李濤，張曉鋒，喬鳴忠

（海軍工程大學(xué) 電氣工程系，湖北 武漢 430033）

NPC逆變器特定諧波組消除法

李濤，張曉鋒，喬鳴忠

（海軍工程大學(xué) 電氣工程系，湖北 武漢 430033）

針對傳統(tǒng)特定諧波消除脈寬調(diào)制（SHEPWM）中所得觸發(fā)角與調(diào)制比的非線性關(guān)系以及非線性超越方程組的困難求解，指出了SHEPWM中非線性超越方程組解的幾何意義?；诖?，設(shè)計了基于脈寬的諧波消除方法，僅需引入一個變量便可對任一次及其整數(shù)倍次的一組諧波進(jìn)行消除。以5次組諧波和3次諧波消除為例，介紹了該方法在多個諧波消除中的應(yīng)用，并對該方法所具備的諧波線性消除能力進(jìn)行了分析。對所得結(jié)果進(jìn)行諧波分析，證明該方法正確有效。

特定諧波組消除；非線性方程；諧波線性消除；NPC逆變器

特定諧波消除PWM（SHE）可消除任意特定諧波，但引入的非線性超越方程組求解困難。對此，可采用Newton-Raphson法，但有效性依賴迭代初值［1］。為提高有效性，可采用解軌跡微分預(yù)估初值［2］、三角載波初值［3］或初值解經(jīng)驗(yàn)公式［4］等方法，但求解過程仍不確定。為提高確定性，可采用遺傳算法［5］或混沌蟻群算法［6］，也可基于局部函數(shù)擬合［7］或 Walsh變換［8］將非線性方程線性化。可見，非線性超越方程組為SHEPWM的根本研究對象。

本文將非線性超越方程組的解與圖形進(jìn)行聯(lián)系，指出了解的幾何意義。結(jié)合三電平逆變器結(jié)構(gòu)，設(shè)計出對某次及其整數(shù)倍次諧波（諧波組）進(jìn)行消除的精確方法，并基于該方法進(jìn)一步設(shè)計了以一定迭代計算次數(shù)獲得對應(yīng)精度、可消除一組和另外一次諧波的確定解法。通過對所得調(diào)制波進(jìn)行諧波分析，結(jié)果證實(shí)了該方法的有效性。

1 非線性超越方程組其解的圖形意義

1.1 信號形式及其傅立葉系數(shù)與圖形的對應(yīng)關(guān)系

周期信號可由傅立葉級數(shù)進(jìn)行描述。本文將研究對象限定為即是奇函數(shù)又是奇諧函數(shù)的周期信號，即1／4周期信號［9］，本文稱為奇奇諧信號，以消除余弦分量和偶次諧波分量［10］。

對任意頻率和幅值的三電平脈寬周期信號，不失一般性，弧度范圍取為［0，2π］，幅值取1，如圖1a所示。由于信號線性可加，左方信號等同右方方波信號減去兩組奇奇諧4脈沖信號（four pulse signal，PS4），如無特殊說明，下文所述PS4即為奇奇諧PS4。同理，任意調(diào)制比（modulation ratio，MR or md）下的脈寬信號可等同方波信號減去一系列PS4?；诖?，本文用一組PS4控制一個諧波，進(jìn)而消除該次及其整數(shù)倍次的諧波組（harmonic group，HG）。

圖1 信號分解與脈寬諧波Fig.1 Signal decomposition and pulse harmonic

對圖1b四分之一周期信號，［a1-d1，a1＋d1］上脈寬對應(yīng)的周期信號傅立葉系數(shù)為

其中，n為諧波次數(shù)，下標(biāo)1表示該值對應(yīng)第1組PS4，對方波信號，a1＝d1＝π／4，有f（nω）＝4／（nπ）。

由式（1）第3行，n次諧波幅值等于諧波函數(shù)在［a1-d1，a1＋d1］上的面積乘以4／（nπ），且該幅值與該范圍的諧波面積恒比為4／π。因此，一組PS4中各諧波幅值與其限定的諧波函數(shù)面積一一對應(yīng)。

1.2 方程組解的圖形意義

非線性超越方程組的解確定的脈寬輸出諧波幅值為零，即當(dāng)輸出波分解為方波與各PS4后，各PS4對應(yīng)式（1）第3行中的積分項(xiàng)之和為1。因此，只要某組角度限定范圍內(nèi)的諧波函數(shù)面積為1，則該組角度必為非線性超越方程組的解。

