劉 飛，胡小毛，翁海娜，李士心

(天津航海儀器研究所，天津 300131)

以偽距、偽距率作為觀測量的SINS/GPS緊耦合組合方式是一種相對復雜的高水平的綜合，GPS接收機提供偽距、偽距率給融合算法并用于系統(tǒng)校正[1-2]．卡爾曼濾波是 SINS/GPS組合導航系統(tǒng)處理數(shù)據(jù)最常用的算法，濾波有效性取決于系統(tǒng)的可觀測性．對于不完全可觀測的系統(tǒng)，不僅要知道每個狀態(tài)變量的可觀測性，還要知道每個狀態(tài)變量的可觀測程度．對于線性時變系統(tǒng)，無法直接用定常系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)來進行可觀測性分析，當只需分析系統(tǒng)可觀測性時，可采用分段線性定常系統(tǒng)(piece-wise constant system，PWCS)可觀測性分析理論與方法來定性地分析系統(tǒng)可觀測性[3-4]．系統(tǒng)狀態(tài)變量可觀測度的定量分析方法目前可分為特征值方法[5]和奇異值分解方法[6]2類，前者是基于誤差協(xié)方差陣特征值和特征向量的可觀測度分析方法，后者是基于系統(tǒng)觀測矩陣奇異值分解的可觀測度分析方法．此外 Hong等[7]研究推導了一種適用于多輸出時變系統(tǒng)的可觀測性測量方法，陳哲[8]在 1991年首次給出了局部可觀測性分析理論，并將其用于分析時變不完全可觀測系統(tǒng)中某些時間段系統(tǒng)的可觀測性．

下面給出可見衛(wèi)星數(shù)大于 4顆時基于G?矩陣選星算法的偽距、偽距率的 SINS/GPS緊耦合系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程．

1.1 基于矩陣的選星算法

在 ENU坐標系中，第 i顆衛(wèi)星與用戶的單位方向余弦矢量可以表示為

算法的基本思想是：從 N顆可見星中選出高度角大于 10°的衛(wèi)星(假設高度角小于 10°的可見星數(shù)為k)，然后從N-k顆高度角大于10°的星座中選出高度角最大的衛(wèi)星，進而從剩余的N-k-1顆可見星中選出3顆衛(wèi)星的組合，與高度角最大的衛(wèi)星組合成一組定位星座，利用 ENU坐標系下幾何精度因子的計算公式計算相應的 GDOP值，選擇 GDOP值最小的一組可見衛(wèi)星參與導航定位．

1.2 SINS/GPS組合系統(tǒng)狀態(tài)方程

SINS的誤差狀態(tài)為速度誤差、姿態(tài)角誤差、位置誤差、陀螺漂移、加速度計零偏；GPS的誤差狀態(tài)，在偽距、偽距率組合系統(tǒng)中，通常取 2個與時間有關的誤差：一個是與時鐘誤差等效的距離誤差ut δ，另一個是與時鐘頻率誤差等效的距離變化率誤差rut δ ．組合系統(tǒng)狀態(tài)方程為

式中： fk(k =1,2,…,7)為3× 3階非零時變矩陣；G(t)為17× 8維系統(tǒng)噪聲驅動矩陣；W(t)為8× 1維系統(tǒng)激勵噪聲向量．

1.3 SINS/GPS組合系統(tǒng)量測方程

基于偽距、偽距率的 GPS/SINS組合系統(tǒng)的量測方程[9](i為參與導航定位可見衛(wèi)星數(shù)，j為衛(wèi)星號(j＝1，2，…，i))為

2 證明 SINS/GPS緊耦合系統(tǒng)滿足 PWCS定理

2.1 PWCS可觀測性分析定理

系統(tǒng)的可觀測性分析結果與輸入無關，故可使用離散線性齊次系統(tǒng)模型對系統(tǒng)進行可觀測性分析．設齊次線性系統(tǒng)模型為

定理1的條件是 Fj中對應特征值1的特征向量屬于 Qj的零空間．定理1說明，可用離散系統(tǒng)PWCS的SOM代替TOM研究離散系統(tǒng)的可觀測性．

定理2說明，可用連續(xù)系統(tǒng)PWCS的SOM代替TOM研究連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性．

定理3 如果Fj是對應于Aj和Δj的離散化的轉移矩陣，則

定理3說明，離散型PWCS和連續(xù)型 PWCS的可觀測性分析是等價的．

定理1、2、3的證明過程見文獻[3]．

2.2 證明SINS/GPS緊耦合系統(tǒng)滿足PWCS定理

當可見衛(wèi)星數(shù)大于4顆時，利用第1.1節(jié)的G矩陣的選星算法選出最佳的4顆導航定位衛(wèi)星，此時由式(5)令 i＝4，即可得到 4顆可見衛(wèi)星的 SINS/GPS緊耦合系統(tǒng)狀態(tài)量測方程，為了證明系統(tǒng)滿足定理 2的條件，通過重排系統(tǒng)的狀態(tài)變量，得齊次分段式SINS/GPS緊耦合系統(tǒng)的狀態(tài)量測方程為

