李 明，黃 華，夏建剛

(四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065)

在目前的移動通信領(lǐng)域中，克服多徑干擾、降低出錯率，是提高通信質(zhì)量一個非常重要的問題。特別是當(dāng)信道特性不固定時，該問題尤為突出，而自適應(yīng)濾波器[1]，則完美地解決了這一問題。自適應(yīng)濾波器的核心就是自適應(yīng)算法，而自適應(yīng)算法有很多，如LMS算法、歸一化NLMS算法和RLS算法等，這些算法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于通信、系統(tǒng)辨識、信號處理和自適應(yīng)控制等領(lǐng)域。但是這些算法是在有限精度運算條件下，舍入誤差的積累，容易導(dǎo)致算法的不穩(wěn)定。在實際應(yīng)用中，需要一個具有略高的運算復(fù)雜度且數(shù)值穩(wěn)定性良好的自適應(yīng)濾波算法。因為一個數(shù)值魯棒性好的自適應(yīng)濾波算法可以用更短的字長甚至定點運算實現(xiàn)，同時又可以減少時延。

本文基于逆QR分解[2]提出了一種更有效逆QR分解的RLS自適應(yīng)算法 (IQRD-RLS)，它能有效降低計算復(fù)雜度、改善矩陣條件數(shù)，具有比基于相關(guān)矩陣的最小二乘算法有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。該算法的主要優(yōu)點是可以采用脈動陣[3]，并在考慮量化效應(yīng)時改善算法的數(shù)值特性。逆QR分解方法避免了RLS問題的不準(zhǔn)確求解問題，并且很容易隨時檢查變換信息矩陣的正定性。通過在(DS-SS)擴(kuò)頻系統(tǒng)[4]進(jìn)行仿真，驗證了逆IQRD-RLS算法所具有的特性，起到了減少信道傳輸錯誤、濾除干擾的效果，改善了濾波性能，因而值得繼續(xù)深入研究其他基于IQRD-RLS算法的改進(jìn)算法。

1 基于逆QR分解的RLS算法

數(shù)據(jù)矩陣的QR分解是：如果復(fù)(實)矩陣A可以分解成一個酉(正交)矩陣Q和一個復(fù)(實)的上三角矩陣R的乘積，即A=QR，則稱該式為A的一個QR分解。由此可以得到一個長方矩陣的分解定理：設(shè)n×r矩陣A∈Cn×r(∈Rn×r)且 rankA=r，則存在 n 階酉(正交)矩陣和 r階與復(fù)(實)的正線上三角矩陣 R，使得：

當(dāng)n=r時，長方矩陣就變成正方矩陣，同樣QR分解定理存在。

基于逆QR分解[5]的遞推最小二乘算法，首先采用Givens旋轉(zhuǎn)等正交變換把加權(quán)輸入信號矩陣變換為上三角矩陣，然后再利用回代法求解三角矩陣方程，計算自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)向量。與標(biāo)準(zhǔn)的遞推最小二乘算法一樣，基于逆QR分解的遞推最小二乘算法也是基于最小二乘準(zhǔn)則，即：求解權(quán)系數(shù)向量 w(k)，使估計誤差的指數(shù)加權(quán)平方和最小。假設(shè)x(k)為輸入信號、y(k)為期望輸出信號、N為濾波器階數(shù)，則IQRD-RLS算法中的代價函數(shù)可以表示為：

式中，λ是遺忘因子，0<λ≤1。代價函數(shù)也可以表示為矩陣形式。定義k×k對角矩陣∧(k)如下：

k×1維加權(quán)期望輸出信號向量 y(k)和 k×N維加權(quán)輸入信號矩陣X(k)定義如下：

誤差向量 ε(k)=y(k)-X(k)w(k)，因此代價函數(shù)可表示為：

根據(jù)矩陣的QR分解定理，存在一個k×k維正交矩陣 Q(k)使得：

式中，R(k)表示一個 N×N維的上三角矩陣，有時也稱為Cholesky因子；0表示一個(k-N)×N維的零矩陣，對加權(quán)期望輸出信號向量y(k)進(jìn)行相同的正交變換，可以得到：

式中，z(k)為 N×1 維向量，v(k)為(k-N)×1 維向量。由于正交變換不改變向量的范數(shù)，則代價函數(shù)可以重寫為：

把式(7)、式(8)代入式(9)，可以得到：

從式(10)可以看出，當(dāng)右面向量中頂部的 N×1維向量等于零向量時，代價函數(shù)取最小值，這等價于R(k)·w(k)=z(k)，則 w(k)=R-1(k)z(k) (11)

如果能夠直接更新矩陣R-1(k)，就可以直接計算權(quán)系數(shù)向量，矩陣R-1(k)被稱為逆Cholesky因子。假設(shè)已知R-1(k-1)和 z(k-1)，如果能夠用遞推方式計算 R-1(k)和 z(k)，就可以遞推計算權(quán)系數(shù)向量。

