值。

參考文獻(xiàn)

[1]蔣向前.新一代 GPS標(biāo)準(zhǔn)理論與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]EBERHART R C，KENNEDY J.A new optimizer using particle swarm theory[C].Proc.of the 6th Int’1 Symp.on Micro Machine and Human Science.Nagoya， Japan：[s.n.]，1995.

[3]ANGELINE P J.Evolutionary optimization versus particle swarm optimization：Philosophy and performance differences[C].Proc.of the 7th Annual Conf.on Evolutionary Programming.Germany： [s.n.]， 1998.

[4] CLERC M.The swarm and the queen： Towards a deterministic and adaptive particle swarm optimization[C].Proc.1999 Congress on Evolutionary Computation.Washington， DC： [S]， 1999.

[5]EBERHART R C，HU X.Human tremor analysis using particle swarm optimization [C].Proc.1999 Congeress on Evolutionary Computation.Washington， DC： [S]， 1999.

[6]FERREIRA C K.Verification of form tolerances， Part II：Cylindricity and straightness of a median line[J].Precision Engineering， 1995， 17(2)： 144-156.

[7]CARLISLE A，DOZIER G.An off-the-shelf PSO [J].Purdue School of Engineering and Technology， 2001(10)：20-21.

[8]CHANGCAIC， RENSHENG C， DONG Y， etal.Research on the minimum zone cylindricity evaluation based on genetic algorithms [J].Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2003，16(2)：167-170.

[9]崔長彩，黃富貴，張認(rèn)成，等.粒子群優(yōu)化算法及其在圓柱度誤差評定中的應(yīng)用[J].光學(xué)精密工程，2006，14(2)：256-260.