楊帆，林平分

（北京工業(yè)大學(xué)嵌入式重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124）

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收端設(shè)備為了保持采樣時(shí)鐘與接收到的信號互相同步，必須計(jì)算采樣時(shí)間與信號上的最佳采樣點(diǎn)之間的時(shí)間差，即采樣時(shí)鐘偏差τ，并且跟蹤這個(gè)τ，使得τ保持在足夠小的范圍內(nèi)。TED（Timing Error Detector）就是計(jì)算采樣時(shí)鐘偏差τ的模塊。TED模塊只負(fù)責(zé)計(jì)算出這個(gè)采樣時(shí)鐘偏差τ，然后由PLL等模塊負(fù)責(zé)把該時(shí)鐘偏差糾正過來，從而實(shí)現(xiàn)發(fā)送和接收的同步采樣。

Gardner算法[1]是數(shù)字通信接受端上被廣泛使用的一種TED（Timing Error Detector）算法，它擁有實(shí)現(xiàn)簡單、硬件消耗較小、精確度高、對相位偏差不敏感的特點(diǎn)。但是這個(gè)算法的可行性有一定的前提：即假設(shè)每個(gè)采樣值的相位偏差不變，也就是說沒有載波偏差。當(dāng)假設(shè)條件不滿足時(shí)，算法的性能將會受到影響，可能無法達(dá)到系統(tǒng)的性能要求。為了解決這個(gè)問題，本文提出了一種基于Gardner算法的改進(jìn)算法，該算法可以在載波偏差存在的情況下工作，并且表現(xiàn)出接近無載波偏差時(shí)的性能，提高了原算法的可靠性和準(zhǔn)確度。此外還對改進(jìn)的算法進(jìn)行了仿真和驗(yàn)證，并列出了仿真結(jié)果，仿真結(jié)果證明改進(jìn)后的算法在載波偏差處于一定范圍時(shí)，可以提高原算法的精確度30%~93%。

1 原理描述與數(shù)學(xué)證明

Gardner算法在每個(gè)符號周期T內(nèi)只需要采樣2次。改進(jìn)算法只增加了一個(gè)計(jì)算模塊和一個(gè)乘法器，如圖1所示。

圖1 改進(jìn)后的算法結(jié)構(gòu)Fig.1The improved algorithm’sstructure

圖1中，{x（rT）}是采樣后的信號，如果{x（rT）}不帶有載波偏差，經(jīng)過原Gardner算法模塊，輸出是{E（U（τ））}值，在采樣信號平均功率既定的條件下，{E（U（τ））}與τ滿足確定的對應(yīng)關(guān)系，由這個(gè)關(guān)系函數(shù)可以計(jì)算出τ的值，再把τ輸出給糾正采樣時(shí)鐘偏差的模塊，完成糾正任務(wù)，同時(shí)TED會不斷重復(fù)計(jì)算{E（U（τ））}的值來跟蹤τ的變化。如果{x（rT）}帶有載波偏差，{E（U（τ））}與τ的對應(yīng)關(guān)系改變。改變后的對應(yīng)關(guān)系沒有使{E（U（τ））}失去計(jì)算出τ的能力，而是使得{E（U（τ））}計(jì)算出τ的精確度變差。精確度變差會影響TED跟蹤τ值的能力。為了在載波偏差存在的情況下得到較好的精確度，改進(jìn)后的算法給采樣信號乘上一個(gè)輻角隨序列號r線性增加的函數(shù)，如圖1中的exp{j2πfarT}，這個(gè)乘法相當(dāng)于給采樣信號做了一個(gè)跨度為fa的頻譜搬移。載波偏差的增加對Gardner算法精確度的影響不是線性增加的，也就是說并非載波偏差越大，對精確度的影響就越大。載波偏差的增加對Gardner算法的精確度的影響是周期變化的，后文會證明出這個(gè)周期是，所以當(dāng)載波偏差是的倍數(shù)時(shí)，Gardner算法的精確度會表現(xiàn)得接近于沒有載波偏差，不需要計(jì)算出載波偏差本身，只需要計(jì)算出載波偏差與最臨近的的倍數(shù)的差值，再把采樣信號在頻域上搬移這個(gè)差值，這樣相當(dāng)于把載波偏差搬移到對精確度影響最小的區(qū)間。這樣就使得在載波偏差存在的情況下，τ的計(jì)算擁有更好的精確度。

