侯正信，劉建忠，宋占杰，楊愛萍

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

侯正信，劉建忠，宋占杰，楊愛萍

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

基于一維全相位數(shù)字濾波器(APDF)，提出了通用的全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法. 該方法適用于抽取/內(nèi)插矩陣為任意有理數(shù)情況，能夠保持奈奎斯特特性和零相位特性，可將一維APDF的優(yōu)良特性繼承到多維濾波器. 由一維 APDF的波紋和過渡帶參數(shù)，導(dǎo)出了結(jié)果濾波器的通帶、阻帶波紋和過渡帶向量的估算公式. 另外，研究了一種根據(jù)理想通帶參數(shù)尋找對應(yīng)抽取/內(nèi)插矩陣的方法，并給出了抽取/內(nèi)插矩陣分別為整數(shù)和有理數(shù)時(shí)的2個(gè)實(shí)例.在濾波器長度相同的情況下，與傳統(tǒng)方法相比，所設(shè)計(jì)的全相位多維多抽樣率濾波器過渡帶略寬，但通帶波紋和阻帶波紋更小，阻帶衰減更大，具有良好的幅頻特性.

多維多抽樣率；有理數(shù)抽取/內(nèi)插矩陣；加窗全相位；多維抽??；任意平行六面體

多維數(shù)字濾波器是多維多抽樣率信號處理[1]和多尺度幾何分析[2]的重要基礎(chǔ).目前常用的多維濾波器設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)法[3]、McClellan變換法[4-5]和最優(yōu)化法[6-8].窗函數(shù)法由于截?cái)喈a(chǎn)生吉布斯效應(yīng)，需要采用變化平滑的多維窗函數(shù)，這樣既增加了過渡帶寬度也不能徹底消除吉布斯效應(yīng).McClellan變換法是一種應(yīng)用廣泛的多維濾波器設(shè)計(jì)方法，特別是關(guān)于二維濾波器的設(shè)計(jì)已經(jīng)相當(dāng)成熟[4]，但在設(shè)計(jì)更高維的濾波器時(shí)需要具備很多的對稱性約束條件，變換函數(shù)系數(shù)一般較難確定，目前研究高效靈活的高維McClellan變換仍是一個(gè)重要熱點(diǎn)[5].最優(yōu)化法包括Minmax最優(yōu)化方法[6]、SVD 方法[7]和頻域直接優(yōu)化法[8]等.但是設(shè)計(jì) FIR濾波器時(shí)只滿足低性能要求的濾波器，高性能要求的濾波器設(shè)計(jì)需要很高的階數(shù).

文獻(xiàn)[9]闡述了一種由一維濾波器通過簡易變換衍生出多維多抽樣率濾波器的方法，具有一定的通用性，但是所設(shè)計(jì)的濾波器性能由一維原型濾波器決定.因此，如何找到性能優(yōu)良的一維原型濾波器是采用這種方法的關(guān)鍵.全相位數(shù)字濾波器(all phase digital filter，APDF)是一種新型的零相位濾波器，它采用重疊數(shù)字濾波的思想，有效地克服傳統(tǒng)頻域?yàn)V波對信號采用分段處理所產(chǎn)生的吉布斯效應(yīng)，可分別基于 DFT 域[10]、WHT 域[11]和 DCT/IDCT 域[12]進(jìn)行設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[13-14]分別推導(dǎo)了基于 DFT域和 IDCT域的一維加窗全相位濾波器的設(shè)計(jì)公式，通過加窗用稍寬的過渡帶換取了十分平坦的通帶和阻帶特性，改善了濾波器性能.目前，對于多維 APDF的設(shè)計(jì)還缺少系統(tǒng)的研究.文獻(xiàn)[15-16]討論了直接由二維列率矩陣設(shè)計(jì)某些具有特定頻率響應(yīng)的不可分離二維 APDF，例如鉆石形、扇形濾波器等，但僅適用于設(shè)計(jì)不加窗(相當(dāng)于加矩形窗)的APDF.若設(shè)計(jì)二維加窗APDF，由于窗函數(shù)的影響，不便直接由二維列率矩陣設(shè)計(jì).本文提出一種通用的全相位多維多抽樣率濾波器的設(shè)計(jì)方法，可基于 DFT、WHT和 DCT/IDCT等不同變換域，設(shè)計(jì)具有任意平行六面體通帶區(qū)域的多維APDF.基于 IDCT域的一維加窗 APDF具有更好的幅頻特性[14]，因此，本文將其作為一維原型濾波器進(jìn)行多維多抽樣率數(shù)字濾波器設(shè)計(jì).

