張焱，王艷，王磊

（1.東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南京210096；2.常州供電公司，江蘇常州213003）

動態(tài)優(yōu)化調(diào)度是研究在連續(xù)多個時間段內(nèi)、機組運行狀態(tài)已經(jīng)確定的情況下，如何有效地調(diào)整各個機組在不同時段的有功功率輸出，使得在滿足各種靜態(tài)約束和動態(tài)約束下，整個調(diào)度周期內(nèi)的某些目標(biāo)函數(shù)達到最優(yōu)。由于動態(tài)優(yōu)化調(diào)度問題的規(guī)模隨著系統(tǒng)規(guī)模以及時段數(shù)的增加而迅速增長，因此提高算法的效率是迫切需要解決的問題［1］。

多年來，學(xué)者們通過不斷探索，提出了各種求解優(yōu)化調(diào)度問題的計算方法。其中，簡化梯度法具有簡單、容易實現(xiàn)等優(yōu)點，但是收斂性較差，尤其是在接近最優(yōu)點附近時收斂很慢［2］；牛頓法和簡化梯度法相比，收斂速度較快，具有二階收斂性，但是也存在著數(shù)值不穩(wěn)定、不能總是有效地確定迭代過程中起作用的約束集等缺點；人工智能算法對函數(shù)的性態(tài)要求比較低，近年來在最優(yōu)潮流領(lǐng)域中得到了廣泛的運用［3］，但是存在著收斂速度比較慢的缺點。相比于以上算法，原對偶內(nèi)點法具有迭代次數(shù)與系統(tǒng)規(guī)模關(guān)系不大、收斂性好、計算速度快等優(yōu)點。文獻［4］將原對偶內(nèi)點法應(yīng)用于非線性規(guī)模的無功優(yōu)化調(diào)度問題，充分顯示了內(nèi)點法的收斂特性；文獻［5］則采用線性約束網(wǎng)絡(luò)流來描述電力系統(tǒng)動態(tài)經(jīng)濟調(diào)度問題，并用內(nèi)點法進行求解，克服了傳統(tǒng)方法難以精確處理不等式約束的弊端，使計算結(jié)果更精確；文獻［6］則采用引入離散懲罰的非線性原對偶內(nèi)點法求解動態(tài)無功優(yōu)化模型，具有較快的計算速度。

隨著電力行業(yè)節(jié)能減排政策的實施，在動態(tài)優(yōu)化調(diào)度中同時將煤耗和污染物排放一起優(yōu)化更具現(xiàn)實意義［7］。本文首先建立了同時考慮調(diào)度周期內(nèi)煤耗量、污染物氣體排放量最小的多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型，并利用模糊集理論使之轉(zhuǎn)化為求取滿意度最高的單目標(biāo)問題；接著推導(dǎo)出了求解該模型的原對偶解耦內(nèi)點算法；最后對算例結(jié)果進行了比較分析。

1 基于節(jié)能減排的多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型

1.1 多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型

1.1.1 目標(biāo)函數(shù)

本文以常規(guī)燃煤機組的煤耗和污染物氣體排放最小作為目標(biāo)函數(shù)：

式(1，2)中：T為調(diào)度周期；Ng表示發(fā)電機臺數(shù)；PGi(t)為第i臺發(fā)電機組t時段的有功出力；ai，bi，ci為煤耗系數(shù)；αi，βi，γi為污染物排放系數(shù)。

1.1.2 靜態(tài)等式約束

動態(tài)優(yōu)化調(diào)度問題的靜態(tài)等式約束即為各個時段的節(jié)點潮流平衡約束：

式中：省略下標(biāo)t；Vi，θi為節(jié)點電壓與相角；θij=θi-θj；Gij，Bij分別為系統(tǒng)的導(dǎo)納矩陣的實部與虛部；PDi，QDi為節(jié)點i的有功負荷與無功負荷；PGi，QGi為節(jié)點i的有功注入與無功注入。

1.1.3 靜態(tài)不等式約束

式中不等式約束依次為發(fā)電機有功出力約束、發(fā)電機無功出力約束、節(jié)點電壓約束、線路有功潮流約束。各個變量的上下限且分別用上劃線和下劃線表示。

