楊永俠，田廣平

(西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，陜西西安 710032)

低頻電磁信號(hào)在雷達(dá)、通信、礦產(chǎn)資源勘探、地震預(yù)測(cè)、核廢料處理、環(huán)境保護(hù)等方面具有廣泛的應(yīng)用前景。因此對(duì)低頻電磁信號(hào)的頻譜進(jìn)行實(shí)時(shí)精確估計(jì)有著重要的應(yīng)用價(jià)值。在許多實(shí)際應(yīng)用中，人們關(guān)心的頻譜通常只是整個(gè)頻譜中較窄的頻帶，在實(shí)際工程技術(shù)中，能在高效率和高分辨率的條件下計(jì)算窄帶信號(hào)的頻譜有廣泛的應(yīng)用[1-5]。

通常情況下，要提高頻譜分辨率，常采用快速傅里葉變換的方法來分析信號(hào)的頻譜。由頻率分辨率公式可知，要提高頻率分辨率，可采用增加采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，或降低采樣頻率。當(dāng)采樣頻率一定時(shí)，要提高頻率分辨率就要增加采樣點(diǎn)數(shù)，但這樣會(huì)使數(shù)據(jù)量和存儲(chǔ)空間迅速增加，增加了計(jì)算量;而后者受到采樣定理的限制，降低采樣頻率有一定的限度，但頻率細(xì)化快速傅里葉變換算法可以滿足這樣的要求。所謂的頻率細(xì)化技術(shù)是一種一定頻率范圍內(nèi)能提高頻率分辨率的測(cè)量技術(shù)。文中通過復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化技術(shù)，對(duì)低頻電磁信號(hào)進(jìn)行細(xì)化。在Matlab環(huán)境下分別對(duì)低頻的理論電磁信號(hào)和實(shí)際信號(hào)仿真，并與線性調(diào)頻Z變換仿真結(jié)果進(jìn)行比較，得到在低頻電磁信號(hào)中頻率細(xì)化的特點(diǎn)，證明該方法的有效性和可行性。

1 復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化(ZFFT)方法

1.1 復(fù)調(diào)制(ZOOMFFT)細(xì)化方法的基本原理

復(fù)調(diào)制細(xì)化方法(ZFFT)能以指定的、足夠高的采樣頻率分析頻率軸上任一窄帶內(nèi)信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)，在序列變換點(diǎn)數(shù)相同的條件下，ZFFT可以得到較高的頻率分辨率;而當(dāng)頻率分辨率相同時(shí)，ZFFT與常規(guī)的快速傅里葉變換相比則需要更少的變換點(diǎn)數(shù)。

圖1 ZFFT原理框圖

設(shè)一個(gè)模擬信號(hào)為x(t)，經(jīng)過抗混濾波器、A/D轉(zhuǎn)換后得到采樣時(shí)間序列x(n)，n=0，1，…，N-1，采樣頻率為fs;要細(xì)化的頻帶為f1～f2，細(xì)化頻帶的中心頻率為f0;細(xì)化倍數(shù)為D;N為FFT分析的點(diǎn)數(shù)，其過程如下:

(1)復(fù)調(diào)制移頻[1-2]。將信號(hào)頻域坐標(biāo)向左或向右移，將被觀察頻段的起點(diǎn)作為頻域坐標(biāo)的零頻位置。即用因子exp(-j2πnf0/fs)乘以離散信號(hào)x(n)來實(shí)現(xiàn)復(fù)調(diào)制，將細(xì)化頻帶的中心頻率移至頻率軸的零頻位置，得到結(jié)果

(2)通過數(shù)字低通濾波器。在重新采樣的情況下，為確保不發(fā)生頻譜混疊，則需要進(jìn)行抗混疊濾波，濾除所需頻段的信號(hào)。設(shè)D為頻率細(xì)化倍數(shù)，此時(shí)fN=fs/2D為低通濾波器的截止頻率。

(3)對(duì)信號(hào)進(jìn)行再次采樣。信號(hào)的頻譜經(jīng)移頻和低通濾波后，所要分析信號(hào)的頻帶變窄，這樣就能得到較低的采樣頻率fs0=fs/D，從而對(duì)信號(hào)進(jìn)行重采樣。

(4)對(duì)信號(hào)進(jìn)行FFT處理[6]。對(duì)重新采樣后的N點(diǎn)序列進(jìn)行FFT處理，得到N條譜線，其頻率分辨率為Δf0=fs0/N=fs/ND=Δf/D，可以看到頻率分辨率提高了D倍。

(5)頻譜調(diào)整。將細(xì)化后的譜線移到實(shí)際頻率處，這樣可以得到細(xì)化后的頻譜。第(4)步得到的頻譜為YN(k)，最終的細(xì)化頻譜為X(k)。