2 特定諧波組消除法（SHGE）

2.1 組消除法基本原理

由式（1），將各次諧波幅值除以方波中對應(yīng)次數(shù)諧波的幅值，有md取為輸出基波與方波所含基波的幅值之比

不失一般性，以3次HG（HG3）消除為例，令n3＝3（n3可同時視為任一奇數(shù)），則引入2組PS4便可控制基波大小并消除HG3。當(dāng)md由1連續(xù)下降，將包含2個階段，階段劃分與算法策略見2.3節(jié)。

1）諧波無法完全消除階段。該階段僅需引入一組以0為起點(diǎn)的PS4進(jìn)行調(diào)制，如圖2a所示，且a1＝d1，a1＋d1為待求觸發(fā)角，算法如下。

圖2 諧波消除階段示意圖Fig.2 Scheme for phases of harmonic elimination

令該P(yáng)S4基波分量為1-md，由式（2）并結(jié)合約束條件，有

解之得

當(dāng)a1＝d1＝0.5×0.5π／n3時該階段結(jié)束，有

其中，md1為該階段md下限。當(dāng)md＝md1，有

即當(dāng)md從1降至md1，PS4與方波信號中的n3次諧波首次完全抵消。

2）諧波完全消除階段。當(dāng)md降至該階段，為調(diào)整基波幅值并保持諧波消除狀態(tài)，需引入另一組PS4，如圖2b所示。其中a2＝0.5π／n3×2，即n3次諧波過零點(diǎn)，a1＝d1≡0.5×0.5π／n3，未知量僅為d2。令兩組PS4中基波總量為1-md，n3次諧波總量為1，由式（2），有

由1.2節(jié)，引入的第2組PS4與方波信號所含3次諧波分量相等，即有sin（n3a2）≡0。

代入已知條件，得

2.2 諧波組的消除狀態(tài)

對HG3所含諧波，圖2中PS4的奇奇諧特性使其僅含n3的奇數(shù)倍諧波，次數(shù)為n3＋2kn3，k＝1，2，…。當(dāng)md＝md1，HG3被完全消除，圖2下方左端脈寬與方波含等量n3次諧波。由于n3＋2kn3次諧波關(guān)于n3次諧波零幅值所在非零弧度點(diǎn)（如a2）奇對稱，故引入PS4的中心位置使該P(yáng)S4不含n3＋2kn3次諧波量。故當(dāng)md＜md1，各組PS4所含n3＋2kn3次諧波總量與方波相等，如圖1上方反向合成后，輸出波形將不含HG3。

2.3 諧波無法完全消除階段的角度選擇策略

諧波未完全消除時，隨md遞減，所選最優(yōu)策略應(yīng)使待消除諧波相對于基波衰減速度得到最快消除。結(jié)合諧波幅值與諧波函數(shù)面積積分的對應(yīng)關(guān)系以及圖1中信號分解的觀點(diǎn)，可由微積分原理確立最優(yōu)策略。

諧波衰退即其幅值減小，而幅值減小量等價于圖1bPS4限定的橫坐標(biāo)段與諧波函數(shù)曲線圍成的面積，如式（1）所示。同時，任意脈寬輸出中某次諧波幅值的減小量可視為在方波中減去一定量的某組PS4。因此問題歸納為：隨md遞減，從方波中一一減去某組寬度極窄的PS4，該極窄PS4將使待消除諧波相對基波衰減速度得到最快消除。極窄PS4可視為工程應(yīng)用中硬件限定的最窄輸出脈寬，本文視為寬度無窮小的固定PS4。對n3次諧波消除，若某處極窄PS4中n3次諧波幅值與基波幅值的比值大于其他極窄PS4，則從方波中減去該處PS4即為上述問題的解。因此，取極窄PS4所含n3次諧波幅值與基波幅值的比值為指標(biāo)，隨md遞減，從方波中一一減去該指標(biāo)由高至低的極窄PS4即為最優(yōu)選擇。

對圖1下部PS4，令a1-d1＝a，a1＋d1＝b＝a＋ε，ε為正無窮小。該P(yáng)S4中n3次諧波與基波基于式（2）的幅值分別為cos（n3a）-cos（n3b），cos（a）-cos（b），a，b∈［0，π／2］。設(shè)兩者比值為y，則