1.1.4 動態(tài)約束

本文考慮發(fā)電機爬坡約束：

式中：RampGi為發(fā)電機在相鄰時段間能增加或減小的最大功率。

1.2 多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度的模糊模型

上述模型有2個相互競爭的目標(biāo)函數(shù)，是多目標(biāo)規(guī)劃模型，有學(xué)者提出用模糊集理論來解決這個問題，并取得較好效果。文獻［8］用模糊集理論將多目標(biāo)函數(shù)和部分可伸縮的約束條件模糊化，使最優(yōu)潮流問題在更加符合實際情況的模型上實現(xiàn)優(yōu)化；文獻［9］將模糊集理論應(yīng)用于來水量不確定性分析，提出了一種水火電系統(tǒng)短期經(jīng)濟調(diào)度的新方法，較好地提高了系統(tǒng)的經(jīng)濟性；文獻［10］用多目標(biāo)模糊優(yōu)化理論和動態(tài)規(guī)劃法解決火電廠多目標(biāo)負荷優(yōu)化問題，得到科學(xué)、合理的負荷分配方案。因此，本文采用模糊集理論使多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題。在滿足所有約束條件的前提下，發(fā)電煤耗和污染物氣體排放總量越小越好，有上限而無下限，因此選用降半直線作為它們的隸屬度函數(shù)［11］，如圖1、圖2所示。

圖1 煤耗隸屬度函數(shù)

圖2 污染物氣體排放隸屬度函數(shù)

2個目標(biāo)隸屬度函數(shù)可分別用式（6，7）表示：式中：f1(x)，f2(x)分別為調(diào)度周期內(nèi)的煤耗、污染物氣體排放總量；c01，c02分別為單獨以煤耗、污染物氣體排放為優(yōu)化目標(biāo)時的結(jié)果；c01+δ01，c02+δ02分別為煤耗、污染物排放的最大可接受值。取λ為所有隸屬函數(shù)中最小的隸屬變量，可稱之為滿意度。

根據(jù)最大隸屬度原理，可以將原來的多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度問題轉(zhuǎn)化為滿足所有約束條件的滿意度最大化的問題。用以下非線性規(guī)劃模型表示。

上述模型包含T個時段，每個時段有n個變量、m個靜態(tài)等式約束、r個靜態(tài)不等式約束，各時段間有q個動態(tài)不等式約束，p個含有λ的不等式。多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度的模糊模型比傳統(tǒng)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型增加了p個含有λ的不等式，λ不屬于靜態(tài)變量，因此求解該模型時更為復(fù)雜。

2 原對偶解耦內(nèi)點算法

由于動態(tài)優(yōu)化調(diào)度問題系統(tǒng)規(guī)模很大，而原對偶內(nèi)點法具有迭代次數(shù)與系統(tǒng)規(guī)模關(guān)系不大、收斂性好、計算速度快等優(yōu)點，因此本文采用原對偶內(nèi)點法求解多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型。根據(jù)多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型的特點，對原對偶內(nèi)點算法作出相應(yīng)改進，通過對算法中修正方程的降階與解耦，將動態(tài)優(yōu)化調(diào)度的大規(guī)模線性修正方程的求解，等值解耦轉(zhuǎn)換成小規(guī)模的動態(tài)變量求解和各時段靜態(tài)變量求解，從而提高算法的求解效率。

2.1 引入滿意度后的修正方程

式中：yt為各時段靜態(tài)等式約束對應(yīng)的拉格朗日乘子，各時段靜態(tài)不等式約束對應(yīng)的松弛變量為lt，ut＞0，拉格朗日乘子為zt＞0，wt＞0，對數(shù)壁壘參數(shù)μt＞0；動態(tài)約束對應(yīng)的松弛變量為sl，su＞0，拉格朗日乘子為yl，yu＞0，對數(shù)壁壘參數(shù)μd＞0；含有λ的不等式的松弛變量為ll，uu＞0，拉格朗日乘子為zz＞0，ww＞0，對數(shù)壁壘參數(shù)。

為了表述方便，將各時段的優(yōu)化變量以及與靜態(tài)約束相關(guān)的拉格朗日乘子和松弛變量構(gòu)成靜態(tài)變量ρt=[xt，yt，zt，wt，lt，ut]T，每個時段的靜態(tài)變量一共構(gòu)成T組靜態(tài)變量；定義與動態(tài)約束相關(guān)的拉格朗日乘子和松弛變量為動態(tài)變量ρd=[λ，yu，yl，su，sl，ww，zz，uu，ll]T。

