隨順科，孫長(zhǎng)江，周選選

SUI Shun-ke,SUN Chang-jiang,ZHOU Xuan-xuan

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，徐州 221116）

0 引言

離散傅里葉變換(Discrete Fourier Tran- sform，DFT)是把時(shí)域信號(hào)變換成頻域信號(hào)進(jìn)行處理的一種方式，它具有原理簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)方便、功能多、精度高等許多優(yōu)點(diǎn)。而快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)是離散傅里葉變換的一種快速算法，F(xiàn)FT可以明顯的降低運(yùn)算量，大大的提高DFT的運(yùn)算速度。根據(jù)FFT算法中按時(shí)間抽選和按頻率抽選的推導(dǎo)中可以看出，每級(jí)抽選時(shí)，每一組的偶序號(hào)部分都不乘旋轉(zhuǎn)因子，乘旋轉(zhuǎn)因子都出現(xiàn)在奇序號(hào)上，加之考慮到基-4FFT算法比基-2FFT算法更有效，1984年法國(guó)的Duhamel和Holtmann提出了“分裂基”FFT算法(split-radix FFT或SRFFT)。分裂基算法能有效減少運(yùn)算量,節(jié)省運(yùn)算時(shí)間,節(jié)省存儲(chǔ)單元,提高運(yùn)算效率[1]。

本文將基于分裂基算法的原理和實(shí)現(xiàn)方法，采用數(shù)字信號(hào)處理芯片DSP TMS320F- 2812來(lái)實(shí)現(xiàn)分裂基FFT運(yùn)算，能快速實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的采集,進(jìn)行實(shí)時(shí)分析處理。

1 分裂基算法

分裂基算法的基本思路是對(duì)偶序號(hào)輸出使用基-2算法，對(duì)奇序號(hào)輸出使用基-4算法。在N=2L各種算法中，分裂基算法所需的乘法數(shù)和加法次數(shù)為最小，并接近理論上的最小值。例如對(duì)于長(zhǎng)度為N=2L的實(shí)序列x(n)，其DFT所需的理論上的最小實(shí)數(shù)乘法次數(shù)僅是LR=2N-L2-L-2，并且分裂基算法還具有和基-2 FFT算法同樣好的同址運(yùn)算結(jié)構(gòu)，因此被認(rèn)為是一種實(shí)用的高效算法。

分裂基FFT算法要求序列次數(shù)N為2的整冪次，即N=2L（L為正整數(shù)），有

這里，X1(k)為偶序號(hào)X(n)組成N/2點(diǎn)DFT,X2(k)和X3(k)為奇序號(hào)的x(n)組成N/4點(diǎn)DFT[1]。

由上綜合其計(jì)算公式可得如下：

1）對(duì)偶數(shù)序號(hào)的輸出項(xiàng)采用基2算法，即

2）對(duì)于奇序號(hào)項(xiàng)采用基4算法，即

圖1 分裂基算法的示意圖

從圖1中可以看出一個(gè)N點(diǎn)序列x(n)的N點(diǎn)DFT可以分解成1個(gè)N/2點(diǎn)DFT和2個(gè)N/4點(diǎn)DFT。這種分解既有基-2，也有基-4部分，令基-2部分x(2r)的奇數(shù)點(diǎn)部分又進(jìn)一步按基-4抽取分解，而基4部分的偶數(shù)點(diǎn)部分又進(jìn)一步按基-2抽取分解。以此類推的進(jìn)行下去，直至分解為4點(diǎn)或2點(diǎn)DFT，完成序列x(n)的N點(diǎn)DFT的快速運(yùn)算[4]。

現(xiàn)以N=8為例，推導(dǎo)其算法，信號(hào)流程圖如圖2所示。

綜上可得：

圖2 8點(diǎn)分裂基算法信號(hào)流圖

2 TMS320F2812的結(jié)構(gòu)與特征

TMS320F2812是TI（Texas Instruments）公司推出的性價(jià)比極高的、最佳測(cè)控應(yīng)用的32位定點(diǎn)DSP芯片，它不但具有數(shù)字信號(hào)處理能力，又具有強(qiáng)大的事件管理能力和嵌入式控制能力，是目前在國(guó)內(nèi)外使用較為廣泛的DSP芯片之一。

TMS320F2812具有以下特點(diǎn)：哈佛總線結(jié)構(gòu)，8級(jí)流水線操作，采用高性能的靜態(tài)CMOS技術(shù)，時(shí)鐘頻率可達(dá)150 MHz，能在一個(gè)周期內(nèi)完成16x16、32x32的乘法和累加運(yùn)算，快速的指令周期,支持JTAG邊界掃描。另外由于他采用了內(nèi)部1.8V,外部3.3V供電,因而功耗很低等特點(diǎn)。除此之外TMS320F2812還具有豐富的片上資源[2]：

1）18k×16位的SARAM,分別為1k×16位的M0和M1，4K×16位的L0和L1,及8K×16位的H0。

2）4 k×16位的Boot ROM (3FF000H-3FFFC0H)。包含了Boot loader引導(dǎo)程序，當(dāng)芯片工作于微計(jì)算機(jī)模式，ROM內(nèi)的Boot loader引導(dǎo)程序在加電后自動(dòng)運(yùn)行，將外部載體(如ROM，串口)內(nèi)的用戶代碼加載到片外程序存儲(chǔ)器或片內(nèi)SRAM的任何空間。

3）內(nèi)部鎖相環(huán)電路(PLL)。在保持工作頻率相同的情況下,能夠使用低速的晶振或晶體,最高的鎖相倍數(shù)可達(dá)到數(shù)倍。

4）片上還包括SPI、SCIs、eCAN、McBSP，以及12位的ADC等。

其功能結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 TMS320F2812功能結(jié)構(gòu)圖