由于［0，0.5π／n3）、［0.5π／n3，π／3）和［π／3，π／2）內(nèi)都存在使極窄PS4限定的橫坐標(biāo)段與3次諧波函數(shù)所圍面積相等的a，而相應(yīng)區(qū)間上基波函數(shù)面積卻依次增大，故a∈［0，0.5π／n3）上的y值大于其他分區(qū)間。由式（10），y在［0，0.5π／n3）內(nèi)遞減。故在諧波無法完全消除階段，最優(yōu)策略應(yīng)引入一組如圖2上方滿足a1＝d1的PS4，隨md減小，不斷增加d1直至a1＋d1＝0.5π／n3。

2.4 單次諧波完全消除的臨界調(diào)制比

對任何諧波消除理論，若僅消除n次諧波，由2.3節(jié)最優(yōu)策略及式（4），可完全消除n次諧波階段對應(yīng)的最大md（即臨界值md0n）符合式（11），當(dāng)md＞md0n，n次諧波將無法消除。

3 次數(shù)互質(zhì)的兩種諧波消除

3.1 基本原理

基本原理可概括為：基于某次HG消除，同時消除次數(shù)與該次互質(zhì)的諧波。以HG5和3次諧波消除為例，見圖3。令n5＝5，n3，n5可同時視為任意兩種互質(zhì)的諧波次數(shù)。

圖3上部為n5次諧波組（HGn5）完全消除的臨界狀態(tài)；中部為HGn5完全消除、n3次諧波未完全消除狀態(tài)，有md∈（md03，md05］，且增加一組PS4調(diào)節(jié)基波大?。幌虏繛镠Gn5和n3次諧波完全消除狀態(tài)，為維持HGn5的完全消除狀態(tài)并消除n3次諧波而引入第3組PS4。

該諧波消除方式以消除HGn5為基礎(chǔ)，同時利用PS4的剩余調(diào)節(jié)能力消除其他次諧波。在區(qū)間（0，π／2）上，n次諧波過零點(diǎn)有（n-1）／2個。由于HGn消除中引入的PS4位于n次諧波過零點(diǎn)以不含HGn，相對于諧波無法完全消除階段，諧波完全消除階段將增加（n-1）／2組PS4，如HGn3增加1組，HGn5增加2組。同時，增加1組PS4可額外消除一個諧波，在HGn消除中，除一組PS4用于控制md，其他各組PS4可消除（n-3）／2個次數(shù)與n互質(zhì)且低于n的諧波，如HGn5消除，可消除1個與n5互質(zhì)且低于n5的諧波即n3次諧波。由于HGn消除法引入的PS4必須位于n次諧波過零點(diǎn)，而該過零點(diǎn)無法滿足次數(shù)與n互質(zhì)的HG消除的要求，因此對于互質(zhì)組，引入的PS4必增加互質(zhì)組中未被控制的諧波。由各次諧波過零點(diǎn)個數(shù)及md0n隨n的單調(diào)性，若基于低次HG消除高次諧波，為使低次HG得到最快消除，必在高次諧波可完全消除階段重現(xiàn)可消除的高次諧波。故基于某次HG消除去消除次數(shù)與該次互質(zhì)的諧波，應(yīng)基于高次HG消除且可消除（n-1）／2個較低次數(shù)的諧波。

因此，對n5次HG和n3次諧波進(jìn)行消除，觸發(fā)角共分為（n5＋1）／2個階段。

1）各諧波無法完全消除。變量分布如圖3a所示，具體計算參見式（4）及其相關(guān)結(jié)論，其中md下限為：md1＝cos（a1＋d1），a1＝d1＝0.5×0.5π／n5。

2）n5次（高次）HG完全消除n3次（低次）諧波未消除。變量分布如圖3b所示，各變量滿足

其中a1＝d1＝0.5×0.5π／n5，a2＝0.5π／n5×2，d2為待求變量。此階段md下限即md03，且有

由式（13）、式（14）可得d2和本階段md下限md2。

3）5次（高次）HG和3次（低次）諧波完全消除。變量分布如圖3c所示，各變量滿足

其中a1＝d1＝0.25π／n5，a2＝π／n5，a3＝2π／n5，d2，d3為待求變量。由于含2個未知量，上式為二階非線性超越方程組，可采用傳統(tǒng)SHEPWM中的相關(guān)算法進(jìn)行求解。然而，由式（15）第1等式，各PS4的寬度變量（如d3）在區(qū)間［0，π／2）內(nèi)，正弦函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增。因此PS4越寬，PS4中基波量越大，相應(yīng)md越小，即圖3中脈寬越寬，限定的角度范圍越大，范圍內(nèi)所含基波積分面積越大。利用該單調(diào)性，可采用二分法對式（15）進(jìn)行迭代求解。