式中1h和2h均為可逆矩陣，由連續(xù)系統(tǒng)第j時間段的可觀測性矩陣j定義可知

初等行變換不改變矩陣的秩和零空間，故設有非零向量其中各分量分別為 4、4、3、3、3維列向量．令X ∈ null(，則由式(8)有

定理 2的條件成立，故可以用連續(xù)系統(tǒng)的 SOM矩陣代替TOM矩陣進行可觀測性分析，定理3說明連續(xù)型PWCS和離散型PWCS的可觀測性分析是等價的，所以可知，可以用離散系統(tǒng)的 SOM 矩陣代替連續(xù)系統(tǒng)的TOM矩陣對SINS/GPS緊耦合系統(tǒng)進行可觀測度的分析．

其他衛(wèi)星數(shù)情況有類似分析證明過程．

3 基于G矩陣偽距偽距率的 SINS/GPS緊耦合系統(tǒng)可觀測度分析

限于篇幅，僅給出直線平飛時系統(tǒng)的可觀測度仿真分析結果．設初始位置為緯度 39.183°，經度117.113°，卡爾曼濾波率計算周期 0.01,s，GPS偽距測量誤差為偏值 10,m，隨機 25,m，隨機偽距率誤差為0.01,m/s，一階馬爾可夫過程相關時間為10,s．

圖1和圖2分別給出了第1時間段和第2時間段可見衛(wèi)星數(shù)為 3顆的情況下系統(tǒng)狀態(tài)變量的可觀測度仿真結果(由于狀態(tài)7、8的可觀測度的相對其他狀態(tài)數(shù)量級較大，故對狀態(tài)7、8的可觀測度在圖1和圖2中單獨給出)，從第1時間段到第2時間段系統(tǒng)各個狀態(tài)變量的可觀測度有了明顯的提高．可見衛(wèi)星數(shù)為 1顆、2顆、4顆、6顆以及大于 6顆的情況有類似的分析結果．

表1給出了系統(tǒng)第1、2時間段(1#、2#)的可觀測度仿真分析結果，為確保系統(tǒng)矩陣的變化量可以忽略不計，系統(tǒng)分段時間間隔應該取為較小值，本文時間段取0.5,s，由表1的結果可以看出，第1時間段參與導航定位的可見衛(wèi)星數(shù)從 1顆增加到 6顆時，系統(tǒng)SOM 的秩分別為 7、11、12、13、13，系統(tǒng)的可觀測性和可觀測度隨著衛(wèi)星數(shù)增多而同時提高；第2時間段可見衛(wèi)星數(shù)從1顆增加到6顆時，系統(tǒng)SOM的秩分別為 10、13、13、13、13，衛(wèi)星數(shù)大于 6 顆時 SOM 的秩都為13，衛(wèi)星數(shù)為1顆、2顆、3顆的情況系統(tǒng)的可觀測性和可觀測度進一步增強，衛(wèi)星數(shù)為4的可觀測性沒有變化，進一步研究發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星數(shù)大于4顆的情況下系統(tǒng)的可觀測性都不會變化，變化的只是系統(tǒng)各個變量的可觀測度，隨著時間段的增加，可觀測度會進一步增強．再增加時間段的情況下，可見衛(wèi)星數(shù)只有 1顆的情況下系統(tǒng)的可觀測性和可觀測度會同時提高，系統(tǒng) SOM 的秩會提高到 11；可見衛(wèi)星數(shù)為 2顆、3顆、4顆、6顆以及大于6顆的情況下系統(tǒng)可觀測性沒有變化，可觀測度會有所提高．

圖1 3顆可見衛(wèi)星狀態(tài)可觀測度(1#)Fig.1 Observable degree of states for SV＝3(1#)

圖2 3顆可見衛(wèi)星狀態(tài)可觀測度(2#)Fig.2 Observable degree of states for SV＝3(2#)

表1 系統(tǒng)狀態(tài)可觀測度(1#、2#)Tab.1 Observable degrees of system′s states(1#、2#)

4 結 語

利用 ENU 坐標系下幾何精度因子的定義，在G?矩陣選星算法基礎上，給出了基于偽距、偽距率的SINS/GPS組合導航系統(tǒng)的狀態(tài)和量測方程．通過PWCS理論和奇異值分解算法對上述緊耦合系統(tǒng)進行了仿真分析，結果表明，系統(tǒng)的可觀測性和可觀測度均與參與導航定位的可見星的數(shù)目有關系，為進一步研究SINS/GPS緊耦合系統(tǒng)提供先行技術支持．

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