1.2 流程圖

根據(jù)復(fù)調(diào)制細(xì)化的原理，得到復(fù)調(diào)制細(xì)化的流程圖，如圖2所示。

圖2 流程圖

在流程圖的基礎(chǔ)上對(duì)復(fù)調(diào)制細(xì)化進(jìn)行編程，得到實(shí)現(xiàn)程序。然后通過Matlab對(duì)信號(hào)進(jìn)行仿真，同時(shí)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析[7]。

2 復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化的Matlab實(shí)現(xiàn)

2.1 模擬低頻電磁信號(hào)

給出一個(gè)模擬信號(hào)，針對(duì)復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化方法進(jìn)行仿真模擬。設(shè)x(t)由f1=95 Hz和f2=95.5 Hz兩個(gè)頻率組成，振幅為A1=2和A2=1的兩個(gè)正弦信號(hào)組成。

采樣頻率1 024 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)1 024，放大倍數(shù)為10。對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行采樣，則頻譜的分辨率Δf=fs/N=1 024/1 024=1 Hz，而 f2-f1=0.5 Hz，因此要把這兩個(gè)頻率分辨開就需進(jìn)行頻率細(xì)化，將頻譜在94～96 Hz的范圍內(nèi)細(xì)化D=10倍。

針對(duì)低頻電磁信號(hào)細(xì)化的實(shí)際需求設(shè)計(jì)了一個(gè)低通濾波器，如圖3所示。

圖3 濾波器測(cè)試界面

為了在重新采樣的情況下，保證頻譜不發(fā)生混疊，將信號(hào)通過設(shè)計(jì)的低通濾波器，濾掉高頻成分，得到要細(xì)化的頻段，對(duì)其進(jìn)行復(fù)調(diào)制細(xì)化，從而使細(xì)化結(jié)果更準(zhǔn)確[2]。

2.2 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行復(fù)調(diào)制細(xì)化仿真

2.2.1 信號(hào)的時(shí)域圖和頻譜圖

在Matlab中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖4，圖5所示。

圖4 信號(hào)的時(shí)域波形圖

圖5 信號(hào)的頻譜圖

從圖5中可以看出兩個(gè)頻率的頻譜是重疊在一起的，無法區(qū)分。

2.2.2 信號(hào)重新抽樣

對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行移頻，移到零頻位置對(duì)其重新抽樣。

從圖7中可以看到，經(jīng)重新采樣后，對(duì)其進(jìn)行快速傅里葉變換，在零頻位置已將混疊在一起的兩個(gè)頻率的頻譜區(qū)分開，達(dá)到細(xì)化的目的。

2.2.3 將頻譜恢復(fù)到原始位置

圖4～圖8反映了復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化的細(xì)化過程，通過仿真過程，看到了頻率細(xì)化是有效、可行的。將兩個(gè)混疊的頻譜區(qū)分開來，而且過程非常明晰[3]。

圖8 恢復(fù)原位置的細(xì)化譜

2.3 線性調(diào)頻CZT的仿真結(jié)果

對(duì)同一信號(hào)進(jìn)行線性調(diào)頻Z變換，其細(xì)化結(jié)果如圖9，圖10所示。

如圖9和圖10所示，經(jīng)過CZT細(xì)化后，這兩個(gè)頻率的頻譜依然重疊在一起[6]。

2.4 仿真結(jié)果比較

2.4.1 比較結(jié)果

仿真得到的測(cè)量數(shù)據(jù)與信號(hào)的理論值進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)與信號(hào)理論值的仿真比較結(jié)果

表1所示，CZT仿真得到的實(shí)際數(shù)據(jù)與理論值的誤差較大，而ZFFT所得到的誤差相對(duì)較小，即ZFFT得到的結(jié)果更接近原始值。

2.4.2 計(jì)算時(shí)間比較

表2 計(jì)算時(shí)間仿真結(jié)果比較

表2給出了兩種方法計(jì)算時(shí)間的比較，隨著放大倍數(shù)的增加，對(duì)ZFFT的運(yùn)算時(shí)間影響不大，而線性調(diào)頻Z變換算法的計(jì)算時(shí)間隨放大倍數(shù)變大而增加。

2.4.3 計(jì)算量的比較

(1)復(fù)調(diào)制:設(shè)頻率分辨率Δf=fs/N。細(xì)化倍數(shù)D=Δf/Δf0，在獲得Δf0的分辨率后，在復(fù)調(diào)制時(shí)，調(diào)制系數(shù)的計(jì)算則需要N次復(fù)數(shù)乘法，對(duì)重采樣的N個(gè)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，移頻時(shí)需要N點(diǎn)復(fù)數(shù)乘法，由計(jì)算公式可知，N點(diǎn)FFT運(yùn)算量為這里數(shù)字濾波器的階數(shù)為M，在計(jì)算濾波器系數(shù)時(shí)，同時(shí)需要N×2M次復(fù)數(shù)乘法。這樣可知復(fù)調(diào)制細(xì)化所需的運(yùn)算量大概為次復(fù)數(shù)乘法。當(dāng)細(xì)化倍數(shù)變大，復(fù)調(diào)制的計(jì)算量也會(huì)大幅增加。