原對偶內(nèi)點法通過式(10)的最優(yōu)性KKT條件形成一組非線性方程，然后采用牛頓法迭代求解。其中，線性化牛頓修正方程可以表示如下：

式(11)中：Wt、Lt推導(dǎo)過程參照文獻［13］，修正方程的維數(shù)高達(4r+m+n)T+4(q+p)維，需進行降階。

2.2 修正方程的降階

通過線性變換消去方程(11)中的Δzt，Δwt，Δlt，Δut，Δsu，Δsl，Δuu，Δll后得到：

式中：ΔρR1=[Δxt，Δyt]T，ΔρRd=[Δλ，Δyu，Δyl，Δww，Δzz]T，各子矩陣WRT、LRT推導(dǎo)過程也可參照文獻[13]。求出ΔρRT，ΔρRd后，可以通過線性變換求出其他變量。降階后的修正方程維數(shù)為(m+n)T+2(q+p)，大大減少了方程規(guī)模和計算量。

2.3 修正方程的解耦

由多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度的模型可知，各時段的靜態(tài)約束和目標(biāo)函數(shù)相互獨立，相應(yīng)地靜態(tài)變量ρt相互獨立，彼此不相關(guān)，從而使得式(11)中常數(shù)項Lt只與t時段的靜態(tài)變量有關(guān)，與動態(tài)變量無關(guān)，且Δρt之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣為零矩陣；另一方面，動態(tài)約束使部分靜態(tài)變量（各時段的發(fā)電機有功出力）與動態(tài)變量相互關(guān)聯(lián)，因此式(11)中Δρt與Δρd之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣Et非0。由此可以得出，多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度問題的特殊耦合關(guān)系決定了式(11)的系數(shù)矩陣具有分塊對角帶邊結(jié)構(gòu)，降階KKT方程(12)的系數(shù)矩陣也同樣具有分塊對角帶邊結(jié)構(gòu)。針對這種特性，可以通過線性變換將式(12)等值簡化成解耦方程［14］：

首先根據(jù)式(13)解出ΔρRd，然后分別求出各個時段的ΔρRt。解耦后，需要求解一個2(q+p)維方程和T個(m+n)維方程，計算量比直接求解一個(m+n)T+2(q+p)維方程要小得多。

2.4 相關(guān)參數(shù)設(shè)置

所有的對數(shù)壁壘參數(shù)都由式(15)求得，靜態(tài)變量中原變量、對偶變量對應(yīng)的步長根據(jù)式(16)計算，各動態(tài)變量對應(yīng)步長αpd，αdd，αpλ，αdλ的計算方法同式(16)。

2.5 算法流程

算法流程如圖3所示。

3 算例分析

根據(jù)上述模型和算法，本文對IEEE-30節(jié)點測試系統(tǒng)進行仿真計算與分析。

3.1 初始條件設(shè)置

調(diào)度周期取為一天，劃分成24個時段，每個時段為1h，圖4為負荷波動系數(shù)曲線，假設(shè)系統(tǒng)有功功率日負荷波動曲線和無功功率日負荷波動曲線是相同的，并且各節(jié)點的負荷值在一天中以相同的負荷系數(shù)波動。各常規(guī)發(fā)電機組的煤耗系數(shù)ai，bi，ci和污染物氣體排放系數(shù)αi，βi，γi如表1所示。本文以煤耗費用（元）來表征煤耗量，以排放氣體的重量（t）來表征污染物氣體的排放量。

圖3 原對偶解耦內(nèi)點法的具體流程圖

表1 各常規(guī)機組煤耗和污染物氣體排放系數(shù)

圖4 系統(tǒng)日負荷波動系數(shù)曲線

以發(fā)電機有功功率上限的百分比來表示爬坡約束，本文取為5%。

單獨優(yōu)化煤耗的結(jié)果為10502元，單獨優(yōu)化污染物氣體排放時結(jié)果為3660.2t，取各自的最大可接受值為單獨優(yōu)化結(jié)果的1.4倍。

3.2 動態(tài)與靜態(tài)優(yōu)化調(diào)度結(jié)果對比分析

本文首先選取調(diào)度周期內(nèi)煤耗量最小為單目標(biāo)進行優(yōu)化調(diào)度，圖5比較了當(dāng)爬坡約束為5%和未考慮爬坡約束時的27號發(fā)電機有功出力，即動態(tài)優(yōu)化調(diào)度和靜態(tài)優(yōu)化調(diào)度時27號發(fā)電機有功出力變化的不同。

