劉 鳳,劉青昆

(遼寧師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116081)

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們需要處理的數(shù)據(jù)量迅速增長(zhǎng)。大規(guī)模并行應(yīng)用涉及的數(shù)據(jù)量是非常驚人的，內(nèi)存容量常常不能滿足涉及到大數(shù)據(jù)量計(jì)算問題的存儲(chǔ)需求。因待處理數(shù)據(jù)無法全部讀入內(nèi)存，所以只能保存數(shù)據(jù)到外部磁盤系統(tǒng)。當(dāng)程序運(yùn)行時(shí)，某個(gè)時(shí)刻只能將部分?jǐn)?shù)據(jù)調(diào)入內(nèi)存并參加計(jì)算，并且在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)懟赝獯?，通過某種策略實(shí)現(xiàn)內(nèi)外存數(shù)據(jù)的交換。由于運(yùn)算過程中數(shù)據(jù)并沒有全部存放在內(nèi)核存儲(chǔ)器中，所以稱之為核外計(jì)算。核外計(jì)算程序中包含大量的文件操作，因訪問磁盤數(shù)據(jù)的速度比較慢，所以在處理大數(shù)據(jù)量問題時(shí)，I/O性能顯然要超過CPU性能而成為重要的限制因素。因此，如何對(duì)核外數(shù)組進(jìn)行合理調(diào)度與高效訪問是解決核外計(jì)算應(yīng)用問題的關(guān)鍵。

利用三角分解式求解對(duì)稱正定方程組是一種有效方法。單行卷簾存儲(chǔ)Cholesky分解[1]使每個(gè)節(jié)點(diǎn)所分配的數(shù)據(jù)最多相差一行，但是這種劃分方式的通信開銷比較大。多行卷簾存儲(chǔ)Cholesky分解[2]可以減少通信開銷,充分利用節(jié)點(diǎn)的緩存，但是沒有充分考慮緩存的效率問題，因?yàn)榫彺婵梢詫?duì)程序性能帶來巨大的改變。遞歸算法[3]通過將矩陣分塊使各個(gè)子矩陣的運(yùn)算能夠在高速緩存中進(jìn)行，以提高運(yùn)算效率，同時(shí)遞歸算法良好的數(shù)據(jù)局部性和矩陣遞歸的分塊，使其非常適合分層多級(jí)存儲(chǔ)的計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)。但是在遞歸調(diào)度算法中，非對(duì)角塊的運(yùn)算不能充分利用計(jì)算機(jī)的分級(jí)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。分塊Cholesky分解[4-5]通過精心的挑選塊的大小，使每個(gè)塊都能充分地利用一級(jí)緩存，并且合理地劃分塊的大小還能使每個(gè)塊常駐內(nèi)存。參考文獻(xiàn)文[4]充分利用了系統(tǒng)硬件的并行機(jī)制以使通信與計(jì)算重疊，減少了節(jié)點(diǎn)的等待時(shí)間。同時(shí)通過矩陣元素的重排使每個(gè)塊都被連續(xù)存儲(chǔ)，以充分利用計(jì)算機(jī)的多層次存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，減少數(shù)據(jù)拷貝和內(nèi)部的變化。但是這些算法只在數(shù)據(jù)量較小的情況下適用；當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，數(shù)據(jù)將無法一次性讀入內(nèi)存，因此引進(jìn)了核外計(jì)算的概念。

本文對(duì)Cholesky分解的并行算法進(jìn)行了深入的研究，給出的核外算法通過預(yù)取[6-7]的方法使得數(shù)據(jù)在實(shí)際使用之前從硬盤移到緩存中,從而進(jìn)一步提高了緩存的命中率，減少了文件讀取的時(shí)間。

1 基本概念

1.1 Cholesky分解

Cholesky分解用于求解系數(shù)矩陣對(duì)稱正定的線性方程組。

式(1)中，A為實(shí)對(duì)稱正定矩陣，且A的所有順序主子式均不為零，X和b為矩形矩陣或向量。為了避免平方根法Cholesky分解 (A＝LLT)的開方運(yùn)算且擴(kuò)大使用范圍，將矩陣對(duì)稱正定矩陣A分解成A＝LDLT。當(dāng)A是正定對(duì)稱矩陣時(shí)，A的分解是唯一的。其中D是對(duì)角線元素全為正的對(duì)角矩陣，L是單位下三角矩陣。其求解公式如下：

