張少偉,楊勤科2,,陸廣勇

(1.中國科學(xué)院水利部水土保持研究所,陜西楊凌712100;2.西北大學(xué)城市與環(huán)境學(xué)院,西安710069)

在水文徑流、土壤侵蝕和污染遷移模型預(yù)測中使用高時間分辨率的降雨強(qiáng)度數(shù)據(jù)可以大幅提高模型的動態(tài)預(yù)測能力[1-2],然而我國大多數(shù)氣象站點僅提供日降雨觀測數(shù)據(jù),時間間隔更小的雨強(qiáng)數(shù)據(jù)難以獲得,因此如何使用現(xiàn)有的氣象觀測數(shù)據(jù)來估計出應(yīng)用中適用的雨強(qiáng)數(shù)據(jù)就顯得十分重要。Kandel等指出使用2 min間隔的雨強(qiáng)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行土壤侵蝕模擬的有效系數(shù)為0.8,而使用日降雨則僅僅為0.26,直接使用日降雨數(shù)據(jù)的模擬結(jié)果不佳是由于時間的平滑作用[3]。由于連續(xù)觀測的雨強(qiáng)數(shù)據(jù)難以獲得,雨強(qiáng)隨時間分布研究作為一種改善降雨數(shù)據(jù)質(zhì)量的折中方式應(yīng)運(yùn)而生[4],它通過使用現(xiàn)有的理論統(tǒng)計分布函數(shù)對雨強(qiáng)的時間分布進(jìn)行描述,獲得特定地區(qū)雨強(qiáng)統(tǒng)計分布曲線。雨強(qiáng)分布研究起源于降雨分解研究,通過對雨強(qiáng)統(tǒng)計分布的隨機(jī)分解實現(xiàn)了大量隨機(jī)天氣發(fā)生器,另外雨強(qiáng)分布也可以通過轉(zhuǎn)化直接應(yīng)用于預(yù)測模型[3]。國內(nèi)研究主要集中于降雨強(qiáng)度的應(yīng)用方面,典型研究有謝云利用雨強(qiáng)進(jìn)行降雨侵蝕力和降雨特征及其區(qū)域分異的研究[5-6],而如何表現(xiàn)雨強(qiáng)理論分布形態(tài)的研究鮮有發(fā)表。本文將以陜北地區(qū)兩個典型氣象站點長時期降雨強(qiáng)度累計資料為基礎(chǔ)數(shù)據(jù),探討該區(qū)域小時雨強(qiáng)在月時間尺度上的理論分布方式,本研究對于改進(jìn)和完善區(qū)域土壤侵蝕定量評價技術(shù)具有重要意義。

1 研究方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

本文選擇綏德站和延安站分別代表黃土丘陵I副區(qū)和黃土丘陵II副區(qū)進(jìn)行研究。該區(qū)屬于中溫帶干旱大陸性季風(fēng)氣候,降雨少且不勻,夏季多雨,冬季受干燥少雨,降雨主要集中在5-9月時段,4月和11月只有少數(shù)年份有降雨,其它月份幾乎沒有降雨。本文使用的降雨觀測數(shù)據(jù)為延安、綏德兩氣象站點的逐日小時降雨觀測資料,來自陜西省降水強(qiáng)度數(shù)據(jù)集,每日的觀測從20:00開始,1961-2000年共40 a的連續(xù)觀測。

為了能夠進(jìn)行月雨強(qiáng)樣本的數(shù)值計算,選取3個條件對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選:(1)整個月份的降雨記錄完整無缺;(2)參照Anderson在日雨強(qiáng)分布的研究,本文選擇小時雨強(qiáng)大于閾值(1.0 mm/h)的降雨用于月雨強(qiáng)分布估計,這樣可以消除較小的雨強(qiáng)數(shù)據(jù)觀測本身的誤差,另外水文和土壤侵蝕研究中也更關(guān)心較大的降雨強(qiáng)度;(3)由于參數(shù)估計方法的數(shù)學(xué)限制,月內(nèi)降雨的小時數(shù)必須不少于4個[7]。根據(jù)上述條件進(jìn)行數(shù)據(jù)篩選后,獲得可用于月降雨強(qiáng)度分布擬合的月份樣本,延安站樣本226個,綏德站190個。

1.2 理論分布函數(shù)

本文將使用7種不同的理論分布函數(shù)對月雨強(qiáng)分布進(jìn)行描述,并評價其適合程度,7種理論分布函數(shù)的簡稱、全稱見表1,各種分布函數(shù)需要的參數(shù)個數(shù)在括號中標(biāo)出。指數(shù)分布僅有一個參數(shù),通用極值分布參數(shù)為3個,其他分布均為兩個參數(shù),帶有星號的理論分布函數(shù)為3種極值分布類型。陜北地區(qū)降雨常出現(xiàn)短時暴雨,強(qiáng)降雨對土壤侵蝕的作用巨大,而極值分布常用于描述數(shù)據(jù)中的極端值,因此特別將3種極值分布包含在內(nèi)。