(2)線性調(diào)頻Z變換:采樣點(diǎn)數(shù)為 N ，作譜線數(shù)M，這種方法大約需要3N點(diǎn)復(fù)指數(shù)運(yùn)算和2N+M+1.5(N+M-1)log2(N+M-1)點(diǎn)復(fù)數(shù)乘法[1]。

3 實(shí)際低頻電磁信號(hào)的Matlab仿真

這里錄制了一個(gè)聲音信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化，仿真結(jié)果如下圖所示。

通過這樣一個(gè)實(shí)際低頻電磁信號(hào)的仿真結(jié)果，可以清晰地看到，為得到某一頻段的精細(xì)結(jié)構(gòu)，通過復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化可以實(shí)現(xiàn)，說明復(fù)調(diào)制細(xì)化在低頻電磁信號(hào)中實(shí)現(xiàn)頻譜的細(xì)化是可行、有效的。復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化對(duì)低頻電磁信號(hào)的研究意義重大[9]。

4 復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化方法的特點(diǎn)

通過大量的仿真結(jié)果，從多方面進(jìn)行比較，得到低頻電磁信號(hào)中復(fù)調(diào)制細(xì)化算法的特點(diǎn):

(1)當(dāng)?shù)皖l電磁信號(hào)的頻譜發(fā)生嚴(yán)重的頻譜干涉時(shí)，此時(shí)在采樣點(diǎn)數(shù)、窗函數(shù)和采樣頻率不變的條件下，ZFFT則能將密集頻率成分中的不同頻率一次性區(qū)分出來。

(2)由ZFFT法的原理可知，其是經(jīng)過復(fù)調(diào)制、低通濾波、抽取采樣實(shí)現(xiàn)的，一般用在細(xì)化倍數(shù)較低的場(chǎng)合，同時(shí)適用于高頻率分辨率，變換點(diǎn)數(shù)較少的場(chǎng)合以及高頻率分析范圍。

(3)由復(fù)調(diào)制細(xì)化方法的步驟可知，其中間結(jié)果數(shù)據(jù)多，難以實(shí)時(shí)處理，在存放中間數(shù)據(jù)時(shí)，占用了內(nèi)存空間，從而限制了最大細(xì)化倍數(shù)。

(4)低通濾波器濾掉了FH后面的高頻部分，且移頻時(shí)fL前面的頻譜移到了頻域的負(fù)軸上，由此可以看出復(fù)調(diào)制細(xì)化只適合進(jìn)行一窄段頻率的細(xì)化，而不能進(jìn)行整個(gè)頻段細(xì)化。

(5)對(duì)于信號(hào)產(chǎn)生的柵欄效應(yīng)，復(fù)調(diào)制細(xì)化不能將混疊的頻譜區(qū)分開，達(dá)到細(xì)化的目的。

5 結(jié)束語

介紹了低頻電磁信號(hào)的頻率細(xì)化技術(shù)以及復(fù)調(diào)制細(xì)化方法的基本原理，通過復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化方法對(duì)理論的低頻電磁信號(hào)進(jìn)行仿真，得到了復(fù)調(diào)制頻率細(xì)化方法在低頻電磁信號(hào)的特點(diǎn)，用實(shí)際信號(hào)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，證明這種方法有效、可行。

[1]胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理—理論、算法與實(shí)現(xiàn)[M].北京:清華大學(xué)出版社，1997.

[2]張學(xué)智.數(shù)字信號(hào)處理[M].北京:兵器工業(yè)出版社，2006.

[3]張森，張正亮.Matlab仿真技術(shù)與實(shí)例應(yīng)用教程[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

[4]MASSIMO A，ANTONIO C，SALVATORE N.A PC based instrument for harmonics and interharmonics measurement in power supply systems[J].Measurement，2004，35(4):371-380.

[5]王祥書.大地電阻率在超低頻/極低頻電波傳播技術(shù)中的作用[J].地震地質(zhì)，2001，23(4):574-580.

[6]項(xiàng)春，董浩，周敏.基于頻譜校正理論的全息譜研究[J].煤礦機(jī)械，2007(6):55-58.

[7]丁康，謝明，張彼德，等.基于復(fù)解析帶通濾波器的復(fù)調(diào)制細(xì)化譜分析原理和方法[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2001，14(1):30-35.

[8]MASSIMO A，ANTONIO C，NUNCIO S A.Chirp-Z transform based synchronizer for power system measurements[C].USA:IEEE Transaction on Instrumentation and Measurement Technology Conference，2002:1523-1527.

[9]SANGEETHAPRIYA S，PRABHAKAR M.Harmonic detection using wavelet transform[C].Canada:Proceedings of International Joint Conference on Neural Networks Montreal，2005:2228-2231.