王振亞，張慶春

WANG Zhen-ya,ZHANG Qing-chun

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

0 引言

軸線相交度是三軸轉(zhuǎn)臺的重要精度指標(biāo)，直接影響轉(zhuǎn)臺的工作精度。如圖1所示為U-O-O型三軸轉(zhuǎn)臺，理想情況下，三條轉(zhuǎn)軸軸線應(yīng)相交于一點(diǎn)。但由于加工誤差等因素，三條軸線不能剛好交于一點(diǎn)，而是存在一定誤差，這個誤差就是相交度誤差。

圖1 三軸轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)示意圖

目前在三軸轉(zhuǎn)臺的制造中，三軸相交度的指標(biāo)是由工藝來保證的，國軍標(biāo)GJB1801—93《慣性技術(shù)測試設(shè)備試驗(yàn)方法》中并沒有此項指標(biāo)的檢測方法。目前常用的測量方法有兩種：一是在轉(zhuǎn)軸上裝測量棒或測量球作為測量基準(zhǔn)，用千分表或其它類型傳感器進(jìn)行測量[1,2]。但是這種方法存在著基準(zhǔn)的安裝偏心誤差和基準(zhǔn)的表面形狀誤差，而這些誤差信號在數(shù)據(jù)處理時很難分離。二是在三軸轉(zhuǎn)臺的內(nèi)框軸上設(shè)置參考點(diǎn)，通過測量該參考點(diǎn)在外框軸、中框軸和內(nèi)框軸處于不同角位置時的水平角變化，從而建立坐標(biāo)系，并用齊次變換法推導(dǎo)出坐標(biāo)系之間的位姿關(guān)系，進(jìn)而得出三軸相交度[3,4]。但這種方法測量過程繁瑣，數(shù)據(jù)處理復(fù)雜。本文從三軸轉(zhuǎn)臺軸線的確定和相交度誤差的特點(diǎn)入手來解決其相交度測量問題。

1 測量原理

1.1 轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)中心

根據(jù)三軸轉(zhuǎn)臺軸線相交度的定義，要測量這項指標(biāo)，首先要測量出三個回轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)軸線。在無任何誤差情況下，轉(zhuǎn)軸上的一切點(diǎn)都圍繞回轉(zhuǎn)軸線作圓周運(yùn)動，該圓周運(yùn)動的圓心即轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)中心?？臻g中的回轉(zhuǎn)軸線可由兩個截面的回轉(zhuǎn)中心確定。

在轉(zhuǎn)軸的某截面設(shè)置一個特征點(diǎn)，用CCD圖像傳感器檢測到的該點(diǎn)的運(yùn)動軌跡可由以下數(shù)學(xué)表達(dá)式描述：

式中，ρ為特征點(diǎn)的安裝偏心；f為轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)頻率；θ0為初始相位角；δ和ε分別為轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)誤差e在x和y方向的分量。由此可以得到半徑為ρ的基圓誤差圖，如圖2所示。

若在轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)期間等間隔采集n幅圖片，經(jīng)處理得到n個特征點(diǎn)的坐標(biāo)值(xi,yi)，i＝1，2，… ，n，由此可以擬合出一個最小二乘圓。設(shè)擬合圓心坐標(biāo)(x0,y0)，擬合圓半徑r,建立未知數(shù)為3的超靜定方程組：

圖2 基圓誤差圖

該方程組方程個數(shù)多于未知數(shù)個數(shù)，因此沒有精確解，但可以利用最小二乘法找到一組(x0,y0,r)使最小。擬合圓心(x0,y0)即該截面上轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)中心。

1.2 回轉(zhuǎn)軸線的引出與軸線方程的建立

如圖3所示建立基準(zhǔn)坐標(biāo)系，CCD圖像傳感器的中心光軸為Z軸，像平面為XOY平面，X軸水平，Y軸豎直。在轉(zhuǎn)軸的端面固聯(lián)一個可伸縮的圓筒，圓筒的另一端面安裝一個十字靶標(biāo)，十字靶標(biāo)兩臂長相等且長度已知。測量前調(diào)整CCD圖像傳感器位置，使測得的十字靶標(biāo)兩臂長相等，此時轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)軸線與CCD中心光軸在空間的指向相同。