表1 理論分布函數(shù)

1.3 參數(shù)估計方法

目前進(jìn)行參數(shù)估計的方法有矩估計法、最小二乘法和最大似然法等。最大似然法利用樣本的聯(lián)合密度函數(shù)達(dá)到最大進(jìn)行參數(shù)估計,與理論分布函數(shù)的形式聯(lián)系更加緊密。前兩種方法在降雨分布研究中有應(yīng)用,如Anderson等在澳大利亞日降雨分布研究中使用了矩估計法進(jìn)行參數(shù)擬合[4],Ming Li在尼迫爾的研究中采用了最小二乘法[8],但一般而言矩估計法多用于大樣本的參數(shù)估計,最小二乘法則多用于線性回歸的參數(shù)估計,因此本文采用的最大似然法進(jìn)行參數(shù)估計,其進(jìn)行參數(shù)估計的根據(jù)是最大似然函數(shù)值最大。

1.4 理論降雨強(qiáng)度序列

經(jīng)過參數(shù)估計并帶入理論分布函數(shù)的數(shù)學(xué)形式,即可得到完整的月降雨強(qiáng)度理論分布函數(shù),該函數(shù)有概率密度函數(shù)和累計分布函數(shù)兩種形式。累計分布函數(shù)形式用來描述小于變量的值出現(xiàn)的概率之和,其反函數(shù)被稱為反累計分布函數(shù)。將降雨量總和作為約束條件,在理論分布函數(shù)上按一定規(guī)則進(jìn)行采樣即得到理論估計的降雨強(qiáng)度。本文重點在于探討適用于陜北月雨強(qiáng)分布的理論函數(shù),采樣規(guī)則利用觀測雨強(qiáng)序列的超越概率(Probability Of Exceedance),首先將月降雨強(qiáng)度序列進(jìn)行排序,對應(yīng)有效降雨強(qiáng)度(P1≤P2≤…≤Pi),第i個雨強(qiáng)在理論分布函數(shù)上對應(yīng)有超越概率xi,Cunnane的研究中將超越概率的計算方法定義為[9]:

式中:m——有效降雨強(qiáng)度數(shù)值的個數(shù),將超越概率xi代入反累積分布函數(shù)即可得到對應(yīng)的估計雨強(qiáng)值,估計雨強(qiáng)集合即為理論降雨強(qiáng)度序列。

1.5 評價方法

本文對各種理論分布函數(shù)與降雨強(qiáng)度分布之間吻合度的評價有兩個方面,一是選擇有效系數(shù)作為定量標(biāo)準(zhǔn)評價理論分布和觀測月降雨之間的吻合程度,將樣本個數(shù)10%和50%分位數(shù)上的有效系數(shù)作為標(biāo)志。有效系數(shù)COE(Coefficient of Efficiency)用于評價兩個數(shù)據(jù)序列的差異大小,本文中用于表現(xiàn)月樣本的觀測降雨強(qiáng)度序列(Pi)和估計降雨強(qiáng)度序列(?Pi)之間差異的大小,COE計算方法為[10]:

式中:Pi ——觀測降雨強(qiáng)度的均值;m——當(dāng)月雨強(qiáng)序列中小時雨強(qiáng)的個數(shù),每個月降雨樣本可計算出一個有效系數(shù)。評價的另一方面是檢測理論分布函數(shù)對月降雨強(qiáng)度最大值的描述能力,用理論分布函數(shù)計算出的理論雨強(qiáng)峰值和觀測雨強(qiáng)峰值計算有效系數(shù)和決定系數(shù),決定系數(shù)代表觀測值和理論值之間相關(guān)性的大小,有效系數(shù)代表直接用理論值代表觀測值的有效性。

2 結(jié)果與分析

對延安、綏德兩站小時降雨數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,獲得兩站的月降雨的小時記錄,以月樣本作為研究對象進(jìn)行月雨強(qiáng)分布研究。陜北黃土高原地區(qū)冬季降雨稀少,40 a中符合數(shù)據(jù)篩選要求的月份主要集中在5-9月,綏德這5個月的平均降雨小時數(shù)為:9.7,13.9,21.3,22.8,21.7 h,延安站5個月的平均降雨小時數(shù)略大于綏德,分別是14.2,16.2,24.9,27.0,23.8 h。利用月降雨樣本結(jié)合最大似然法進(jìn)行參數(shù)估計,分別完成7種理論分布函數(shù)的參數(shù)擬合。

