鄧 磊，喬志德，楊旭東，熊俊濤

(1.西北工業(yè)大學翼型、葉柵空氣動力學國家級重點實驗室，陜西 西安 710072;2.機械與航空與太空工程系，加州大學歐文分校，CA 92697-3975)

0 引言

自人類實現(xiàn)動力飛行之后，減小阻力一直是飛行器設計的重要課題之一。20世紀30年代之后，自然層流(NLF)翼型的研究和設計引起了研究者的很大的興趣，如 NACA6-系列翼型［1］及其后發(fā)展的 NLF(1)-0414F［2］和 NLF(1)-0415F［3］等。

自然層流翼型的設計方法可以分為兩類:一種是由壓力或者速度分布的反設計方法［4-6］。這種方法計算量小，但是難點是目標壓力分布的設計且不一定有一個合適的翼型對應目標壓力分布，另外也難以進行多點/多目標的設計。另一種數(shù)值優(yōu)化方法［7-9］卻可以克服反設計中的這些困難。數(shù)值優(yōu)化方法可以用于滿足某些氣動或者外形約束條件的設計中，這些約束使設計目標滿足的同時而不損失其他重要的特性。數(shù)值優(yōu)化設計方法可以進行多點/多目標的設計，缺點是計算花費大，特別是進行更多設計變量和非線性優(yōu)化時尤為突出。

基于響應面方法［10］的優(yōu)化算法由于其高效、實用的特點廣泛使用于各個領域。響應面模型一般使用二階多項式，如果使用完全的二階多項式則構造模型所需的試驗次數(shù)和設計變量個數(shù)的平方成正比，限制了設計變量的個數(shù)。而如果使用不含二階交叉項的簡化模型，則可以大大減少構造模型需要的試驗次數(shù)，使進行更多設計變量優(yōu)化成為可能。以前的研究多將此方法應用于跨音速和超音速的翼型優(yōu)化中［11-14］。

在進行單設計點優(yōu)化中，在設計點上設計變量常常可以得到很好的優(yōu)化而在非設計點翼型性能會迅速變差。為此常需要第二設計點乃至第三設計點等，以保證在優(yōu)化設計中非設計點的性能。本文由單點/單目標優(yōu)化設計開始，分析了設計翼型性能的氣動性能，并在此基礎上選擇第二及第三設計點，并進行了多點/多目標的優(yōu)化設計。

1 流場分析和轉捩位置計算

在優(yōu)化設計中，構造響應面模型需要大量的流場計算，帶來巨大的計算花費。本文流場分析程序使用XFOIL［15］，對于粘性流體其采用了面元的方法和邊界層理論，計算快捷方便，適合于低速翼型的快速分析和設計。本文使用XFOIL程序來進行流場分析和轉捩位置的計算，大大減小了計算時間。文獻［16］用XFOIL計算了NLF(1)-0416和NLF(1)-0215F翼型并和試驗結果進行了比較，指出XFOIL程序可以用于優(yōu)化設計中計算不同外型的翼型氣動性能。本文的設計結果也證明了這一點。

2 數(shù)值優(yōu)化方法

2.1 響應面方法

響應面方法是采用試驗設計理論，對給定的設計點集合進行試驗，得到目標函數(shù)的響應面模型，來預測非設計點的響應的值。如果采用完全的二階多項式作為響應面模型，則可以表述為:

其中:nv為設計變量數(shù);ns為試驗次數(shù)，一般取為模型包含項數(shù) 的1.5 ～3倍［17］。由式(1)可以看出，nrc=(nv+1)(nv+2)/2，即ns與nv的平方成正比。比如如果進行26個設計變量的優(yōu)化設計，則構造一次響應面模型需要計算流場700次左右，大大限制了進行多設計變量和多設計點設計的可能。

如果采用不含二階交叉項的簡化模型。則模型可以描述為:

可以看出，nrc=2nv+1，如同樣進行26個設計變量的優(yōu)化，構造簡化模型只需計算流場80次左右，大大減小了試驗次數(shù)［12］。完全多項式模型和簡化模型均可以用最小二乘法來求解;試驗設計滿足D-優(yōu)化準則，這種試驗設計準則廣泛用于科研與生產(chǎn)實際中［18］。

2.2 設計變量

翼型外形的變化擾動是通過基本形函數(shù)bk的線性組合來實現(xiàn)的:

其中:δk取值(-1，0，1)，γk為設計變量控制因子，δkγk為控制變量;bk為形函數(shù)，在控制點xk處取最大值。

本文的研究中，共有26個設計變量，上下表面各13個，其 x 方向位置分別為:0.03，0.06，0.13，0.20，0.27，0.40，0.50，0.60，0.73，0.80，0.87，0.94，0.97。

bk定義為［16］:

2.3 目標函數(shù)

一般的優(yōu)化問題可以描述為［19］:

對多點/多目標優(yōu)化時，本文通過“統(tǒng)一目標函數(shù)”的方法，將多個目標函數(shù)統(tǒng)一到一個目標函數(shù)中:

其中:f為統(tǒng)一目標函數(shù)，q為分目標的個數(shù)，ωj為第j項指標根據(jù)其重要性給出的權值，frj為第j項指標通過“轉化設計目標法”計算的無量綱目標函數(shù)值，在(0～1)之間。權值的選擇，可能對結果有較大的影響。

構造完響應面模型并形成適當?shù)淖顑?yōu)化問題之后，就需要用數(shù)學規(guī)劃來求出優(yōu)化解。本文使用BOX復合形搜索法［20］來進行搜索，這種方法對帶約束的優(yōu)化問題有很好的魯棒性。

3 結果及分析

本文使用簡化的二階多項式模型，上下表面共26個設計變量，構造一次響應面模型計算流場80次。以NLF(1)-0416和Eppler387為原始翼型，進行高升阻比優(yōu)化設計，并要求設計翼型最大厚度不小于原始翼型。

3.1 NLF(1)-0416單設計點/單設計目標設計

首先進行基本設計點的單設計點的設計，目標函數(shù):最大化(CL/CD)。設計狀態(tài)為:M1=0.3，基于弦長的 Re1=6×106，CL不小于 0.6，選擇設計迎角 α =1°。圖1為優(yōu)化前后翼型壓力分布和外形的比較，可以看出CL有所增加，翼型外形變化不大，厚度基本保持不變。圖2為翼型特性比較，可以看出在設計點上，翼型的CL、CD及CL/CD均得到了改善，特別是CL/CD的最大值可以達到220左右，但在非設計點，如 CL＜0.6和CL＞1.4時翼型性能比原始翼型差。同時從轉捩位置的曲線上可以看出，上表面轉捩位置均好于原始翼型，下表面轉捩位置在設計點之前差于原始翼型，而這個位置和阻力差于原始的位置相吻合，也說明了自然層流翼型的阻力特性中轉捩位置的重要性。

3.2 NLF(1)-0416兩設計點/兩目標設計

圖1 單點設計翼型外形和壓力分布比較Fig.1 Comparison of airfoil shape and pressure for single-point design

圖2 單點設計時翼型性能比較Fig.2 Comparison of the performance for single-point design

為改善3.1中，大攻角時的升力特性，增加第二個設計點:M2=0.16，Re2=3 ×106，α2=12°，目標函數(shù):最大化(CL)。兩個設計點權值分別為0.6和0.4。圖3為翼型壓力分布和外形的比較?？梢钥闯鐾庑蔚淖兓∮?.1中的設計結果。圖4為設計翼型和初始翼型的性能比較。可以看出，大攻角時升力系數(shù)特性明顯改善，阻力系數(shù)在第一設計點之后和原始翼型變化不大，升阻比系數(shù)優(yōu)化的幅度小于3.1。同時可以看出當CL＜0.4時，阻力系數(shù)相較于原始翼型增加。