計(jì)算模塊的任務(wù)是由圖1中的{E（U（τ））}序列和τ序列計(jì)算出搬移距離fa的中間變量，乘法器的任務(wù)是把采樣信號做跨度為fa的搬移。

采樣之前的信號中，每一個(gè)符號所持續(xù)的時(shí)間T內(nèi)有一個(gè)最佳采樣點(diǎn)，Gardner算法要求在每個(gè)預(yù)計(jì)的最佳采樣點(diǎn)上采樣，并且在每兩個(gè)最佳采樣點(diǎn)之間的時(shí)間段的正中央采樣，每個(gè)符號周期內(nèi)采樣2次[2]。預(yù)計(jì)的最佳采樣點(diǎn)與真實(shí)的最佳采樣點(diǎn)之間的時(shí)間差即為采樣時(shí)鐘偏差τ。

用r代表符號序列，用{x1（rT）}和{xQ（rT）}來表示在第r個(gè)符號周期內(nèi)最佳采樣點(diǎn)上的采樣

之間的時(shí)間段的正中央的采樣值。其中{x1（rT）}、{xQ（rT）}，（r∈N）即采樣得到的數(shù)字信號，將被TED以外的其他模塊所使用。據(jù)。Gardner算法的表達(dá)式是：

當(dāng)采樣時(shí)鐘偏差為零，即τ=0時(shí)，有：

為了論述簡潔，不妨只針對路信號論述，

圖2 信號的采樣時(shí)間Fig.2Sample time on the signal

圖2摘自文獻(xiàn)[2]。圖2中黑色箭頭所指的位置：B點(diǎn)、D、F、H點(diǎn)表示最佳采樣點(diǎn)，即{x1（rT）}，（r∈N）；黑色豎線所指的位置：A、C、E、G點(diǎn)表號大小的單位時(shí)，不妨認(rèn)為x1（B）=1，x1（D）=1，x1（F）=x1（H）=1，x1（A）=x1（C）=x1（E）=0顯然可得:

即在信號由1翻轉(zhuǎn)為-1、由-1翻轉(zhuǎn)為1、不翻轉(zhuǎn)這3種情況下{UIr（0）}的值都是0。這個(gè)結(jié)論也適用于{UIQ（0）}，即在τ=0的情況下有Ur（0）=UIr（0）+UQr（0）=0。在τ偏離0的時(shí)候，{Ur（0）}也偏離0，偏離大小隨翻轉(zhuǎn)情況不同而不同。由于信號翻轉(zhuǎn)情況的概率服從既定的分布率的[3]，{Ur（0）}的統(tǒng)計(jì)均值{E（Ur（0））}在τ偏離0時(shí)的值是可以確定的。Gardner的論文[1]中已經(jīng)詳盡證明，在相位偏差不變、經(jīng)過接收機(jī)濾波后的符號脈沖為偶函數(shù)、信號帶寬超過采樣頻率40~100%的條件下，

由于{E（Ur（0））}是統(tǒng)計(jì)均值，已經(jīng)與具體的符號序列無關(guān)，所以略去腳標(biāo)r。K是由采樣頻率、符號脈沖在頻域的形狀所決定的一個(gè)值[4-6]，在符號脈沖和采樣頻率確定時(shí)，K可以視為常量。所以得到{E（Ur（τ））}隨τ變化的函數(shù)圖形如圖3所示。

由于{E（Ur（τ））}顯然是周期為T的周期函數(shù)，圖3中只給最佳采樣點(diǎn)的采樣值的能量歸一化為1時(shí)，{E（U（τ））}函數(shù)圖形在τ=0處的斜率最大值0.25，最小值-0.25。{E（U（τ））}函數(shù)在τ=0處的導(dǎo)數(shù)代表了這個(gè)TED算法的精確度。因?yàn)門ED模塊是用{E（U（τ））}的值來估計(jì)τ的值的，在信噪比一定的情況下，TED模塊可分辨{E（U（τ））}的值的精度就是一定的，設(shè)這個(gè)精度值是Δ{E（U（τ））}，確定Δ{E（U（τ））}的值在τ=0附近對應(yīng)的Δτ也是確定的。TED模塊可以分辨的最小的Δτ可以這樣計(jì)算出來：

