楊秀菊 王曉波

1.山東省平原縣電業(yè)公司 山東 平原 253100

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0 引言

電力系統(tǒng)潮流計(jì)算［1］是研究電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況的一種基本且重要的電氣計(jì)算，是電力系統(tǒng)分析與控制學(xué)科領(lǐng)域的基礎(chǔ)。潮流計(jì)算的任務(wù)是根據(jù)給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及運(yùn)行條件，求出整個網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行狀態(tài)，其中包括各母線的電壓、網(wǎng)絡(luò)中的功率分布以及功率損耗等。

潮流計(jì)算按電壓等級主要分為輸電系統(tǒng)潮流和配電系統(tǒng)潮流。輸電系統(tǒng)潮流計(jì)算的研究經(jīng)歷漫長的研究歷程，可以說目前已經(jīng)相當(dāng)成熟并得到廣泛應(yīng)用［2-3］，如牛頓法、基于牛頓法簡化的PQ分解法被公認(rèn)是最優(yōu)秀的方法。然而，配電系統(tǒng)潮流計(jì)算的研究是上世紀(jì)80年代后開始的，近來由于配電自動化的逐步興起使配電潮流計(jì)算的研究越來越顯得特別重要。配電系統(tǒng)的特點(diǎn)是：電壓等級低、電流數(shù)值大、傳輸損耗大等，從而配電元件的r/x比較輸電元件要大，同時要求配電網(wǎng)應(yīng)按環(huán)網(wǎng)設(shè)計(jì)（可靠、安全的要求）開環(huán)運(yùn)行（防止電磁環(huán)）。配電網(wǎng)自身的特殊性使原有分析輸電系統(tǒng)的算法難以直接應(yīng)用［4］，由此，近年來電力工程界的學(xué)者們對配電系統(tǒng)潮流計(jì)算進(jìn)行大量研究［5-6］，總體上分成兩大類：一是根據(jù)KCL和KVL的遞推算法；二是尋求同輸電系統(tǒng)一樣的統(tǒng)一算法。前者算法與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有極強(qiáng)的關(guān)系使其在應(yīng)用中缺乏靈活性；后者涉及算法收斂改進(jìn)但在應(yīng)用中具有較好的靈活性。本文依據(jù)后者的思想，根據(jù)前人的研究工作，由基本電工原理出發(fā)，導(dǎo)出配電網(wǎng)的潮流方程；根據(jù)配電網(wǎng)的特點(diǎn)，分析配電網(wǎng)潮流方程與網(wǎng)絡(luò)拓樸的關(guān)系；根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行的物理特點(diǎn)，簡化配電網(wǎng)潮流修正方程中的雅可比矩陣，在充分利用放射網(wǎng)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，給出基于牛頓法的配電網(wǎng)絡(luò)潮流計(jì)算的簡捷迭代格式。算例分析表明此方法有較好的適應(yīng)性。

1 電網(wǎng)絡(luò)的基本方程

對于一個線性、時不變RLC交流電路，基本的網(wǎng)絡(luò)方程可表示如下：

由歐姆定律，網(wǎng)絡(luò)支路電壓與支路電流的關(guān)系為：

其中Yb網(wǎng)絡(luò)支路導(dǎo)納矩陣。

由KCL，節(jié)點(diǎn)注入電流與支路電流的關(guān)系為：

其中A為節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣

由KVL獨(dú)立閉合回路與支路電壓的關(guān)系為：

其中B為回路支路關(guān)聯(lián)矩陣 （見圖1中示意的兩個閉合回路）。

圖1 放射狀網(wǎng)絡(luò)

同樣道理，根據(jù)圖1所示和式（3），支路電壓與節(jié)點(diǎn)電壓之間的關(guān)系可以表示為：

這樣，由式（1）、式（2）和式（4）經(jīng)簡單推導(dǎo)可以得到：

其中AYbAT為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。對于放射狀網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過一定的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)排序，節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)陣 一定能表示成上三角或下三角的形式，這一特點(diǎn)對本文尤為重要。

2 牛頓法的特點(diǎn)

由于求解速度快和二次收斂等特點(diǎn)使牛頓法在解非線性方程組中得到廣泛應(yīng)用［7］。牛頓法是從某一初始點(diǎn)開始，通過對非線性方程組逐次線性化，進(jìn)而求解修正線性方程組J·ΔX=Δb的過程。可見初始點(diǎn)的選取、系數(shù)矩陣J（也稱為雅可比陣）的特性往往決定牛頓法是否有效。如下方程組：

準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)第九位的解為：X1=0.250001875，X2=0.499998749。若用四位浮點(diǎn)十進(jìn)制數(shù)（仿機(jī)器實(shí)際運(yùn)算），按高斯消去法求解，則有：

對發(fā)電機(jī)進(jìn)行模態(tài)仿真分析，首先對發(fā)電機(jī)主要部件進(jìn)行固有頻率仿真分析，其次對發(fā)電機(jī)在使用剛度為10 kN/mm的彈性支撐下進(jìn)行模態(tài)分析，最后對發(fā)電機(jī)在使用剛度為12 kN/mm的彈性支撐下進(jìn)行模態(tài)分析。模態(tài)分析時軸承剛度輸入條件如表2所示。