測量時CCD圖像傳感器跟蹤十字靶標(biāo)中心點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，經(jīng)過計算可得到圓筒端面的回轉(zhuǎn)中心。通過圓筒的伸縮，可用圓筒的端面模擬轉(zhuǎn)軸的不同截面，連接任意兩個截面的回轉(zhuǎn)中心即可得到轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)軸線。

圖3 回轉(zhuǎn)軸線測量原理示意圖

在實(shí)際測量中，CCD采集的點(diǎn)坐標(biāo)是在數(shù)字圖像上以像素為單位表示的。在某焦距f下，實(shí)際尺寸s1(mm)與像素尺寸s2(pixel)存在一定比例關(guān)系：

改變物體與像平面間的距離l，焦距f改變，該比例關(guān)系也隨之變化。如果先通過實(shí)驗(yàn)標(biāo)定出該函數(shù)關(guān)系：l＝f (f，β)，由于十字靶標(biāo)臂長的實(shí)際尺寸已知，那么在測得某截面上十字靶標(biāo)臂長的像素尺寸后，可得到比例關(guān)系β，根據(jù)焦距f進(jìn)而得到該截面到像平面的距離l。

圖3中可伸縮圓筒處于收縮狀態(tài)時，圓筒端面與XOY平面距離為l1,該端面的回轉(zhuǎn)中心表示為P1(x1,y1)；當(dāng)可伸縮圓筒處于伸長狀態(tài)時（圖中虛線所示），圓筒端面與XOY平面距離為l2，該端面的回轉(zhuǎn)中心表示為P2(x2,y2)。在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下，P1和P2的坐標(biāo)可以分別表示為：P1(x1,y1,z1)，(z1=l1)、P2(x2,y2,z2)，(z2= l2)。由此可得到回轉(zhuǎn)軸線的方程為：

1.3 三軸相交度的測量方法

如圖4所示，使三軸轉(zhuǎn)臺外框軸軸線處于豎直位置，調(diào)整CCD圖像傳感器位置，使其中心光軸與中框軸軸線空間指向相同（十字靶標(biāo)兩臂長相等）。以CCD圖像傳感器中心光軸為Z軸，像平面為XOY平面建立基準(zhǔn)坐標(biāo)系，且X軸水平，Y軸豎直。轉(zhuǎn)臺外框軸、中框軸和內(nèi)框軸的轉(zhuǎn)角分別為α、β、γ。初始時α＝0°。

圖4 相交度測量原理示意圖

1.3.1 中框軸和外框軸的軸線相交度測量

如圖4所示，外框軸和中框軸的相交度為dum。外框軸α＝0°時，根據(jù)1.2節(jié)可測得中框軸的回轉(zhuǎn)軸線L1為：

其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分別為中框軸兩不同端面的回轉(zhuǎn)中心。

使三軸轉(zhuǎn)臺外框軸旋轉(zhuǎn)180°，此時α＝180°，中框軸的回轉(zhuǎn)軸線L1′為：

其中(x1′,y1′,z1′)和(x2′,y2′,z2′)分別為中框軸兩不同端面的回轉(zhuǎn)中心。

在理想狀態(tài)下，即外框軸與中框軸不存在相交度誤差時，L1與L1′應(yīng)該重合，但由于相交度誤差的存在，L1與 L1′相互平行且距離 dL2L2′＝ 2dum，只要求出L1到L1′的距離即可得到中框軸與外框軸的相交度。由空間幾何知識，(x1′,y1′,z1′) 到 L1距離：

1.3.2 內(nèi)框軸和外框軸的軸線相交度測量

固定CCD圖像傳感器不動，令外框軸旋轉(zhuǎn)90°，α＝90°。調(diào)整中框軸，使內(nèi)框軸軸線處于水平位置，設(shè)此時中框軸的相位角為β＝0°，固定中框軸。根據(jù)1.3.1節(jié)所述可知，當(dāng)外框軸分別處于α＝90°和α＝270°時，內(nèi)框軸的兩條回轉(zhuǎn)軸線L2和L2′距離dL2L2′的一半就是內(nèi)框軸與外框軸的軸線相交度。根據(jù)1.2節(jié)可得L2和L2′表達(dá)式為：