1 基于IDCT域的一維加窗全相位濾波

圖1 基于IDCT域加窗APDF的直接列率域?qū)崿F(xiàn)Fig.1 Direct sequence realization of windowed APDF Fig.1 based on IDCT

2 全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

2.1 多維多抽樣率數(shù)字濾波器

為防止M倍抽取引起的頻譜混疊，通常先用抽取濾波器對信號 x(n)濾波，然后再進(jìn)行抽取.而M倍內(nèi)插時(shí)，則需要將內(nèi)插信號 y(n)通過內(nèi)插濾波器，去除M倍內(nèi)插產(chǎn)生的鏡像頻譜.因此，無論抽取還是內(nèi)插，都需要一個(gè)多維抽取/內(nèi)插濾波器，統(tǒng)稱為多維多抽樣率數(shù)字濾波器 H(ω)，具有平行六面體通帶區(qū)域[9]

2.2 與一維原型全相位數(shù)字濾波器的關(guān)系

2.3 抽取/內(nèi)插矩陣H為任意有理數(shù)的情況

推廣整數(shù)抽取/內(nèi)插矩陣M為非奇異有理數(shù)矩陣H，由于任何無理數(shù)矩陣都能夠用有理數(shù)矩陣來近似，S P D(π H-T)可以表示任意平行六面體形狀的通帶區(qū)域.

考慮一個(gè)多維理想低通濾波器 G (ω)，它具有通帶區(qū)域 S PD(π H-T)，亦即

2.4 設(shè)計(jì)步驟

總結(jié)第2.2和2.3節(jié)，設(shè)計(jì)通帶區(qū)域?yàn)?S PD(π H-T)的全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器有以下5個(gè)步驟.

3 結(jié)果濾波器性質(zhì)分析

3.1 通帶、阻帶波紋和過渡帶

因?yàn)閷?shí)際中濾波器 H(s)(ω)是非理想的，所以步驟(4)和(5)中多維抽取會造成通帶和阻帶的頻譜混疊.下面借鑒文獻(xiàn)[9，18]中的方法，討論通帶波紋、阻帶波紋和過渡帶向量的估算.假設(shè)一維原型濾波器P(ω)的通帶波紋δ1，阻帶波紋δ2.利用式(9)和式(10)易知，H(s)(ω)的通帶和阻帶的幅頻響應(yīng)分別滿足

3.2 零相位特性

APDF可以有效地克服吉布斯效應(yīng)，在時(shí)域滿足實(shí)偶對稱，是零相位數(shù)字濾波器的一個(gè)子集[10]，對應(yīng)頻率響應(yīng)亦為實(shí)偶對稱，沒有相位畸變，在圖像處理方面具有重要意義.假設(shè)一維原型濾波器 p (n)為APDF，則滿足 p (n) = p ( - n )，由式(10)可知 h(s)(n)=h(s)(- n).再進(jìn)行多維抽取可得： g ( n) = c h(s)(Ln)=ch(s)( -Ln) = g (- n).因此，本文所設(shè)計(jì)的結(jié)果濾波器 g (n)也具有零相位特性.

3.3 保持奈奎斯特特性

奈奎斯特濾波器的脈沖響應(yīng) f (n)滿足條件：f(M n) = 0，n≠0，M為某一整數(shù)矩陣.這種濾波器也稱為M帶濾波器.作為內(nèi)插濾波器時(shí)，奈奎斯特濾波器具有保持原有采樣值不變的優(yōu)點(diǎn)，沒有抽樣值之間的相互干擾.本文的設(shè)計(jì)方法可以保持奈奎斯特特性.更準(zhǔn)確地說，假設(shè)一維原型濾波器 p (n)為奈奎斯特濾波器，即 p (J ( M ) n) = 0，n ≠ 0 .利用式(10)，得h(s)(J(M )n) = 0，n≠0.則h( M n ) =c0h(s)(Mn)=c0h(s)(J(M )n)=0，n≠0.因此，h(n)也是奈奎斯特(M帶)濾波器.此外，如果把奈奎斯特特性推廣到有理數(shù)情形：不論Hn是否為非零整數(shù)向量都滿足f( H n) = 0，即H帶特性.可以證明結(jié)果濾波器 g (n)同樣滿足奈奎斯特特性.