式中，A 為一 N×N 維方陣，δ=γ(k)，得：

把式(16)、式(17)代入式(11)可得到：

定義一個N×1維狀態(tài)向量d(k)如下：

因此向量c可以重寫為：c=-δd(k)

因此w(k)迭代公式為：

式中，e(k)=y(k)-xT(k)w(k-1)，表示自適應(yīng)濾波器的先驗估計誤差。

從式(23)可以看出，只要求得增益向量g(k)和標(biāo)量就可以更新權(quán)系數(shù)向量w(k)。根據(jù)定義，這兩個未知量由狀態(tài)向量d(k)決定，而d(k)由逆 Cholesky因子R-1(k-1)計算得到。所以，未知量都可以由R-1(k-1)計算得到。

R-1(k-1)滿足下面方程：

因此，角度參數(shù)函數(shù)的計算公式為：

從以上的算法推斷可知，基于逆QR分解的遞推最小二乘法(IQRD-RLS)的運算總量是7N(N+1)/2+3N+1，而除法和平方根運算次數(shù)是3N+1次。

2 IQRD-RLS[6]算法在擴(kuò)頻系統(tǒng)中的應(yīng)用仿真研究

直接序列擴(kuò)頻通信系統(tǒng)通常包括信道編碼器、譯碼器、調(diào)制器、解調(diào)器以及兩個完全一致的偽隨機序列發(fā)生器，其中，一個在發(fā)送端與調(diào)制器相接，另一個在接收端與解調(diào)器相接。而擴(kuò)頻是通過偽噪聲序列(PN)對發(fā)送的信息數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)制來實現(xiàn)的。在接收端，原偽噪聲序列和所收信號的互相關(guān)運算可將窄帶干擾擴(kuò)展到DS信號的整個頻帶，使干擾等效為幅度較低、頻譜較平坦的噪聲；同時，將DS信號解擴(kuò)，恢復(fù)原始信息數(shù)據(jù)。由于窄帶干擾是非高斯的，樣值間有很強的相關(guān)性，可以從過去樣值來估計當(dāng)前樣值。而DS信號頻譜平坦，以Chips率取樣的樣值之間幾乎不相關(guān)，所以解擴(kuò)前利用自適應(yīng)濾波算法對信號濾波，從當(dāng)前信號中減去干擾估值，再將差信號與PN碼進(jìn)行相關(guān)解擴(kuò)，可大大提高直擴(kuò)通信系統(tǒng)的性能。

為了檢驗基于IQRD-RLS自適應(yīng)均衡算法在DSSS擴(kuò)頻系統(tǒng)的抗干擾、降低接收信號錯誤率的性能，本文考慮如下系統(tǒng)功能的信道：從QPSK星座獲得的符號用來訓(xùn)練一個自適應(yīng)濾波器，自適應(yīng)濾波器的系數(shù)采用直接決定模式下從16-QAM調(diào)制星座獲得的500個符號。信噪比設(shè)置為30 dB、自適應(yīng)濾波器系數(shù)為35。在訓(xùn)練模式下，使用的算法是 LMS(μ=0.001)、NLMS(μ=0.4)和IQRD-RLS(λ=0.99)。結(jié)果將顯示為散射圖的輸出信號，該情況下不同數(shù)目的訓(xùn)練符號為 150、300和600，仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 仿真結(jié)果

從圖1可以看出，IQRD-RLS、LMS和 NLMS三種算法隨著訓(xùn)練符號的增加，均不同程度上降低了接收信號的錯誤率，提高了接收端接收信號的可靠性，極大地改善了通信質(zhì)量，特別是IQRD-RLS算法效果更佳。

本文詳細(xì)地分析了基于逆QR分解的IQRD-RLS自適應(yīng)均衡算法在DS-SS系統(tǒng)中的應(yīng)用。該算法有效降低了計算復(fù)雜度和接收信號的錯誤率，改善了矩陣條件數(shù)，提高了通信質(zhì)量，具有比基于相關(guān)矩陣的最小二乘算法更好的數(shù)值穩(wěn)定性。本算法還有很多有待改進(jìn)的地方，進(jìn)一步的工作就是繼續(xù)分析那些更好的算法，以不斷完善系統(tǒng)模型，以期更好地應(yīng)用于實踐中。

[1]西蒙赫金.自適應(yīng)濾波器原理[M].第 4版.鄭寶玉，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2004.

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[3]洪增.矩陣?yán)碚撆c方法[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

[4]藏珍，徐向東.一種基于最小二乘的DS-SS系統(tǒng)搞窄帶干擾方法[J].空軍雷達(dá)學(xué)院報，2006，20(3)：174-176，179.

[5]姜波，楊軍，張爾揚.稀疏自適應(yīng) Volterra濾波的 QRD-RLS 算法[J].信號處理，2008，24(4).

[6]馮地耘，陳立萬.基于 LCMV的 IQRD-SMI自適應(yīng)數(shù)字波束形成算法[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報，2007，33(1).