1.2 預(yù)取方法

在核外計(jì)算中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上，只有CPU對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)才將其讀入內(nèi)存緩沖區(qū)，處理完成后寫回文件。這樣，核外計(jì)算過程就可以描述成：讀入核外數(shù)組文件的一塊數(shù)據(jù)到內(nèi)存緩沖區(qū)，進(jìn)行計(jì)算等處理，處理完成后將其寫回?cái)?shù)組文件；讀取下一塊數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，處理完成后寫回文件。如此反復(fù)執(zhí)行，直到整個(gè)核外數(shù)組處理完成后結(jié)束。顯而易見，這是一個(gè)順序流水線，執(zhí)行I/O操作與CPU進(jìn)行計(jì)算是順序執(zhí)行的；由于二者在執(zhí)行前需彼此等待，所以程序的執(zhí)行效率非常低。于是考慮到，當(dāng)I/O操作的數(shù)據(jù)與CPU執(zhí)行計(jì)算的數(shù)據(jù)無相關(guān)性時(shí)，可以把對(duì)下一個(gè)數(shù)據(jù)塊的I/O操作與對(duì)當(dāng)前數(shù)據(jù)塊的計(jì)算重疊起來，這樣就可以隱藏I/O的延遲，達(dá)到縮短整個(gè)程序運(yùn)行時(shí)間的目的。圖1所示為數(shù)據(jù)預(yù)取前后的對(duì)比。

本算法采用雙緩沖區(qū)的方式，即為一個(gè)核外數(shù)組分配兩個(gè)內(nèi)存緩沖區(qū)buffer[2]，輪流存放本次和下一次讀入的數(shù)據(jù)塊。用預(yù)取的方法對(duì)第s個(gè)子文件更新，其偽碼如下：

圖1 數(shù)據(jù)預(yù)取前后的對(duì)比

(1)主節(jié)點(diǎn)將第一個(gè)子文件讀入內(nèi)存數(shù)組buffer[0]中，并將其廣播出去；

(2)依次用已分解的子文件更新第s個(gè)子文件，即對(duì)ka=1,2,……,s-1循環(huán)：

若該節(jié)點(diǎn)是主節(jié)點(diǎn),做以下工作：①讀入第ka個(gè)文件到buffer[ka%2]中；②發(fā)送第ka個(gè)文件;

若該節(jié)點(diǎn)是從節(jié)點(diǎn),則做以下工作：①用第ka-1個(gè)文件更新第s個(gè)文件；②接收第ka個(gè)文件。

(3)若該節(jié)點(diǎn)是從節(jié)點(diǎn)，則用第s-1個(gè)文件更新第s個(gè)文件。

2 用預(yù)取算法實(shí)現(xiàn)Cholesky分解

2.1 Cholesky分解并行算法的思想

將大規(guī)模矩陣A連續(xù)拆分成q個(gè)子文件，并將其儲(chǔ)存到主節(jié)點(diǎn)中。主節(jié)點(diǎn)一次調(diào)入內(nèi)存一個(gè)子文件，依次對(duì)各子文件進(jìn)行Cholesky分解，直至最后一個(gè)子文件分解完畢。所以只要拆分的子文件大小不超過空閑內(nèi)存的范圍，算法就可以運(yùn)行。其算法流程見圖2，具體步驟如下：

(1)文件拆分過程

由主節(jié)點(diǎn)機(jī)進(jìn)行矩陣拆分存儲(chǔ)的操作，打開存儲(chǔ)于硬盤中的A.txt文件，依內(nèi)存容量的需要進(jìn)行拆分，讀取相應(yīng)規(guī)模的數(shù)據(jù)，生成子文件，并將這些子文件j.txt(j=1,2,3)存儲(chǔ)回硬盤。

(2)A陣的Cholesky分解過程

圖2 Cholesky分解流程圖

考慮到Cholesky分解過程中的依賴關(guān)系，對(duì)其由上至下依次進(jìn)行分解。由于在三角分解中，既需要分解后的上三角，又需要分解后的下三角，所以可以將分解后的上三角復(fù)制到下三角。這樣既可以減少運(yùn)算量又可以減少存儲(chǔ)量。在分解過程中利用其并行性，主節(jié)點(diǎn)打開第一個(gè)子文件 1.txt后，賦值給 a6×15，再將 a廣播出到各個(gè)從節(jié)點(diǎn)。每個(gè)從節(jié)點(diǎn)經(jīng)卷簾計(jì)算出分解因子后，廣播出去，如此地計(jì)算kb=2次，該子文件的Cholesky分解完畢。當(dāng)1.txt計(jì)算結(jié)束后,主節(jié)點(diǎn)打開下一個(gè)子文件2.txt，賦值給a6×15，再將 a廣播到各個(gè)從節(jié)點(diǎn)。同時(shí)主節(jié)點(diǎn)還要打開分解完畢的子文件 1.txt,賦值給 aa6×15(即 buffer[0]),再將aa廣播到各個(gè)從節(jié)點(diǎn)。各個(gè)從節(jié)點(diǎn)用aa6×15卷簾去更新 a6×15，更新完畢后 a6×15再像上面的操作，每個(gè)從節(jié)點(diǎn)卷簾的計(jì)算出分解因子后，廣播出去，如此的計(jì)算kb=2次后，主節(jié)點(diǎn)打開下一個(gè)子文件3.txt，進(jìn)行如文件2.tx的操作。

