譚 君,陳尚云

(四川中水成勘院測繪工程有限責(zé)任公司,四川 成都 610072)

1 前 言

任何一個(gè)國家大地控制網(wǎng)的建立,都有一個(gè)歷史的發(fā)展過程。在不同的時(shí)期采用的參考橢球及定位方式都不會(huì)相同,并總是逐步完善和精密化,因此就存在不同精度等級大地網(wǎng)的轉(zhuǎn)換問題。以我們國家為例就有 1954年北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系以及現(xiàn)在推行的 2000國家大地坐標(biāo)系。

在工程建設(shè)中,也經(jīng)常存在不同坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換問題,如將國家坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為地方坐標(biāo)系或工程坐標(biāo)系的坐標(biāo)等等。

解決坐標(biāo)轉(zhuǎn)換有兩種方法,一是嚴(yán)密法,二是近似法。所謂嚴(yán)密法就是將舊的全部觀測值在新坐標(biāo)系中重新平差,算出各點(diǎn)的新坐標(biāo)值。本文介紹的近似法是在舊資料不足或其它工程急需的情況下采用的一種方法。近似法要求新舊網(wǎng)中必須有足夠的同名點(diǎn)用以解算新舊坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換參數(shù),當(dāng)同名點(diǎn)個(gè)數(shù)大于基本要求時(shí)采用最小二乘法求解。

2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型

坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型有正形變換模型、仿射變換模型和赫爾默特變換模型。

正形變換模型的數(shù)學(xué)公式如下:

實(shí)際應(yīng)用時(shí)計(jì)算至 P4、q4就可以了。由于每個(gè)重合點(diǎn)可以列兩個(gè)誤差方程,因此正形變換法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)最少需要 5個(gè)重合點(diǎn)。

仿射變換模型的數(shù)學(xué)公式如下:

赫爾默特變換模型的數(shù)學(xué)公式如下:

上述式中 X、Y表示新坐標(biāo)系中的坐標(biāo);x、y表示舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo);Pi、qi表示正形變換中的各個(gè)變換參數(shù);ai、bi、ci表示仿射變換中的各個(gè)變換參數(shù);A、B表示赫爾默特變換中新舊坐標(biāo)系之間的平移參數(shù);k表示赫爾默特變換中新舊坐標(biāo)系之間的縮放數(shù);α表示赫爾默特變換中新舊坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)角度。

3 程序編寫

現(xiàn)以正形變換為例敘述程序的編寫(本程序是在office-2003版 EXCEL電子表格中編寫和運(yùn)行)。

第一步:解求重心坐標(biāo),使用的函數(shù)為 AVERAGE(),把所有點(diǎn)的成果歸化為重心坐標(biāo)系的成果;

第二步:組成誤差方程,按照公式(1)、(2)每點(diǎn)組成兩個(gè)誤差方程;

第三步:組成法方程,按照最小二乘法的原理組成法方程;

第四步:解法方程,使用函數(shù) minVERSE()和MMULT();

第五步:求轉(zhuǎn)換點(diǎn)新坐標(biāo),使用函數(shù) MINVERSE()和 MMULT()。

為了使程序條理清晰便于使用,將整個(gè)程序分為四個(gè)工作表編寫:第一個(gè)表是使用說明;第二個(gè)表是原始數(shù)據(jù);第三個(gè)表是模型解算;第四個(gè)表是轉(zhuǎn)換點(diǎn)計(jì)算。

本程序的特點(diǎn)是只要參加模型解算的點(diǎn)數(shù)大于5個(gè),總點(diǎn)數(shù)(模型解算點(diǎn) +待求點(diǎn))-2≤電子表格的行數(shù),就能一次性自動(dòng)解算完畢。

圖1 控制點(diǎn)布置

4 算 例

下面以 24個(gè)點(diǎn)組成一組正形變換算例說明程序的使用,點(diǎn)位分布見控制網(wǎng)布置圖(圖 1)。

第一例中參加模型解算的點(diǎn)數(shù)為 24個(gè),待求點(diǎn)是 7個(gè),從表中看出 24個(gè)點(diǎn)解求的模型內(nèi)符合精度 mx=9.0(mm),my=13.2(mm)(見表1)。

表1 不同系統(tǒng)間的坐標(biāo)正形變換模型

續(xù)表1

第二例中參加模型解算的點(diǎn)數(shù)為 5個(gè),待求點(diǎn)是 19個(gè),由于模型解算無多余條件,所以內(nèi)符合精度為 0(見表2)。

第三例中參加模型解算的點(diǎn)數(shù)為 8個(gè),待求點(diǎn)是 16個(gè),從表中看出 8個(gè)點(diǎn)解求的模型內(nèi)符合精度 mx=5.1(mm),my=7.6(mm)(見表3)。

表4～6是三種模型解算的轉(zhuǎn)換點(diǎn)坐標(biāo)與已知坐標(biāo)比較。

三個(gè)模型解算轉(zhuǎn)換點(diǎn)成果較差見表7。

表2 不同系統(tǒng)間的坐標(biāo)正形變換

表3 不同系統(tǒng)間的坐標(biāo)正形變換

表4 24點(diǎn)模型改算點(diǎn)坐標(biāo)的比較

表5 5點(diǎn)模型改算點(diǎn)坐標(biāo)的比較

表6 8點(diǎn)模型改算點(diǎn)坐標(biāo)的比較

表7 三個(gè)模型解算轉(zhuǎn)換點(diǎn)成果較差

5 結(jié) 論

從表4～6的轉(zhuǎn)換點(diǎn)精度及表7的轉(zhuǎn)換點(diǎn)成果較差分析可得出以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)模型解算點(diǎn)應(yīng)均勻分布于整個(gè)轉(zhuǎn)換區(qū)域,未知點(diǎn)應(yīng)在模型解算點(diǎn)的控制范圍內(nèi)。

(2)當(dāng)重合點(diǎn)的精度一定時(shí),增加模型解算點(diǎn)數(shù)意義不大。

(3)本程序操作簡單,界面友好,換算后得到的成果與專業(yè)測量平差軟件得到的成果毫無差異。

(4)從正形變換的公式可知本程序也可用于仿射變換和赫爾默特變換,只是重合點(diǎn)數(shù)不能少于 5個(gè),而仿射變換最少只需要 3個(gè)重合點(diǎn),赫爾默特變換最少只需要 2個(gè)重合點(diǎn)。

(5)程序正確性驗(yàn)證算例(理論數(shù)據(jù))見表8。

從驗(yàn)算模型可知程序是完全正確的,因?yàn)槔碚摂?shù)據(jù)的內(nèi)符合精度為 0mm。

[1]徐紹銓,吳祖仰主編.大地測量學(xué)[M].武漢:武漢測繪科技大學(xué),1988.

[2]於宗儔,魯林成.測量平差基礎(chǔ)(增訂本)[M].北京:測繪出版社,1983.

表8 不同系統(tǒng)間的坐標(biāo)正形變換