崔連杰，宋建鋒，張敏，許靜

（1.遼寧紅沿河核電有限公司遼寧大連116001；2.山東魯能控制工程有限公司山東濟南250021）

在眾多多變量控制系統(tǒng)的設計方法中，由Rosenbrock提出的Nyquist陣列的設計方法[1]（正奈奎斯特陣列設計方法（DNA）和逆奈奎斯特陣列設計方法（INA））是一種有效的頻率域設計方法。能否有效使用Nyquist陣列設計方法對控制系統(tǒng)進行工程設計的關(guān)鍵在于如何用盡量簡單的物理可實現(xiàn)環(huán)節(jié)設計預補償器實現(xiàn)對象傳遞函數(shù)矩陣的對角優(yōu)勢，預補償矩陣最好是常數(shù)矩陣。

目前，有很多關(guān)于常數(shù)補償矩陣的文獻。針對常數(shù)補償矩陣能否實現(xiàn)對角優(yōu)勢的條件問題，文獻[2]～[6]都給出了各自的結(jié)論，其中文獻[2]不僅給出了用常數(shù)補償矩陣在單點處實現(xiàn)對角優(yōu)勢的充分必要條件，而且給出了用常數(shù)補償矩陣在某頻段內(nèi)實現(xiàn)對角優(yōu)勢的充分條件，但它所給的用常數(shù)補償矩陣在單點處實現(xiàn)對角優(yōu)勢的充分必要條件不夠直觀，從而導致所給出的用常數(shù)補償矩陣在某頻段內(nèi)實現(xiàn)對角優(yōu)勢的充分條件過于狹隘，本文針對這個問題，提出了自己的見解。針對求解常數(shù)矩陣實現(xiàn)對角優(yōu)勢的問題，文獻[1]～[10]給出了計算方法，其中文獻[2]、[7]分別給出了一種在某個頻段上實現(xiàn)對角優(yōu)勢的算法。文獻[2]所給出的在某個頻段上常數(shù)補償矩陣實現(xiàn)對角優(yōu)勢的算法，過于保守，從而導致計算結(jié)果較差。在文獻[2]中所給定理1的理論基礎之上，文獻[7]提出了一種以偽對角化方法為基礎的對角優(yōu)勢尋優(yōu)算法。

筆者在詳細分析文獻[2]所提出算法的基礎上，給出了兩種更合理，更有效的尋優(yōu)算法。首先，詳細分析了文獻[2]所提出算法；其次，提出了兩種尋優(yōu)改進算法，并通過一個典型實例，對本文所提出的算法和文獻[2]所提出的算法進行了比較分析；最后，給出本文合理的結(jié)論。

1 計算原理

設對象傳遞函數(shù)矩陣為

常數(shù)補償矩陣為

則補償后對象傳遞函數(shù)矩陣為

為了方便表述推導過程，需要定義一個映射矩陣，該映射矩陣如下所示：

Pj為2m×2m陣，并且

α≤2為常數(shù)，j=1，2，…，m。則開環(huán)系統(tǒng)可由常數(shù)補償矩陣K在si點處實現(xiàn)對角優(yōu)勢的充分必要條件是λmax[Z]＞0，j=1，2，…m。

文獻[2]在論證定理1時，直接從列對角優(yōu)勢的定義入手，其計算推導過程簡述如下。

其中

此后，文獻[2]將結(jié)論的論證轉(zhuǎn)變?yōu)檎撟Cθj*（si）的符號是否為正的問題。

從上述論證過程中不難發(fā)現(xiàn)：要論證θj*（si）的符號是否可以為正，只需論證是否有正的特征值，所以，定理1的結(jié)論還可以描述為：在的m個特征值中λi（i=1，2，…m）中，至少有一個的特征值λj＞0，因此，從定理1中得到一個推理，如下所示。

從準確性的角度看，推論與定理1是等價，但推論所給出的結(jié)論更直接，更實用。本節(jié)算法就是受此推理的啟發(fā)而設計出來的。此外，文獻[2]中給出了定理2，表述如下：

定理2設系統(tǒng)在si∈[s0，sn]上均有λmax[Zij2]成立，其中

定義

文獻[2]所給算法就是基于該定理所給出的，它直接把計算結(jié)果鎖定到滿足定理2條件的λmax[Z]對應的特征向量上，缺乏尋優(yōu)的環(huán)節(jié)，因此導致了計算結(jié)果較差。另外，文獻[2]在其所給定理1的基礎上對該定理的進行了論證，但不夠詳細，而且有點錯誤，在此，在本節(jié)所給出推理的基礎上重新給出了定理2的詳細證明。

在證明之前，先簡單介紹一下證明的思路。在某個頻段內(nèi)的所有點處都能使用常數(shù)矩陣實現(xiàn)對角優(yōu)勢的前提下，如果根據(jù)某個點處所求取的k·j來實現(xiàn)整個頻段內(nèi)的對角優(yōu)勢，那么這個點必定要滿足一定的條件，這個定理正是解決了這個問題。在理解了定理2所解決的問題后，從何入手證明定理2的問題也就不難解決了。如果某點對應的能實現(xiàn)傳遞函數(shù)矩陣在該點處，而且在此考慮頻段內(nèi)的其他各點處都具有對角優(yōu)勢的性質(zhì)，那么該點就是定理2所要找的點。即對于h=1，2，…n，且的證明思路，詳細證明過程如下所述。