圖5 27號發(fā)電機有功出力變化曲線

由圖5可以看出：計及爬坡約束時，為了可以順利到達12點時的負荷高峰，27號發(fā)電機組在第5時段作出了相應(yīng)的調(diào)整，第5時段系統(tǒng)的負荷水平降低，但是此時煤耗較小的27號發(fā)電機就開始增加出力，從第6時段開始則全力爬坡，以保證在12點的高峰期能夠承擔(dān)更多的負荷；同樣，為了應(yīng)付22-24時段負荷的陡降，即使是在21-22時段負荷上升的情況下，27號發(fā)電機仍然減少了出力，并在23、24時段全速減小出力，保證系統(tǒng)能夠順利到達負荷的低點。

而如果未考慮爬坡約束，在12點負荷高峰前的多個爬坡時段和負荷陡降的22-24時段，27號發(fā)電機有功出力調(diào)節(jié)速率均超出了允許范圍。由此可見，靜態(tài)優(yōu)化調(diào)度的結(jié)果顯然是不可行的，只有動態(tài)優(yōu)化調(diào)度的結(jié)果才是正確有效的。

3.3 雙目標(biāo)優(yōu)化與單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果對比分析

圖6顯示了雙目標(biāo)優(yōu)化時，各時段的煤耗量與污染物氣體排放量都比單目標(biāo)時的優(yōu)化結(jié)果大。這是因為考慮多目標(biāo)時，不僅要使得系統(tǒng)煤耗量最小，同時還要使污染物氣體排放量最小，但這2個目標(biāo)是相互矛盾的，污染物氣體排放滿意度的增加必然要以煤耗滿意度的下降來換取，反之亦然，因此只能使得兩者的綜合滿意度達到最高。

表3比較了雙目標(biāo)與單目標(biāo)時整個調(diào)度周期內(nèi)的總煤耗量和污染物氣體總排放量。

圖6 雙目標(biāo)與單目標(biāo)各時段優(yōu)化結(jié)果對比

表3 雙目標(biāo)優(yōu)化和單目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)值比較

從表3可以看到，雙目標(biāo)優(yōu)化之后，煤耗量比單獨優(yōu)化煤耗時增加了256元，相對增長2.44%，但比單獨優(yōu)化排放時的煤耗量減少了498元，相對減少4.42%；同樣，雙目標(biāo)優(yōu)化之后，污染物氣體排放量比單獨優(yōu)化排放時增加了89.4 t，也僅相對增長2.44%，但比單獨優(yōu)化煤耗時的排放量減小了461.3 t，相對減小10.95%。

由此可見，雖然調(diào)度周期內(nèi)的總煤耗量和排放量都沒有單目標(biāo)模型時的理想，但從綜合效益的角度看，基于節(jié)能減排的多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型具有明顯的優(yōu)勢，它能夠更加合理的協(xié)調(diào)各個目標(biāo)之間的關(guān)系。

4 結(jié)束語

本文以節(jié)能、減排作為動態(tài)優(yōu)化調(diào)度的雙重目標(biāo)，建立了多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型，并根據(jù)模糊集理論的最大隸屬度原則使之轉(zhuǎn)化為求解滿意度最大的單目標(biāo)問題，提出了適合求解多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化問題的原對偶解耦內(nèi)點算法。IEEE-30節(jié)點算例結(jié)果表明：

（1）本文通過對原對偶內(nèi)點法中修正方程的降階與解耦，大幅度提高了算法的求解效率，收斂特性較好，數(shù)值魯棒性高。

（2）本文提出的基于節(jié)能減排的多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型能夠更好的協(xié)調(diào)節(jié)約能源、減少環(huán)境污染之間的關(guān)系，并能根據(jù)機組的煤耗特性、排放特性以及爬坡約束等更加合理的安排發(fā)電機組的出力，在整個調(diào)度周期內(nèi)實現(xiàn)各個目標(biāo)函數(shù)綜合滿意度的最大化。

（3）本文所提的模型與算法不僅適合于雙目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化調(diào)度問題，還能根據(jù)實際情況靈活擴展到更多的目標(biāo)函數(shù)。

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