3 分裂基算法在F2812上的實(shí)現(xiàn)

3.1 系統(tǒng)硬件平臺(tái)設(shè)計(jì)

系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的硬件平臺(tái)框圖如圖4所示，它主要有TMS320F2812處理芯片、信號(hào)的采集調(diào)理電路、數(shù)據(jù)程序的存儲(chǔ)單元，以及按鍵顯示等電路構(gòu)成。

圖4 系統(tǒng)硬件平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖

本系統(tǒng)采用DSP TMS320F2812作為核心，相比于其它處理芯片而言，其具有更大的運(yùn)算能力，而且該型號(hào)的DSP在某一時(shí)刻，流水線上可以運(yùn)行8條指令，這樣大大提高了程序的執(zhí)行效率。在采集調(diào)理電路中，主要是對(duì)信號(hào)進(jìn)行相應(yīng)的信號(hào)轉(zhuǎn)換和放大處理，使得信號(hào)在0-3.3V內(nèi)，以滿足DSP的輸入要求。同時(shí)在ADC中可以選擇外接A/D轉(zhuǎn)換器，也可以使用芯片自帶的12位ADC，本系統(tǒng)采用了自帶的12位ADC。在芯片內(nèi)部雖然有數(shù)據(jù)和程序存儲(chǔ)器，但可根據(jù)數(shù)據(jù)處理量的大小進(jìn)行外擴(kuò)一部分存儲(chǔ)器。通過(guò)人機(jī)接口部分還可以控制和查看程序的運(yùn)行和輸出。

3.2 軟件程序的設(shè)計(jì)

這里采用的是基于頻域抽取(decimation in frequency)的原位(in place)分裂基算法[1,3]。程序共分3個(gè)部分：

1）進(jìn)行L型蝶形運(yùn)算，由一個(gè)3層循環(huán)嵌套構(gòu)成。最外層的循環(huán)對(duì)于N點(diǎn)FFT（N=2L）控制循環(huán)M回，只需在初始時(shí)給定N的值，就可以進(jìn)行相應(yīng)各點(diǎn)的FFT。中間的循環(huán)要進(jìn)行AK次，這里的AK等于N/2K+1次（0≤k≤L-1)，它表示在第k回循環(huán)分成了nK(nK=(1/3)[2k+(-1)K+1])組中每一組L型蝶形運(yùn)算的數(shù)目，同在一組具有相同的結(jié)構(gòu)及旋轉(zhuǎn)因子分布。里層的循環(huán)用來(lái)計(jì)算相鄰的蝶型運(yùn)算和他們的旋轉(zhuǎn)因子。

2）單獨(dú)計(jì)算基2蝶型運(yùn)算。

3）進(jìn)行整序運(yùn)算，在FFT中由于不斷地對(duì)輸入序列進(jìn)行奇偶抽取，導(dǎo)致序列最后按稱之為倒序的規(guī)律排列，所以最后要重新排序。

以其計(jì)算蝶形因子的部分程序?yàn)槔纾?/p>

3.3 調(diào)試仿真結(jié)果分析

當(dāng)輸入f=100Hz的正弦信號(hào)，采樣點(diǎn)N=256時(shí)，并調(diào)整采樣頻率使得256個(gè)點(diǎn)采樣時(shí)間為10ms，即一個(gè)輸入信號(hào)的周期，即截取信號(hào)的長(zhǎng)度T0=10ms(信號(hào)的周期)。我們?cè)贑CS仿真環(huán)境下觀察采樣后的正弦序列，如圖5所示，其中橫坐標(biāo)為采樣點(diǎn)，縱坐標(biāo)為輸入信號(hào)的幅值。對(duì)該正弦信號(hào)分別進(jìn)行基一2FFT計(jì)算和分裂基FFT計(jì)算，可分別得到其頻譜如圖6和圖7所示，其中橫坐標(biāo)為K，縱坐標(biāo)為x(k)。經(jīng)比較可知兩種方法得到的結(jié)果基本相同。

圖5 輸入f=100Hz的正弦序列，采樣點(diǎn)數(shù)=256

圖6 由基2算法得到的頻譜圖

圖7 由分裂基算法得到的頻譜圖

4 結(jié)束語(yǔ)

在工業(yè)控制的數(shù)據(jù)采集后的處理過(guò)程中，如何提高數(shù)據(jù)的精度和縮短處理所耗費(fèi)的時(shí)間，對(duì)工業(yè)控制系統(tǒng)的改進(jìn)有著至關(guān)重要的作用。通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)可以看出，分裂基FFT分析方法能快速有效地實(shí)時(shí)檢測(cè)出數(shù)據(jù)參數(shù)，保證了檢測(cè)精度的情況下，同時(shí)相對(duì)于其它算法而言有著更快的速度，從而提高了系統(tǒng)的效率。

[1] 胡廣書(shū).數(shù)字信號(hào)處理——理論、算法與實(shí)現(xiàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2003.

[2] 孫麗明.TMS320F2812原理及其C語(yǔ)言程序[M].北京：清華大學(xué)出版社,2008.

[3] 王裕,黃洪全.分裂基FFT在電力系統(tǒng)諧波檢測(cè)中的應(yīng)用[J].自動(dòng)化技術(shù)與應(yīng)用,2010,29(4)：73-76.

[4] 劉歡,謝志遠(yuǎn).分裂基FFT算法的討論與改進(jìn)[J].通信技術(shù),2008,3(41)：124-128.