3.3 NLF(1)-0416三設計點/三目標設計

為改善3.2中CL之前的阻力特性，增加第三設計點 M3=0.4，Re2=6 ×106，α3=-2°，目標函數(shù):最小化(CD)。三個設計目標權值分別為0.5、0.3和0.2。圖5為壓力分布和翼型外形比較?？梢钥闯鲈O計翼型的下表面和原始翼型基本吻合，外形的變化主要在上表面。圖6為翼型特性比較?？梢钥闯?，升力增加的幅度變小，而只在CL＞0.2時，阻力大于原始翼型;力矩系數(shù)比原始翼型稍有增加;上表面的轉捩位置明顯優(yōu)于原始翼型。將3.1～3.3設計翼型在第一設計點時的氣動性能總結如表1。

圖3 兩點設計第一設計點翼型和壓力分布比較Fig.3 Comparison of airfoil shape and pressure distribution at condition I for two-point design

圖4 兩點設計第一設計點狀態(tài)時翼型性能比較Fig.4 Comparison of the performance at condition I for two-point design

圖5 三點設計第一設計點翼型和壓力分布比較Fig.5 Comparison of airfoil shapes and pressure distributions at condition I for three-point design

圖6 三點設計第一設計點狀態(tài)時翼型性能比較Fig.6 Comparison of the performance at condition I for three-point design

表1 設計結果在第一設計點時的性能比較Table1 Comparison of aerodynamic performance at condition I

為驗證本文設計方法，對三點設計結果和初始翼型作了CFD計算，計算網(wǎng)格448×112，壁面網(wǎng)格320，尾跡64，第一層網(wǎng)格距壁面1×10-6，湍流模型為S-A模型，轉捩位置使用Xfoil計算的轉捩位置;計算狀態(tài)M=0.3，Re=6×106。圖7為CFD計算結果，可以看出，在升阻比優(yōu)化的同時，升力特性和阻力特性均得到了改善，但是力矩系數(shù)比初始值要大。

圖7 NLF(1)-0416翼型優(yōu)化結果CFD計算比較Fig.7 Comparison of CFD results of NLF(1)-0416 and new designed airfoil

3.4 Eppler387翼型優(yōu)化設計

Eppler翼型在低雷諾數(shù)時上表面中部會出現(xiàn)分離氣泡［21］。本文以Eppler387翼型作為初始翼型，進行低雷諾數(shù)低馬赫數(shù)的升阻比優(yōu)化設計，并保持翼型的最大厚度不變。

設計狀態(tài):M=0.13，Re=0.46×106

設計點、目標函數(shù)和權值如下:

圖8為翼型外形和第一設計點時壓力分布的比較，設計翼型最大相對厚度0.09%，與初始翼型相同，由壓力分布可以看出，新翼型推遲了層流分離氣泡的產(chǎn)生。圖9為翼型氣動性能比較。設計翼型的升力系數(shù)比原始翼型有較大的增加，同時阻力系數(shù)在升力系數(shù)大于0.4之后也得到了優(yōu)化;上表面轉捩位置得到了改善，升力系數(shù)0.4之前的阻力增加是由于下表面轉捩位置差于原始翼型造成的，力矩系數(shù)比原始翼型有所增加。升阻比在第一設計點由94.4增加到117.9，第二設計點是最大升阻比則由112.3增加到129.2。

圖8 Eppler翼型優(yōu)化第一設計點翼型和壓力分布比較Fig.8 Comparison of airfoil shapes and pressure distributions at condition I for three-point design

圖9 三點設計第一設計點狀態(tài)時翼型性能比較Fig.9 Comparison of the performances at condition I for three-point design

4 結論

1)本文提供了一個有效、實用的多點/多目標自然層流翼型高升阻比優(yōu)化設計的方法。從設計結果可以看出，XFOIL可以進行有效地應用于翼型優(yōu)化設計中，大大減小了計算花費。