回代解得：X2=0.5000，X1=0，顯然嚴(yán)重失真。造成這種結(jié)果的原因，就是小主元的出現(xiàn)，即方程組系數(shù)陣失去了對角優(yōu)勢。用小主元作除數(shù)引入了大的舍入誤差，再經(jīng)傳播，誤差變得更大。因此，對于牛頓法來說，不是所有問題都是普遍適應(yīng)的。實(shí)踐證明，對于輸電系統(tǒng)的潮流計(jì)算，牛頓法及快速解耦法是一種行之有效的方法，但對于配電網(wǎng)卻不然。由此，針對配電網(wǎng)，人們提出多種非牛頓類型的配電潮流計(jì)算方法，例如前推回推法。這種方法之所以很好的解決了配電網(wǎng)絡(luò)中牛頓法所遇到的問題是因?yàn)樗腔诰W(wǎng)絡(luò)理論的一種直接求解結(jié)構(gòu)的方式，避開了求解修正方程的過程。然而，很難將這些方法靈活擴(kuò)展到其他領(lǐng)域，例如狀態(tài)估計(jì)、最優(yōu)潮流等。因此，在配電網(wǎng)潮流計(jì)算中，尋求一種類似輸電系統(tǒng)的統(tǒng)一潮流計(jì)算方法就顯得特別重要。

針對牛頓法在配電潮流計(jì)算中遇到的問題，如果能有效解決雅克比矩陣的魯棒性問題以及狀態(tài)變量修正量的計(jì)算，得到同輸電系統(tǒng)類似的潮流計(jì)算格式就不困難了，下節(jié)將集中闡述這個問題。

3 放射狀配電網(wǎng)潮流計(jì)算的牛頓法

在牛頓法解潮流方法中，其修正方程可表示如下：

其中：Δθ，ΔV/V分別為節(jié)點(diǎn)電壓的相角及幅值修正量的列向量，ΔP，ΔQ分別為節(jié)點(diǎn)注入有功、無功修正量的列向量，雅可比矩陣元素描述如下：

因?yàn)樵谂潆娋W(wǎng)中，配電元件傳輸潮流不大，節(jié)點(diǎn)間的相位差很小，在修正方程中令sinθ=0；再假設(shè)并聯(lián)支路用等值注入功率表示。在這種條件下，式（7）～（14）就可以簡化為：

式（15）～（22）表明，矩陣 H、N、J和 L 和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣一樣都具有同樣的性質(zhì)（對稱性，稀疏性）。因此可以得到：

其中，DB和 DG為對角元分別為 ViVjBijcosθij和ViVjGijcosθij的對角矩陣。因此，（6）式可以被重新寫為：

則式（25）可以寫成：

注意，如果節(jié)點(diǎn)和支路被恰當(dāng)?shù)匾?guī)定，An-1就是一個對角元為1而非對角元為-1的上三角矩陣。得到這樣An-1的一種方法就是按照遠(yuǎn)離根節(jié)點(diǎn)（源總線）的層來規(guī)定支路。每個支路的方向都是指向根節(jié)點(diǎn)。規(guī)定支路的同時規(guī)定節(jié)點(diǎn)。支路的起始節(jié)點(diǎn)號同支路號相同，如圖2所示。圖2的節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)式（30）。

圖2 一個簡單的配電系統(tǒng)

到這里，雅克比矩陣就以UDUT的形式出現(xiàn)，其中，U是一個由系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定的連續(xù)上三角矩陣，D是一個分塊對角矩陣。

再作變換：

這樣，形成雅可比矩陣、LU分解的步驟可以被（31）、（32）直接的前代后代所代替。

由（29）式可以看出放射裝配電網(wǎng)潮流計(jì)算的修正牛頓法是以這樣的方式被推導(dǎo)出來的，在這種方式中，雅可比矩陣是以UDUT的形式出現(xiàn)，其中，U是一個由系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定的連續(xù)上三角矩陣，D是一個分塊對角矩陣。通過這種方法，傳統(tǒng)的形成雅可比矩陣、LU分解的步驟可以被直接的前代后代所代替。這樣，在計(jì)算過程中和雅可比矩陣以及它的LU因子有關(guān)的病態(tài)情況就可以避免。這一算法根源于傳統(tǒng)牛頓法，人們多年來應(yīng)用牛頓-拉夫遜法的經(jīng)驗(yàn)可同樣適用于配電網(wǎng)中。例如可進(jìn)行潮流優(yōu)化、狀態(tài)估計(jì)等。

本文算法用C語言編寫［8］，圖3為算法的流程圖。

圖3 改進(jìn)牛頓法的流程圖

4 算例

以九節(jié)點(diǎn)為例，同前推回推法作比較，如圖9所示。

圖4 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)圖

其中，0～8 為改進(jìn)牛頓法對節(jié)點(diǎn)編號，①～⑨為前推回推對網(wǎng)絡(luò)的編號。表1為系統(tǒng)參數(shù)：

表1 系統(tǒng)參數(shù)

算法的收斂判據(jù)為0.001，其中，改進(jìn)的牛頓法迭代三次，前推回推法迭代一次，其結(jié)果比較如表2：

表2 計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)論

本文闡述放射狀配電網(wǎng)絡(luò)潮流計(jì)算的牛頓法。推導(dǎo)表明，通過合理化簡，放射狀系統(tǒng)的雅可比矩陣可以成為UDUT的形式，并且這種形式和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣具有同樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)自身構(gòu)成修正方程前代回代的條件，免去因子分解的過程，增強(qiáng)了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，具有較好的應(yīng)用前景和開發(fā)潛力。

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