圖3 5次組3次諧波消除階段Fig.3 Scheme for phases eliminated，3th and group 5th

3.2 迭代步驟與計算誤差

對n（奇）次HG消除，PS4位于n次諧波過零點(diǎn)，在（0，π／2）中為2k×0.5π／n，k＝1，2，…，（n-1）／2，脈寬范圍為［0，0.5π／n］。對確定的md，令d2＝d21＝（0＋0.5π／n）／2，下標(biāo)1代表第1次迭代。仍以5次HG和3次諧波消除為例，為消除3次諧波，最終解必滿足式（15）第2等式，將d21代入該式，得d31，再將d21，d31代入第1等式左方并與右方比較大小，若左方＞右方，由單調(diào)性，d2過大，取d2＝d22＝（0＋d21）／2，否則，取d2＝d22＝（d21＋0.5π／n）／2。在第m次迭代中，所得解與精確解的誤差err滿足

同時，由于d2初始值為式（14）確定的某個非零值，假設(shè)此值為d20，則第m次迭代所得解與精確解的誤差errm進(jìn)一步滿足

對于僅消除n（n＞3）次HG，只需一組PS4進(jìn)行控制，PS4中點(diǎn)可位于任一過零點(diǎn)，但為具有最少開關(guān)次數(shù)，增加的PS4應(yīng)能與已有PS4合并。如圖3c對5次HG的消除，應(yīng)先增加a2組，待a2組同a1組合并后，再依次增加右方毗鄰的一組PS4即a3組。

按以上計算原理可消除n次HG及次數(shù)低于n的一個諧波，并可根據(jù)所需弧度精度確定計算迭代次數(shù)。然而迭代計算仍具有較大的計算量，為減少計算量，可對基于該原理所得結(jié)果進(jìn)行線性擬合，這也是HG消除的另一重要特性，見第5節(jié)。

4 算法驗(yàn)證

4.1 3次諧波組消除

由2.1節(jié)所述方法進(jìn)行PWM，輸出脈寬中各諧波幅值同md的關(guān)系見圖4，橫坐標(biāo)為md，縱坐標(biāo)為各次諧波相對方波幅值為1時的幅值?？梢?，當(dāng)md大于式（6）也即md＞md03＝0.866，3次HG無法完全消除。在該階段，隨md遞減，由于采用2.3節(jié)最優(yōu)策略，各諧波在md03處被首次消除。當(dāng)md＜md03，3次HG保持完全消除狀態(tài)，其他諧波則處于波動狀態(tài)。

圖4 3次諧波消除時各諧波幅值Fig.4 Harmonic amplitude，group 3th eliminated

4.2 3次、5次組諧波消除

圖5 5次組和3次諧波消除時各諧波幅值Fig.5 Harmonic amplitude，group 5th，3theliminated

5 諧波線性消除

5.1 計算結(jié)果的線性分析

3.1節(jié)迭代運(yùn)算的最大脈寬值為0.5π／n5，圖6為［0，0.5π／n5］上的諧波函數(shù)?？梢姡搮^(qū)間內(nèi)基波函數(shù)十分接近線性函數(shù)，有sin（x）≈x。對于sin（n3x），由于弧度放大n3倍，取sin（n3x）≈n3x將使誤差隨弧度增加而顯著增大，但由最小二乘擬合，該函數(shù)線性特征仍十分明顯。因此，式（15）第2等式中未知量d2，d3代入該式第1等式后，將使變量同md也具有近似的線性關(guān)系。當(dāng)n5增大，低于n5次的諧波函數(shù)將隨波次遞減而具備更強(qiáng)的線性。

圖6 諧波函數(shù)線性示意圖Fig.6 Scheme of linearity of harmonic function

所得各脈寬隨md的變化見圖7，圖7中點(diǎn)線為10次迭代所得高精度離散脈寬值，與之幾乎完全重合的實(shí)線為各階段線性擬合線?？梢婋Smd遞增，PS4個數(shù)及各脈寬值遞減，在諧波消除的不同階段中，脈寬具有很好的線性變化規(guī)律。