3.4 因果性

假設(shè)從一維因果濾波器 p (n)開始設(shè)計(jì)，式(10)所示的可分離多維濾波器 h(s)(n)顯然是因果濾波器(即當(dāng)且僅當(dāng)ni為非負(fù)值時(shí)，h(s)(n)為非零值).M?L抽取 h(s)(n)產(chǎn)生的結(jié)果濾波器 g (n)的因果性由抽取矩陣M?L決定.當(dāng)且僅當(dāng)矩陣(L)-1的所有元素為非負(fù)時(shí)，等價(jià)于矩陣H的所有元素為非負(fù)值，g(n)為因果濾波器.而對于含有負(fù)數(shù)元素的H矩陣，最后所得結(jié)果濾波器 g (n)不能保持因果不變性.

3.5 通用性

第 2.4節(jié)已經(jīng)說明了如何根據(jù)抽取/內(nèi)插矩陣 H設(shè)計(jì)全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器.但是實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，有時(shí)僅給定通帶而非矩陣H.因此，需要研究利用理想通帶參數(shù)求取對應(yīng)矩陣H的方法，以便設(shè)計(jì)各種濾波器.假設(shè)每一個(gè)平行六面體區(qū)域的通帶都可表示為

式中矩陣P的列向量可稱為生成向量.圖2顯示了二維平行六面體通帶區(qū)域及其生成向量 p0和 p1.對比式(28)和 S PD(π H-T)，若令

則矩陣 H即為所求矩陣.因此，本文設(shè)計(jì)方法具有廣泛的通用性.

圖2 二維平行六面體的生成向量Fig.2 Generating vectors of a 2D parallelepiped

4 設(shè)計(jì)實(shí)例和討論

4.1 H為整數(shù)矩陣

與本文方法進(jìn)行對比，采用切比雪夫等波紋逼近方法設(shè)計(jì)與 PN(ω)具有相同長度的原型濾波器 P (ω)，最后所得的結(jié)果濾波器 H(ω) 如圖 5(c)、(d)所示.由圖 5可知，本文方法所設(shè)計(jì)的結(jié)果濾波器 H(ω)通帶和阻帶更加平坦，通帶波紋和阻帶波紋更小，通帶邊緣沒有明顯的吉布斯效應(yīng)，阻帶衰減更大，但是過渡帶不如切比雪夫等波紋逼近法陡峭.

表 1中列出了本文方法和切比雪夫等波紋逼近方法設(shè)計(jì)時(shí)的一維原型濾波器和結(jié)果濾波器的通帶波紋、阻帶波紋和過渡帶等情況.由表1易知，2種方法所設(shè)計(jì)濾波器的實(shí)際值均小于按照式(22)、(23)和式(26)所計(jì)算的估計(jì)值.由圖 5和表 1可知，與傳統(tǒng)切比雪夫等波紋逼近方法相比，本文方法設(shè)計(jì)的加窗全相位多維多抽樣率濾波器過渡帶略寬，通帶特性十分平坦，阻帶具有更大的衰減，具有優(yōu)良的阻帶和通帶特性.