2.2 Cholesky分解并行算法的描述

將A連續(xù)拆分存儲(chǔ)到q個(gè)子文件中，依次對(duì)各子文件進(jìn)行Cholesky分解，直至對(duì)最后一個(gè)子文件分解后，原大規(guī)模系數(shù)矩陣已被拆分到幾個(gè)小文件中存儲(chǔ)。將節(jié)點(diǎn)機(jī)分別標(biāo)記為 P0，P1…Pnp，np代表從節(jié)點(diǎn)機(jī)個(gè)數(shù)，P0代表主節(jié)點(diǎn)，kb表示在一個(gè)子文件中單個(gè)節(jié)點(diǎn)機(jī)計(jì)算的行數(shù)，s是子文件依次分解的循環(huán)控制變量，ka表示讀取已分解子文件的循環(huán)控制變量，在拆分后 a∈R[kb×np]×n，aa∈R[kb×np]×n。 具 體 步 驟 如 下 ：

(1)文件拆分

主節(jié)點(diǎn)機(jī)打開存于硬盤中的A.txt文件，按內(nèi)存容量的需要進(jìn)行拆分，讀取相應(yīng)規(guī)模的數(shù)據(jù)，生成q個(gè)子文件。

(2)A矩陣的Cholesky分解過程

①1.txt(s=0)的 Cholesky分解：(a)主節(jié)點(diǎn)打開 1.txt，讀取文件內(nèi)容，賦值到a[np*kb][n]數(shù)組中，并將數(shù)組a廣播出去。(b)從節(jié)點(diǎn) myid(myid=1,2,……,np)將數(shù)組 a中的第 i行(i%np=myid-1)進(jìn)行 Cholesky分解。(c)從節(jié)點(diǎn)將已分解的對(duì)角元素賦給數(shù)組d[n]。(d)從節(jié)點(diǎn)用數(shù)組a已分解的元素重寫其下三角。(e)從節(jié)點(diǎn)將分解后的數(shù)組a寫回主節(jié)點(diǎn)。

②文件 j.txt(s=1,2,……,q-1,j=s+1)的 Cholesky分解：(a)主節(jié)點(diǎn)打開并讀取 j.txt內(nèi)容，賦值到a且將其廣播出去。(b)用預(yù)取的方法對(duì)第j個(gè)子文件更新。即主節(jié)點(diǎn)依次打開已分解文件 ka.txt(ka=0,1,…,s-1)，賦值給buffer[ka%2]，并將 buffer[ka%2]廣播出去。在各個(gè)從節(jié)點(diǎn)根據(jù)buffer[ka%2]的值更新數(shù)組a值的同時(shí)，主節(jié)點(diǎn)讀取下一個(gè)已分解的文件。(c)用數(shù)組buffer[ka%2]的元素重寫數(shù)組a的下三角。(d)將數(shù)組a進(jìn)行Cholesky分解。(e）將數(shù)組a本次分解的對(duì)角線元素賦值給數(shù)組d[n]。(f)用數(shù)組a本次分解的元素重寫其下三角。(g)將分解后的數(shù)組a寫回主節(jié)點(diǎn)。

2.3 算法的復(fù)雜度分析

對(duì)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的通信，測(cè)量開銷使用乒乓法：節(jié)點(diǎn)0發(fā)送m個(gè)字節(jié)給節(jié)點(diǎn)1；節(jié)點(diǎn)1從節(jié)點(diǎn)0接收m個(gè)字節(jié)后，立即將消息發(fā)回節(jié)點(diǎn)0。總的時(shí)間除以2，即可得到點(diǎn)到點(diǎn)通信時(shí)間，也就是執(zhí)行單一發(fā)送或接收操作的時(shí)間。通信開銷的解析表達(dá)式是消息長(zhǎng)度m(字節(jié))的線性函數(shù)：tcomm(m)=Ts+Tb×m;其中 Ts表示通信的啟動(dòng)時(shí)間,Tb表示發(fā)送每個(gè)字節(jié)所需時(shí)間 (它是帶寬的倒數(shù))。由于MPI_Bcast函數(shù)采用樹算法，所以一次MPI_Bcast的通信開銷為 tcomm(s)×logP。Cholesky分解的執(zhí)行時(shí)間可分為子文件的更新時(shí)間和自身分解時(shí)間。因此，Cholesky分解時(shí)間：Tc=Tg+Tf，其中 Tg是子文件更新時(shí)間，Tf是自身的分解時(shí)間。在文件的更新時(shí)間中,又細(xì)化為讀文件時(shí)間Td、計(jì)算時(shí)間Tj和通信時(shí)間Tt。為了減少分解的執(zhí)行時(shí)間，本文通過預(yù)取的方法使更新過程中的讀文件與計(jì)算重疊，使得 Cholesky分解的時(shí)間開銷：Tc