則

從上述證明中，本文修改了文獻[2]的定理2中的結(jié)論，即文獻[2]中是取矩陣的最大特征值，而本文取矩陣某個正特征值。這樣一來，就放寬了所要尋找點的約束條件，從而擴大了求取常數(shù)補償矩陣的范圍，因而使得找到比文獻[2]中所給算法更優(yōu)解成為可能。修改后的定理2描述如下：

定義

2 算法實現(xiàn)與實例

本節(jié)所提出的兩種常數(shù)補償矩陣的計算方法都屬于尋優(yōu)算法，它們有別于文獻[2]所給算法，因此，需要引入了優(yōu)勢度目標函數(shù)，優(yōu)勢度目標函數(shù)定義如下：

對于傳遞函數(shù)矩陣G（s），設si∈[s0，sn]是滿足定理3所給條件的一個點，由其求得的常數(shù)補償陣為k，相應的G（s）k的優(yōu)勢度曲線為f（s），其數(shù)值計算公式如下所示：

本節(jié)所給出兩種優(yōu)化算法在計算步驟上有一定的相似性，這種相似性如流程圖1所示。兩者主要的差別在于如何基于所存儲的相關(guān)數(shù)據(jù)尋找某種意義上的最優(yōu)常數(shù)補償矩陣，在下面的論述中，主要針對這個問題對兩種優(yōu)化算法進行討論。

圖1 算法流程圖Fig.1Flow chart of algorithm

2.1 優(yōu)化算法一

該算法是以優(yōu)化文獻[2]所給算法為目的而提出的一種算法。其計算原理簡單描述如下：

文獻[2]中的算法是基于定理2而給出的，而該算法是基于修改后的定理2（即定理3）給出的，即在滿足定理1的判斷條件的前提下，尋找滿足定理3所給條件的點。然后，通過對這些點所對應的常數(shù)補償矩陣的優(yōu)勢度目標函數(shù)值的比較，搜尋最佳優(yōu)勢度的常數(shù)補償矩陣。

2.2 優(yōu)化算法二

該算法是基于進一步改進優(yōu)化算法一的目的而給出的一種算法。其計算原理簡單分析如下。

在證明定理3時，使用了如下的不等式：

上述不等式?jīng)Q定了定理3給出的只是一個充分條件，即滿足條件

這個問題可以通過減小不等式3.2的兩側(cè)表達式之間差距的方法來解決，或者索性為算法中判斷的依據(jù)。優(yōu)化算法二就是基于這種思想而得到的。

2.3 計算實例

文獻[2]以傳遞函數(shù)矩陣

在[0，10]上的實現(xiàn)對角優(yōu)勢作為實例。為了便于比較，本節(jié)也以此傳遞函數(shù)矩陣在[0，10]上的實現(xiàn)對角優(yōu)勢作為計算實例。

上述兩種優(yōu)化算法及文獻[2]所給算法對應的計算結(jié)果如表1所示。若定勢度，實例傳遞函數(shù)矩陣在上述三種算法對應的常數(shù)矩陣補償后的優(yōu)勢度曲線如圖2所示。

表1 各個算法的計算結(jié)果Tab.1Results of all algorithms

圖2 常數(shù)矩陣補償后的實例傳遞函數(shù)矩陣優(yōu)勢度曲線Fig.2Column dominance curve of example system after compensating with constant matrix

2.4 算法比較

在第2節(jié)中，已經(jīng)對文獻[2]所給算法做了相關(guān)的分析，在此不再贅述?？傊墨I[2]中所給算法簡單易行，計算量小，但是計算邏輯過于狹隘，從而導致其計算結(jié)果較差，這點可以從圖2的優(yōu)勢度曲線的比較中得到印證。

與文獻[2]所給算法相比，優(yōu)化算法一克服了文獻[2]所給算法計算結(jié)果較差的缺點，這可以從圖2的優(yōu)勢度曲線的比較中得到印證。而且計算思路清晰，同時，由于優(yōu)化算法一前后步驟息息相關(guān)，即保存前面步驟計算中相關(guān)的數(shù)據(jù)，在后續(xù)步驟中直接使用這些相關(guān)的數(shù)據(jù)，從而減少了計算量，提高了算法的尋優(yōu)效率。

與優(yōu)化算法一相比，優(yōu)化算法二的計算結(jié)果更優(yōu)，同樣，這可以從優(yōu)勢度曲線的比較中得到印證，但計算量較大。同樣，優(yōu)化算法二的計算思路清晰，同時，前后步驟息息相關(guān)，從而減少了計算量，提高了算法的尋優(yōu)效率。

這里需要指出本節(jié)所給的兩種優(yōu)化算法都屬于尋優(yōu)算法，而文獻[2]所給算法只是給出一個可行性結(jié)果，并沒有尋優(yōu)的環(huán)節(jié)，因此，在計算量方面，本節(jié)所給的兩種優(yōu)化算法與文獻[2]所給算法沒有可比性。

3 結(jié)論

本文所給的兩種常數(shù)補償矩陣算法克服了文獻[2]所給算法計算結(jié)果過差地缺點，并極大限度地提高了算法的計算效率。實例計算結(jié)果表明這兩種方法是計算某頻段上實現(xiàn)對角優(yōu)勢的常數(shù)補償矩陣的更有效的工程實用化算法。

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