趙蕾

（華中師范大學，湖北武漢430079）

1.引言

在現代通信系統(tǒng)中，信號中經常混有各種復雜成分，所以很多信號的處理和分析都是基于濾波器而進行的。但是傳統(tǒng)的數字濾波器設計過程復雜、濾波特性調整困難，利用MATALB信號處理工具箱(signal processing toolbox)可以快速有效地實現由軟件組成的常規(guī)數字濾波器的設計、分析和仿真，極大地減輕了工作量，有利于濾波器設計的最優(yōu)化。

2.IIR數字濾波器的設計方法

2.1 脈沖響應不變法設計IIR濾波器

脈沖響應不變法就是要求數字濾波器的脈沖響應序列h(n)與模擬濾波器的脈沖響應ha(t)的采樣值相等。根據模擬信號的拉普拉斯變換與離散序列的Z變換之間的關系，我們知道：

將Ha(s)映射為H(z)，即得到數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)：

2.2 雙線性變換法設計IIR數字濾波器

脈沖響應不變法的主要缺點是會產生頻譜混疊現象，為了克服這一缺點，可以采用雙線性變換法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到s1平面上的-π/T～π/T之間，再用z=eS1T轉換到z平面上。

這里用正切變換實現頻率壓縮：

最終得到的轉換關系為：

3.IIR數字巴特沃斯濾波器的MATALB實現

3.1 MATALB信號工具箱函數簡介

MATALB信號工具箱提供了幾個直接設計IIR數字濾波器的函數，直接調用這些函數就可以很方便地對濾波器進行設計。用MATALB工具箱函數設計數字巴特沃斯濾波器的函數如下：

(1)求最小階數N和3dB截止頻率的函數buttord

[N，wc]=buttord(wp，ws，Rp，As)，此處wp，ws分別為數字濾波器的通帶邊界和阻帶邊界頻率的歸一化值。Rp和As分別指通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。

(2)計算系統(tǒng)函數分子和分母多項式系數向量B和A的函數butter

[B，A]=butter(N，wc，’ftype’)，計算N階巴特沃斯數字濾波器系統(tǒng)函數分子和分母多項式系數向量B和A，參數ftype用來區(qū)分濾波器的類型。

(3)求模擬濾波器Ha(s)的頻率響應函數freqs

[H，w]=freqs(B，A，w)，計算M個頻率點上的頻率響應。頻響存于H向量中，M個頻率存放在向量w中。

(4)脈沖響應不變法的轉換函數impinvar和雙線性變換法的轉換函數bilinear

[Bz，Az]=impinvar(B，A，Fs)和[Bz，Az]=bilinear(B，A，Fs)，分別實現用脈沖響應不變法和雙線性變換法將分子和分母多項式的系數向量為B和A的模擬濾波器的系統(tǒng)函數Ha(s)轉換成數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)。

3.2 MATALB程序設計法示例

例1：設采樣頻率=4 kHz，分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計一個三階巴特沃斯低通濾波器，其3dB邊界頻率為1000Hz。

設計過程如下：

圖1給出了這兩種設計方法得到的頻響，虛線為脈沖響應法得到的結果，實線為雙線性變換法的結果。

例2：設計一個巴特沃斯低通濾波器，性能指標如下：通帶截止頻率6 KHz；通帶最大衰減ap=3dB；阻帶最小衰減as=25 dB；阻帶截止頻率12 kHz。假設輸入該濾波器的信號為混合信號，低頻信號f=5 kHz，高頻信號f=20 kHz，取樣間隔T=0.025 us，要求從輸入信號中濾除掉高頻信號，僅留下低頻信號。

設計過程如下：

其幅頻和相頻響應如圖2所示，輸入信號及濾波器的輸出信號如圖3所示。

3.3 利用FDATool界面設計示例

以3.2例2中濾波器的性能指標為例設計IIR數字巴特沃斯低通濾波器，過程如下：在命令窗運行FDATool，啟動FDATool。界面如圖4所示。

在Filter Type中選擇lowpass(低通濾波器)，在Design Method中選擇IIR Butterworth（IIR巴特沃斯濾波器），在Filter Order中選擇Minimum order（滿足要求的最小濾波器階數），在Options選擇passband，在Filter Specifications和Magnitude Specifications中制定設計指標（Fs=40 kHz，Fpass=6 kHz，Fstop=12 kHz，Apass=3dB，Astop=25dB）。指定所有的設計指標后，單擊FDATool最下面的Design Filter按鈕即可完成濾波器的設計。

通過FDATool的工具條查看設計的濾波器的幅頻響應、相頻響應等。由此可見，利用FDATool工具設計更為簡潔，不僅節(jié)省大量時間，還保證了準確性。

4.結論

采用MATLAB設計數字濾波器，使原來非常繁瑣復雜的程序設計變成了簡單的函數調用，為濾波器的設計和實現開辟了廣闊的天地。MATLAB信號處理工具箱為濾波器設計及分析提供了非常優(yōu)秀的輔助設計工具，在設計數字濾波器時，善于應用MATLAB進行輔助設計，能夠大大提高設計效率。

[1]高西全，丁玉美.數字信號處理[M].西安：西安電子科技大學出版社，2008

[2]陳懷琛，吳大正，高西全.MATLAB及在電子信息課程中的應用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.