圖3 例1中濾波器H(ω)的理想通帶SPD(πH-T)Fig.3 Desired passband SPD(πH-T) of filter H(ω) in example 1

圖4 PN(ω)的幅度響應(yīng)Fig.4 Magnitude response of PN(ω)

圖5 多維多抽樣率數(shù)字濾波器H(ω)的幅度響應(yīng)Fig.5 Magnitude response of multidimensional multirate filters H(ω)

表1 例1中一維原型濾波器和結(jié)果濾波器的通帶波紋、阻帶波紋和過渡帶Tab.1 Passband and stopband ripples and transition band of 1D prototype and resulting filters in example 1

4.2 H為有理數(shù)矩陣

假設(shè)需要設(shè)計(jì)的濾波器 g (n)的理想通帶區(qū)域如圖 6灰色陰影部分所示，用 S PD(π H-T)表示，其中有理矩陣H及其左MFD為

圖6 例2中濾波器G(ω)的理想通帶SPD(πH-T)Fig.6 Desired passband SPD(πH-T) of filter G(ω) in Fig.6 example 2

圖7 例2中結(jié)果濾波器G(ω)的幅度響應(yīng)Fig.7 Magnitude response of resulting filter G(ω) in design example 2

表2 例2中一維原型濾波器和結(jié)果濾波器的通帶波紋、阻帶波紋和過渡帶Tab.2 Passband and stopband ripples and transition band of 1D prototype and resulting filters in example 2

5 結(jié) 論

(1) 本文基于一維全相位數(shù)字濾波器(APDF)，提出了通用的全相位多維多抽樣率數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法，適用于抽取/內(nèi)插矩陣 H 為任意有理數(shù)的情況.該方法可以設(shè)計(jì)具有任意平行六面體通帶區(qū)域的濾波器，具有廣泛的通用性，豐富了多維多抽樣率數(shù)字信號處理理論.

(2) 所設(shè)計(jì)濾波器具有零相位不變性，可以保持奈奎斯特(M帶)特性，將一維 APDF的優(yōu)良特性繼承到多維濾波器.當(dāng)矩陣H的所有元素為非負(fù)值時(shí)，所得的濾波器保持因果不變性.

(3) 利用一維 APDF的通帶、阻帶波紋和過渡帶，導(dǎo)出了結(jié)果濾波器的通帶、阻帶波紋和過渡帶向量的估算公式.研究了一種根據(jù)通帶參數(shù)尋找對應(yīng)矩陣H的方法，以便設(shè)計(jì)各種濾波器.

(4) 與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法相比，在濾波器長度相同的情況下，本文所設(shè)計(jì)的全相位多維多抽樣率濾波器過渡帶略寬，通帶波紋和阻帶波紋更小，阻帶衰減更大，具有更平坦的通帶和阻帶特性.

［1］Law Ka L，F(xiàn)ossum R M，Do Minh N. Generic invertibility of multidimensional FIR multirate systems and filter banks[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing.Taipei，China，2009：3385-3388.

［2］Tanaka Yuichi，Ikehara Masaaki，Nguyen Truong Q. Multiresolution image representation using combined 2-D and 1-D directional filter banks[J].IEEE Transactionson Image Processing，2009，18(2)：269-280.

［3］Dembo A，Malah D. Generalization of the window method for FIR digital filter design[J]. IEEE Transactions on Acoustics，Speech and Signal Processing，1984，32(5)：1081-1083.

［4］Chen C K，Lee J H. McClellan transform based design techniques for two-dimensional linear-phase FIR filters[J].IEEE Transactions on Circuits and SystemsI：Fundamental Theory and Applications，1994，41(8)：505-517.

［5］Shyu J J，Pei S C，Huang Y D. 3-D FIR cone-shaped filter design by a nest of McClellan transformations and its variable design[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Regular Papers，2010，57(7)：1697-1707.

［6］Charalambous C. The performance of an algorithm for minmax design of two-dimensional linear phase FIR digital filters[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems，1985，CAS-32(10)：1016-1028.

［7］Ma Jun，Parhi K K，Deprettere E F. A unified algebraic transformation approach for parallel recursive and adaptive filtering and SVD algorithms[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2001，49(2)：424-437.

［8］Nguyen Truong T，Oraintara Soontorn. Multidimensional filter banks design by direct optimization[C]//Proceedings of IEEE International Symposium on Circuits and Systems.Kobe，Japan，2005，2：1090-1093.

［9］Chen Tsuhan，Vaidyanathan P P. Multidimensional multirate filters and filter banks derived from one-dimensional filters[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41(5)：1749-1765.