2)本文將響應面方法成功地用于自然層流翼型的高升阻比優(yōu)化設計中。簡化模型減小了構造模型中的試驗次數(shù)。

3)分析了由單點設計的結果提出第二、第三設計點和目標函數(shù)的方法。計算了設計翼型和原始翼型的氣動性能，比較了單點設計和多點設計結果，證明第二、第三設計點有效地保證了設計結果在非設計點的性能。

4)Eppler387翼型設計表明，本文的方法在升阻比優(yōu)化的同時，推遲了上表面層流分離氣泡的產(chǎn)生。

［1］ABBOTT I H;VON DOENHOFF，ALBERT E，STIVERS L S Jr.Summary of airfoil data［R］.NACA Report.824，1945.(Supersedes NACA WR L-560)

［2］SOMERS D M.Subsonic natural-laminar-flow airfoils.natural laminar flow and laminar flow control［M］.Springer-Verlag New York，Inc.，1992:143-176

［3］VIKEN J K，VIKEN S A，et al.Design of the low speed NLF(1)-0414F and the high speed HSNLF(1)-0213 airfoils with high-lift system［R］.NASA CP-2487，1987:637-671.

［4］SRILATHA K R，DWARAKANATH G S.Design of a natural laminar flow airfoil for a light aircraft［J］.Journal of Aircraft.1990，27(11):966-968.

［5］GREEN B E.An approach to the constrained design ofnatural laminar flow airfoils［R］.NASA CR-201686，1997.

［6］ASHOK G，MICHAEL S S.Low speed NLF airfoils:case study in inverse airfoil design［J］.Journalof Aircraft，2001，38(2):57-63.

［7］HAROLD Y.Multi-pointdesign and optimization ofa natural laminar flow airfoil for a mission adaptive compliant wing［R］.AIAA Paper 2008-293.

［8］JENDER L，ANTONY J.Natural-laminar-flow airfoil and wing design by adjoint method and automatic transition prediction［R］.AIAA Paper 2009-897，2009.

［9］DRIVER J，ZINGG D W.Optimized natural-laminar flow airfoil［R］.AIAA Paper 2006-247，2006.

［10］MYERS R H，MONTGOMERY D C.Response surface methodology:process and product optimization using designed experiments［M］.New York:Wiley，2002:1-78，351-401.

［11］GIUNTA A A.Aircraft multidisciplinary design optimization using design of experimental theory and response surface modeling methods［D］.Dissertation，Department of Aerospace Engineering，Virginia Polytechnic Institute and State University.Blacksburg，VA，1997.

［12］JAEKWON A，KWANJUNG Y，LEE D H.Two-pointdesign optimization of transonic airfoil using response surface methodology［R］.AIAA Paper 99-0403，1999.

［13］熊俊濤，喬志德.基于響應面法的跨音速翼型氣動優(yōu)化設計［J］.試驗流體力學，2005，19(1):104-108.

［14］熊俊濤，喬志德，韓忠華.響應面方法在跨聲速翼型氣動優(yōu)化設計中的應用研究［J］.西北工業(yè)大學學報，2006，24(2):232-236.

［15］DRELA M.XFOIL:an analysis and design system for low reynolds number airfoils［M］.Lecture notes in engineering(Volume 54， Low Reynolds Number Aerodynamics)，Springer-Verlag，New York，1989.

［16］ASHOK G，MICHAEL S S.Low-speed natural-laminar-flow airfoils:case study in inverse airfoil design［J］，Journal of Aircraft，2001，38(1):57-63.

［17］AHN J，KIM H J，LEE D H，RHO O H.Response surface method for airfoil design in transonic flow［J］.Journal of Aircraft，2001，38(2):231-238.

［18］任露泉.試驗優(yōu)化設計與分析［M］，高等教育出版社，2003.

［19］VANDERPLAATS G N.Numerical optimization techniques for engineering design［M］.McGraw-Hill Book Company，New York，NY，1984.

［20］盧險峰.最優(yōu)化方法應用基礎［M］.上海:同濟大學出版社，2003:107-137.

［21］BRYAN D M，MICHAEL S S.Surface oilflow measurements on several airfoils at low reynolds numbers［R］.AIAA 2003-4067.