圖7 3次、5次組諧波消除脈寬變化圖Fig.7 Pulsewidth variecy，group 5th，3theliminated

另外，若基于低次HG去消除高次諧波，由于高次諧波函數(shù)sin（mx）中mx∈［0，0.5π／n×m］，m＞n，諧波函數(shù)將為非單調(diào)函數(shù)，有明顯的非線性。故3.1節(jié)基于高次HG消除低次諧波的策略不但利于諧波消除，且利于最終結(jié)果的線性化。

5.2 諧波線性消除

由5.1節(jié)，可見HG消除法對脈寬觸發(fā)角具有線性調(diào)制的特點(diǎn)，可對結(jié)果進(jìn)行線性擬合并利用擬合函數(shù)代替觸發(fā)角度的迭代計算。對3.1節(jié)5次HG和3次諧波消除，有如下計算。

1）諧波無法完全消除。取a1＝d1＝π／20，得本階段md下限md1為

2）5次諧波組已消除且3次諧波未消除。取a1＝d1＝π／20，a2＝π／5，由式（14），得

代入式（13），得本階段md下限md2為

3）5次諧波組和3次諧波完全消除。取a2＝π／5，a3＝2a2，a1＝d1＝π／20。當(dāng)md∈［0，md2），有

由式（19）、式（22）與式（23）計算觸發(fā)角，所得輸出脈寬的諧波含量見圖8。圖8中虛線為迭代法輸出結(jié)果，實(shí)線為擬合公式輸出結(jié)果?？梢姡€性擬合公式可完全取代有限次迭代計算。因此，除在諧波無法完全消除階段采用一次反三角運(yùn)算，其余階段都可通過線性運(yùn)算以獲得各脈寬位置和脈寬寬度，進(jìn)而確定脈寬觸發(fā)角，無需迭代或非線性運(yùn)算，利于實(shí)時計算。

圖8 線性擬合前后諧波變化對照圖Fig.8 Pulsewidth variety，linear fitted／unfitted

6 結(jié)論

傳統(tǒng)SHEPWM基于n個觸發(fā)角控制n個諧波，消除n個諧波需n＋1個變量，使描述諧波的三角函數(shù)具有的非線性直接傳遞到觸發(fā)角同md的變化關(guān)系中。為計算觸發(fā)角，須進(jìn)行n＋1階非線性超越方程組的迭代求解。本文提出的SHGEPWM基于脈寬控制脈寬，通過一個觸發(fā)角變量描述的脈寬所蘊(yùn)含的一系列諧波對HGn進(jìn)行消除。若用于消除n個次數(shù)互質(zhì)的諧波，可基于高次HG消除低次諧波，通過對脈寬位置的合理限定，需求解的非線性超越方程降為n階。由于采用脈寬取代單觸發(fā)角進(jìn)行諧波消除，犧牲一定的脈寬數(shù)以利用脈寬所含各諧波函數(shù)非線性的相互遏制性，使最終所得觸發(fā)角隨md呈線性變化規(guī)律。通過離線求解非線性超越方程組，將所得觸發(fā)角隨md的變化規(guī)律進(jìn)行線性擬合，可實(shí)現(xiàn)諧波的線性消除。

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Selected Harmonic Group Elimination for NPC Inverters

LI Tao，ZHANG Xiao-feng，QIAO Ming-zhong

（DepartmentofElectricalEngineering，NavalUniversityofEngineering，Wuhan430033，Hubei，China）

Aims at the nonlinear relationship between trigger angles and modulation index derived by traditional SHEPWM as well as the difficulty to solve the nonlinear transcend equation group，the geometry meaning of the roots of nonlinear transcend equation group in SHEPWM was indicated.With this meaning，harmonic elimination methods based on pulse-width was derived.Only by using one variable，harmonic of certain frequency as well as frequency of integral times can be eliminated.By citing elimination of harmonic 3thand group 5th，the application of this method to multi-harmonic elimination was introduced.The abilities of this method to eliminate harmonic linearly was analyzed.The harmonic analysis of the results proves the validity and efficiency of this method.

selected harmonic group elimination（SHGE）；nonlinear equation；linear harmonic elimination；NPC inverter

TM464

A

國家自然科學(xué)基金（50277008）

李濤（1981-），男，博士研究生，Email：tao＿lyy＠yahoo.com.cn

2010-10-17