［10］侯正信，王兆華，楊 喜. 全相位 DFT數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) [J]. 電子學(xué)報(bào)，2003，31(4)：1-4.

Hou Zhengxin，Wang Zhaohua，Yang Xi. Design and implementation of all phase DFT digital filter[J].Acta Electronica Sinica，2003，31(4)：1-4(in Chinese).

［11］侯正信，王成優(yōu)，楊愛萍，等. 全相位沃爾什雙正交變換及其在圖像壓縮中的應(yīng)用[J].電子學(xué)報(bào)，2007，35(7)：1376-1381.

Hou Zhengxin，Wang Chengyou，Yang Aiping，et al. All phase Walsh biorthogonal transform and its application in image compression [J].Acta Electronica Sinica，2007，35(7)：1376-1381(in Chinese).

［12］侯正信. 離散余弦列率濾波的卷積算法[J]. 通信學(xué)報(bào)，1999，20(S1)：211-215.

Hou Zhengxin. A convolution algorithm for discrete cosine sequency filtering[J].Journal of China Institute of Communications，1999，20(S1)：211-215(in Chinese).

［13］侯正信，徐妮妮. 加窗全相位 DFT數(shù)字濾波器[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，38(5)：448-454.

Hou Zhengxin，Xu Nini. Windowed all phase DFT digital filter[J].Journal of Tianjin University，2005，38(5)：448-454(in Chinese).

［14］趙黎麗，侯正信. 基于 IDCT域的加窗全相位數(shù)字濾波器[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，39(12)：1499-1503.

Zhao Lili，Hou Zhengxin. Windowed all phase digital filter based on IDCT[J].Journal of Tianjin University，2006，39(12)：1499-1503(in Chinese).

［15］徐妮妮，侯正信，王兆華. 純二維全相位濾波器組及其在圖像壓縮中的應(yīng)用[J]. 光電子·激光，2007，18(5)：608-611.

Xu Nini，Hou Zhengxin，Wang Zhaohua. True 2-D all phase filter bank and its application for image compression[J].Journal of Optoelectronics Laser，2007，18(5)：608-611(in Chinese).

［16］郭迎春，侯正信，于 明，等. 最優(yōu)內(nèi)插的純二維小波構(gòu)造[J]. 光電子·激光，2008，19(6)：795-798.

Guo Yingchun，Hou Zhengxin，Yu Ming，et al. Construction of optimal-interpolating true bi-dimensional wavelets[J].Journal of Optoelectronics Laser，2008，19(6)：795-798(in Chinese).

［17］Chen Tsuhan，Vaidyanathan P P. Role of integer matrices in multidimensional multirate systems[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41(3)：1035-1047.

［18］Bamberger R H，Smith M J T. A filter bank for the directional decomposition of images：Theory and design[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1992，40(4)：882-893.

Design of All Phase Multidimensional Multirate Digital Filter

HOU Zheng-xin，LIU Jian-zhong，SONG Zhan-jie，YANG Ai-ping
(School of Electronic Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A general method for designing all phase multidimensional(MD)multirate digital filter was presented based on one-dimensional(1D)all phase digital filter(APDF)，which is applicable to arbitrary rational decimation/expansion matrix. The resulting MD multirate filters inherit excellent properties，such as zero phase property and Nyquist constraint property，from 1D APDF. Their passband and stopband ripples and transition band vector were estimated in terms of the ripples and transition band of 1D prototype filter. Furthermore，a method of computing the corresponding matrix was studied according to the specifications of the ideal passband. Two design examples were given with integer and rational decimation/expansion matrix respectively. Under the condition of the same filter length，compared with traditional method，the resulting all phase MD multirate filters using the proposed method have better amplitude-frequency response characteristics. Except for slightly wider transition band，the pass band and stopband are much flatter with rather small ripples.

multidimensional multirate；rational decimation/expansion matrix；windowed all phase；multidimensional decimation；arbitrary parallelepiped

TN911.72

A

0493-2137(2011)04-0331-08

2010-01-20；

2010-08-18.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61002027，60872161）.

侯正信（1945— ），男，教授，博士生導(dǎo)師，zhengxinhou@163.com.

劉建忠，ljzh@tju.edu.cn.