2.1 理論分布函數(shù)對月降雨強(qiáng)度分布的模擬

將理論降雨強(qiáng)度序列與月降雨觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,以觀測數(shù)據(jù)作為標(biāo)準(zhǔn)計算有效系數(shù)COE,從而評價各種理論分布函數(shù)對月降雨分布的描述和重現(xiàn)能力。當(dāng)月內(nèi)的有效降雨小于10 h時,GEV分布估計的降雨出現(xiàn)極大的偏差,其它6種理論分布函數(shù)的均方根誤差如圖1所示,可見LOGN、GAMA和WBL三種函數(shù)較好地再現(xiàn)了月降雨強(qiáng)度分布。

圖2為LOGN、GAMA和WBL在延安站COE值的分布,圖中標(biāo)出了樣本個數(shù)50%和10%分位數(shù)的位置。這3種理論分布與實測月降雨吻合最好,延安站分別有50%的月份COE值大于0.90,0.89,0.89,同時僅有10%的月份COE小于0.73,0.72,0.74;綏德站有50%的月份COE值大于0.88,0.86,0.87,同時僅有10%的樣本COE小于0.73,0.73,0.75?？梢?種理論分布函數(shù)對月雨強(qiáng)的整體描述能力相當(dāng),延安和綏德兩站的情況一致。

圖1 理論分布函數(shù)的RMSE

其他幾種理論分布函數(shù)中,EXP分布為單一參數(shù)的理論分布函數(shù),對月降雨分布的表達(dá)能力不佳,兩站均有20%左右的月份COE值小于0,因此認(rèn)為EXP分布不適用雨強(qiáng)分布統(tǒng)計。GP和GUMB分布的COE值優(yōu)于EXP分布,但仍出現(xiàn)部分負(fù)數(shù)。值得注意的是,COE值負(fù)數(shù)的月份有效降雨的小時數(shù)較少,這種情況下不利于理論分布函數(shù)的參數(shù)估計,可能是導(dǎo)致COE值負(fù)數(shù)的原因。GEV分布的COE值中出現(xiàn)個別非常大的負(fù)值(E5數(shù)量級以上),該分布為三參數(shù)理論分布函數(shù),除了均值和方差外還有一個形狀參數(shù)對其性質(zhì)起決定作用,忽略對形狀參數(shù)的約束導(dǎo)致該分布直接應(yīng)用于月雨強(qiáng)分布時出現(xiàn)個別極端值。

圖2 延安站不同理論函數(shù)分布的COE

2.2 理論分布函數(shù)對月最大降雨強(qiáng)度的模擬

降雨強(qiáng)度峰值是水文、土壤侵蝕等研究中需要考慮的重要因素[11],因此本文不僅考慮了理論分布函數(shù)對月降雨整體的模擬能力,同時將降雨強(qiáng)度峰值在理論分布函數(shù)上的表達(dá)和再現(xiàn)作為另一評價標(biāo)準(zhǔn)。文中降雨強(qiáng)度峰值即月雨強(qiáng)序列的最大值,根據(jù)月降雨強(qiáng)度峰值對應(yīng)的超越概率,可以計算累積分布函數(shù)對應(yīng)的理論雨強(qiáng)峰值,將各月降雨強(qiáng)度峰值和理論峰值繪制散點圖,并計算有效系數(shù)COE和決定系數(shù)R2,決定系數(shù)代表觀測值和理論值之間相關(guān)性的大小,有效系數(shù)代表直接用理論值表示觀測值的有效性。

GEV分布的有效系數(shù)COE和決定系數(shù)R2出現(xiàn)異常,其他6種理論分布的COE值和R2見表2,可見極值分布對月雨強(qiáng)峰值的模擬相當(dāng)好,特別是GUMB分布在兩個站點的雨強(qiáng)峰值COE值均達(dá)到0.85,決定系數(shù)達(dá)到0.98,對雨強(qiáng)極值模擬的適用性非常好。GP分布是另一種能有效表現(xiàn)雨強(qiáng)極值的理論分布函數(shù),但值得注意的是WBL分布雖然不及上述兩種理論分布對表現(xiàn)好,但對月雨強(qiáng)分布整體的模擬也有良好的效果,是一種適用于陜北月降雨分布模擬的理論函數(shù)。

由圖3可以看出,GP、WBL、GUMB三種理論分布函數(shù)對雨強(qiáng)極值的模擬效果良好,COE值均超過0.7,表現(xiàn)了直接用理論值來表達(dá)觀測雨強(qiáng)極值是可行的。但理論雨強(qiáng)峰值仍傾向于低估雨強(qiáng)峰值,多數(shù)的研究結(jié)果中也有類似的結(jié)論,即人為模擬極端降雨時偏向于低估其值,此三種理論分布函數(shù)多年平均的低估值依次為11%、17%和15%。值得注意的是理論值和觀測值之間有很強(qiáng)的線性關(guān)系,WBL分布決定系數(shù)值超過0.85,GP、GUMB分布超過0.95,因此有可能在特定站點用理論雨強(qiáng)峰值的線性變換來進(jìn)一步提高對觀測值的表達(dá)精度。