所以，信噪比一定的情況下，{E（U（τ））}函數(shù)在τ=0處的導(dǎo)數(shù)越大，TED模塊可分辨的最小值Δτ越小，精確度也就越好。

Gardner算法的成立條件大多是容易滿足的，只有假設(shè)相位偏差恒定這一條不容易滿足[7]。如果有載波偏差存在，相響，在載波偏差Δf與符號周期T之間滿足等近于0，Δτ趨近于無窮大，TED模塊的精確度也就趨近于無窮差。現(xiàn)在證明這一點(diǎn)：

設(shè)有載波偏差的信號y（t）=x（t）·exp（j2πΔft），x（t）此時(shí)為沒有載波偏差的理想信號，有

假設(shè)可以對x（t）進(jìn)行直接采樣，令對x（t）進(jìn)行直接采樣得到的Gardner算法表達(dá)式是Ur（τ）ideat。y（t）對采樣得到的Gardner算法表達(dá)式是Ur（τ）offset，有：

把式（9）代入式（10）中，合并同類項(xiàng)后得到：

其中H1、H2、H3和H4分別代表一個(gè)關(guān)于Δf和τ的三角函數(shù)：

運(yùn)用三角公式，有：

對于H3和H4情況做同樣的推導(dǎo)，可得：

將式（14）代入式（11）可以得到：

圖4 Δf對精度的周期影響Fig.4Δf’s periodical impact on the accuracy

對于解決這個(gè)問題，只需對有載波偏差的信號做一個(gè)跨度為fa的頻譜搬移，使得{fa+Δf}的值處于對TED精度幾乎沒有影響的區(qū)間上。fa的值可以在不求得Δf的情況下得到。因?yàn)閏os（πΔf·T）的值可得，所以可以得的最大的整數(shù)，如圖4所示。cos（πΔ·fT）的值是由式（14）得到的。塊的工作原理并非一勞永逸地計(jì)算出一個(gè)不變τ的值，而是始終不斷地計(jì)算{E（Ur（τ））}的值來跟蹤τ值的變化[8]，所以TED會反復(fù)計(jì)算出τ=0附近的多個(gè){E（Ur（τ））}的值，只需要把這些值存儲下在TED內(nèi)，并不斷更新，就能計(jì)算出于在信號平均功率、采樣周期、脈沖形狀既定的情況據(jù)式（14），cos（πΔf·T）也可以得出，從而得出fa：

得到fa后只需用y（τ+rT）·exp（j2πfa·rT），（r∈N）和y（τ+可得到幾乎不受Δf影響的接近{E（Ur（τ）ideal）}的{E（Ur（τ））}值，從而在有載波偏差的情況下得到高精度的τ。

2 仿真結(jié)果

原算法和改進(jìn)后的算法使用matlab7.0做了對比仿真，圖5中的左右兩個(gè)圖都是由仿真得到。圖5中縱軸是把接收信號采樣點(diǎn)的平均功率歸一化為1后，Gardner表達(dá)式的值，橫軸是用2 000個(gè)離散的時(shí)間代表一個(gè)周期τ內(nèi)的連續(xù)時(shí)間。由結(jié)果可以清晰看到，改進(jìn)后的算法可以對每一個(gè)Δf都能給出在τ=0附近有較大斜率的曲線，也就是說：對仿真中使用的每一個(gè)Δf的值，改進(jìn)后的算法都不受影響，能給出接近理想的精度。仿真使用的是QPSK信號，符號函數(shù)使用的是滾降系數(shù)是0.5的升余弦函數(shù)，AWGN信道。圖5是輸入信號信噪比為30 dB的仿真結(jié)果。

圖5 對比仿真結(jié)果Fig.5Simulation results in contrast

表1 改善前后精確度對比Tab.1Accuracy contrast

3 結(jié)論

本文提出了一種對數(shù)字通信中的TED模塊Gardner算法的改進(jìn)，并給出了改進(jìn)算法的數(shù)學(xué)證明和仿真結(jié)果。改進(jìn)后的算法增強(qiáng)了Gardner算法可能對抗波偏差的性能，同時(shí)繼承了Gardner算法的實(shí)現(xiàn)簡單、硬件消耗較小、精確度高、對相位偏差不敏感的特點(diǎn)。同Gardner算法一樣，改進(jìn)后的算法適用于BPSK、QPSK的帶限信號和AWGN信道，對QAM信號和嚴(yán)重的多徑信道表現(xiàn)欠佳。

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