設(shè)外框軸和內(nèi)框軸的軸線相交度為dui。由式（8）與（9）可得：

1.3.3 內(nèi)框軸和中框軸的軸線相交度測量

令外框軸處于90°，中框軸處于水平位置，即α＝90°，β＝0°。旋轉(zhuǎn)內(nèi)框軸測得此時的回轉(zhuǎn)軸線為L2。將中框軸轉(zhuǎn)動180°，即β＝180°時，測得內(nèi)框軸回轉(zhuǎn)軸線為表示為L3。兩條回轉(zhuǎn)軸線L2和 L3的距離dL2L3的一半即為內(nèi)框軸與中框軸的軸線相交度。

中框軸處于β＝180°角時，內(nèi)框軸的回轉(zhuǎn)軸線的表達(dá)式L3為：

設(shè)內(nèi)框軸和中框軸的軸線相交度為dim。由式（8）與式(11)可得：

1.3.4 三軸相交度的計算

在外框軸和中框軸的相交度dum、外框軸和內(nèi)框軸的相交度dui、內(nèi)框軸和中框軸的相交度dim中選取最大值作為三軸轉(zhuǎn)臺的三軸相交度值。

2 軟件設(shè)計

根據(jù)測量的要求，需要對CCD圖像傳感器檢測到的十字靶標(biāo)圖像信號進(jìn)行處理。處理內(nèi)容包括以下幾個部分：1)圖像處理，包括圖像預(yù)處理、提取十字靶標(biāo)的中心(即兩臂的交點(diǎn))和計算兩臂的臂長；2)根據(jù)提取的特征點(diǎn)用最小二乘法擬合回轉(zhuǎn)中心，根據(jù)兩臂的臂長判斷CCD主光軸是否對準(zhǔn)回轉(zhuǎn)軸并計算十字靶標(biāo)與像平面的距離；3)計算空間直線的表達(dá)式；4)計算相交度。程序流程圖如圖5所示。

圖5 軟件處理流程圖

3 測量實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)室中使用MV-1300UM型圖像傳感器對一三軸轉(zhuǎn)臺進(jìn)行測量實(shí)驗(yàn)，得到表1所示數(shù)據(jù)(均已轉(zhuǎn)化為 單位)。轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)是在轉(zhuǎn)軸的有一個回轉(zhuǎn)周期內(nèi)平均采樣36個點(diǎn)，然后用最小二乘法擬合圓心得到。為測量方便，實(shí)驗(yàn)前先將轉(zhuǎn)臺的外框軸調(diào)整到豎直位置。

表1 CCD測量轉(zhuǎn)臺各轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)中心數(shù)據(jù)

由前兩組數(shù)據(jù)可以得到外框軸和中框軸的相交度為dum＝0.3340mm；由中間兩組數(shù)據(jù)可以得到內(nèi)框軸和外框軸的相交度dui＝0.4772mm；由最后兩組數(shù)據(jù)（其中第5組數(shù)據(jù)與第3組數(shù)據(jù)重復(fù)，為方便計算，故全部列出）可以得到內(nèi)框軸和中框軸的相交度dim＝0.2885mm。其中最大值為dui＝0.4772mm，因此三軸轉(zhuǎn)臺軸線相交度為0.4772mm。

4 結(jié)論

通過以上分析可看出該測量方法具有以下特點(diǎn)：1)基準(zhǔn)直接安裝在轉(zhuǎn)軸端面，測量方便；2)不存在基準(zhǔn)安裝偏心誤差，測量更準(zhǔn)確；3)相交度計算中三條軸線有兩條采用的是平均回轉(zhuǎn)軸線，測量更精確。

本測量方案中，CCD的分辨率對測量的精度有著決定性的影響，提高CCD圖像傳感器的分辨率可有效提高測量精度，在硬件系統(tǒng)受限的情況下，可通過亞像素邊緣細(xì)分等軟件手段來提高精度。另外，周圍環(huán)境光線、CCD像素畸變、系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定等也會對測量結(jié)果造成影響，需要進(jìn)一步研究以提高測量精度。

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