表2 雨強(qiáng)峰值有效系數(shù)COE與決定系數(shù)R2

圖3 延安站不同理論函數(shù)分布對最大降雨強(qiáng)度的估計

3 結(jié)論

(1)利用歷史降雨強(qiáng)度數(shù)據(jù),通過最大似然法進(jìn)行參數(shù)擬合,LOGN、GAMA和WBL三種理論分布函數(shù)能夠較好地再現(xiàn)月降雨強(qiáng)度分布。三種理論分布函數(shù)對月雨強(qiáng)的表現(xiàn)能力相當(dāng),LOGN分布略優(yōu)于其它兩種分布。

(2)降雨強(qiáng)度峰值是水文、土壤侵蝕研究中的重要參數(shù),GP、WBL、GUMB三種理論分布函數(shù)較好地再現(xiàn)了月降雨強(qiáng)度峰值,極值分布GUMB明顯強(qiáng)于其它理論分布函數(shù)。理論分布對降雨強(qiáng)度峰值有一定的低估,低估的范圍約15%左右,理論模擬的雨強(qiáng)峰值和觀測值有很好的線性關(guān)系。

(3)對陜北小時雨強(qiáng)在月時間尺度上的分布來說,WBL是一種有用的理論分布函數(shù),雖然其對月雨強(qiáng)分布和月雨強(qiáng)峰值的表現(xiàn)均不是最好,但作為一種極值分布,它同時對二者有較好的再現(xiàn)。在陜北氣候降雨條件下對月降雨強(qiáng)度分布進(jìn)行模擬時,WBL分布將是一種行之有效的理論分布函數(shù)。

通過月降雨強(qiáng)度理論分布研究,表明將WBL分布應(yīng)用于陜北黃土高原兩個典型氣象站點月雨強(qiáng)分布的表達(dá)有明顯優(yōu)勢,但在整個黃土高原上是否適用仍需要更多典型站點資料進(jìn)行驗證。另外通用極值分布GEV是一種被廣泛應(yīng)用的理論分布函數(shù),但本研究中未能成功對其形狀參數(shù)進(jìn)行約束,因此在研究中加入適用于月降雨分布的約束條件十分重要。最后,Kandel等研究中應(yīng)用了LOGN分布來表現(xiàn)日雨強(qiáng)分布,但本研究中該分布表現(xiàn)月雨強(qiáng)極值的效果不佳,在陜北的日雨強(qiáng)分布是否符合LOGN分布也有待進(jìn)一步研究。

[1] Koutsoyiannis D.Rainfall disaggregation methods:theory and applications[C].Workshop on Statistical and Mathematical M ethods for Hydrological Analysis,2003.

[2] Zhang X,Garbrecht J.Evaluation of Cligen Precipitation Parameters and Their Implication on Wepp Runoff and Erosion Prediction[J].Transactions of the ASAE,2002,46(2):311-320.

[3] Kandel D,Western A,Grayson R,et al.Process parameterization and temporal scaling in surface runoff and erosion modelling[J].Hydrological Processes,2004,18(8):1423-1446.

[4] Anderson B,Siriwardena L,Western A,et al.Which theoretical distribution function best fits measured within day rainfall distributions across Australia[C].30th Hydrology and Water Resources Symposium,2006.

[5] 謝云,林小鵑,殷水清,等.中國次雨量特征及其區(qū)域分異[J].地理學(xué)報,2009,64(3):323-330.

[6] 謝云,章文波.用日雨量和雨強(qiáng)計算降雨侵蝕力[J].水土保持通報,2001,21(6):53-56.

[7] Kirby W.Algebraic boundedness of sample statistics[J].Water Resources Research,1974,10(2):220-222.

[8] Li M,Shao Q,Renzullo L.Estimation and spatial interpolation of rainfall intensity distribution from the effective rate of precipitation[J].Stochastic Environmental Research and Risk Assessment,2010,24(1):117-130.

[9] Cunnane C.Unbiased plotting positions:a review[J].Journal of Hydrology,1978,37(3/4):205-222.

[10] Legates D,McCabe G Jr.Evaluating the use of‘goodness-of-fit'measures in hydrologic and hydroclimatic model validation[J].Water Resources Research,1999,35(1):233-241.

[11] Parsons A,Stone P.Effects of intra-storm variations in rainfall intensity on interrill runoff and erosion[J].Catena,2006,67(1):68-78.