徐香新，吳勇剛

1. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116

2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 徐州 221116

在材料力學(xué)中，疊加法和積分法是兩種解決梁變形問題的重要方法。積分法是一種基本的數(shù)學(xué)方法，通過所列出的彎矩方程，可以確定梁上任一點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，適用范圍非常廣。但積分法計(jì)算繁瑣，需列彎矩方程，根據(jù)邊界條件確定積分常數(shù)。若梁上載荷較復(fù)雜，求解工作將變得更加困難。因此需要尋求一種更為有效地解決辦法。當(dāng)只需要求解梁上某些特定截面的轉(zhuǎn)角和撓度時(shí)，可以通過疊加法進(jìn)行求解。疊加法的優(yōu)點(diǎn)在于可在表中查找出幾個(gè)簡(jiǎn)單載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形，然后針對(duì)具體截面，進(jìn)行疊加。通過簡(jiǎn)單計(jì)算，即可求出具體截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

1 簡(jiǎn)單介紹疊加法

疊加法是基于小變形理論所建立。在材料力學(xué)中所提到的小變形指的是微小的彈性變形，求解支反力和分析內(nèi)力時(shí)仍采用變形前的幾何形狀和尺寸；為線性結(jié)構(gòu)時(shí)，認(rèn)為一種載荷對(duì)構(gòu)件的作用不受其它載荷的影響，此即為疊加法。在本論文中小變形指的是小撓度，因此計(jì)算彎矩時(shí)仍采用變形前的尺寸。若梁上的應(yīng)力不超過材料的比例極限，且梁的變形又很小，則可以認(rèn)為梁上的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關(guān)系，即當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，由每一個(gè)載荷所引起的梁的變形將不受其他載荷影響，因此可用疊加法來求解梁的變形。疊加各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形，可得到所求變形。也就是說，疊加法是分別計(jì)算每一基本變形各自引起的應(yīng)力、內(nèi)力、應(yīng)變和位移，然后將所得結(jié)果疊加，便是構(gòu)件在組合變形下的應(yīng)力、內(nèi)力、應(yīng)變和位移。

2 疊加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中，疊加原理無處不自在，尤其是在物理、力學(xué)、電學(xué)、數(shù)學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域更是發(fā)揮著不可代替的作用。機(jī)械工程中的多數(shù)軸類零件，由于其結(jié)構(gòu)、減輕自重、節(jié)省材料的要求常將其做成階梯狀，因此對(duì)這類機(jī)械零件剛度要求非常高，則需計(jì)算階梯軸的變形。在求解此類問題的變形時(shí)，疊加法是最有效的方法之一。

3 疊加法在求變截面梁的變形時(shí)的應(yīng)用

3.1 變截面懸臂梁

如圖1為所示變截面懸臂梁，求自由端C點(diǎn)的撓度。

圖1

解：

1）剛化 AB段，將BC段看成B為固定端，C為自由端，載荷為F

2）剛化 BC段，將 AB段看成A為固定端，B為 自由端，載荷為F和M=Fl

同時(shí)AB段變形會(huì)使 BC段產(chǎn)生剛性位移

3）C點(diǎn)的撓度為

3.2 變截面簡(jiǎn)支梁

如圖2所示為變截面簡(jiǎn)支梁，欲求中點(diǎn)C的撓度，考慮到結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性 ，可知C點(diǎn)轉(zhuǎn)角為零，撓曲線在C點(diǎn)的斜率為零。可將該梁看成是由兩段懸臂梁所組成，C為固定端 ，A、B為自由端，A、B兩自由端撓度相等，即為實(shí)際截面C的撓度，因此用一段懸臂梁疊加計(jì)算即可。解法同上題。

圖2

綜上所述，當(dāng)求解具體截面變形時(shí)，疊加法是一種非常有效的方法。若載荷作用較復(fù)雜，一般的方法是將梁簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)支梁和懸臂梁的受載情況，若梁的截面有變化時(shí)，要進(jìn)行相應(yīng)截面的剛化。因此熟練使用疊加法，充分發(fā)揮其優(yōu)越性，則在解決工程實(shí)際問題的效率大大提高。

[1]馮迎輝.疊加法求梁的變形的分析[J].西安航空技術(shù)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2000，1(3)：35-37.

[2]劉鴻文.材料力學(xué)[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[3]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].7版.北京：高等教育出社，2009.