子文件的大小是通過參數(shù)kb(1≤kb≤n/np)而設(shè)定的，當(dāng)kb=n/np時(shí)相當(dāng)于無文件劃分并行求解；當(dāng)kb=1時(shí)，在每個(gè)子文件中每個(gè)節(jié)點(diǎn)機(jī)只計(jì)算一行，此時(shí)的通信量最大(按照這種分配方法劃分?jǐn)?shù)據(jù)后，每個(gè)處理器上須存儲(chǔ)的內(nèi)容為kb×np×n規(guī)模的矩陣 A)。因此算法的并行執(zhí)行時(shí)間：Tn=T1+Tc+T2，其中，T1為劃分子文件消耗的時(shí)間，Tc是Cholesky分解時(shí)間，T2為冗余的控制和管理開銷。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)環(huán)境采用由5臺(tái)主頻為2.8 GHz的Intel Xeon CPU，內(nèi)存為ECC DDR-2 SDRAM 2 GB的Dell PowerEdge 2850構(gòu)建的集群。該集群運(yùn)行Linux RH9操作系統(tǒng)，并且建立了MPI并行編程環(huán)境。本文測(cè)試的兩個(gè)程序分別為：帶狀循環(huán)劃分的核外程序out和帶狀循環(huán)劃分的核外預(yù)取程序pre。

表1表示當(dāng)A的階數(shù)n=2 478,核外Cholesky分解各個(gè)部分的執(zhí)行時(shí)間對(duì)比。表2表示了在節(jié)點(diǎn)數(shù)np分別為2,3,4,5時(shí)，Cholesky分解中的子文件更新各個(gè)部分的時(shí)間對(duì)比(kb=10,n=2 479)。圖3為核外預(yù)取程序相對(duì)于核外程序更新時(shí)間的效率提高百分比。

表1 矩陣規(guī)模n=2 478,Cholesky分解各部分執(zhí)行時(shí)間

由表1可見，在求解過程中Cholesky分解中的更新部分占了大部分時(shí)間，所以提高更新部分的執(zhí)行率能明顯縮短總的執(zhí)行時(shí)間。

表2 out和pre的Cholesky分解更新時(shí)間對(duì)比

圖3 pre相對(duì)于out的更新時(shí)間效率提高百分比

由表2可見，預(yù)取方法使得子文件的更新時(shí)間平均縮短了15%左右。

圖3表明，核外預(yù)取分解并行算法的效率明顯好于核外分解并行算法，并且隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，提高的效率先增大后減小。這是因?yàn)殡S著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加，子文件容量增加，計(jì)算量增加，計(jì)算與文件讀取的重疊時(shí)間越多。在節(jié)點(diǎn)數(shù)np=3時(shí)，效率提高幅度最大。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)np>3時(shí)，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加通信時(shí)間急劇增加，而計(jì)算時(shí)間逐漸減少，計(jì)算與文件讀取的重疊時(shí)間減少，所以執(zhí)行效率提高的幅度降低。

本文通過對(duì)Cholesky分解并行算法的研究，表明預(yù)取方法是計(jì)算核外稠密線性方程組的有效方法，非常有利于縮短I/O與CPU速度間的差距。數(shù)據(jù)預(yù)取的方法可以做到計(jì)算與I/O并行，即在計(jì)算一塊數(shù)據(jù)的同時(shí)讀入下一塊要處理的數(shù)據(jù)。為了存放預(yù)取的數(shù)據(jù)，本文采用雙緩沖區(qū)的方式，即為一個(gè)核外數(shù)組分配兩個(gè)內(nèi)存緩沖區(qū)，輪流存放本次和下一次讀入的數(shù)據(jù)塊。此外，預(yù)取方法同樣適用于QR分解、LU分解、高斯削去等其他線性代數(shù)問題。當(dāng)然采用數(shù)據(jù)預(yù)取技術(shù)時(shí)，I/O操作時(shí)間與CPU執(zhí)行時(shí)間的比例是保證預(yù)取效果的關(guān)鍵。

事實(shí)上，Cholesky分解也可以采用數(shù)據(jù)重用的方法。通過減少對(duì)子文件的讀取次數(shù)，可以進(jìn)一步提高Cholesky分解算法的效率。由于目前分布存儲(chǔ)計(jì)算機(jī)的處理速度都很高，而其網(wǎng)絡(luò)通信速度較慢,所以用增加計(jì)算和通信粒度的辦法來降低通信成本。

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