徐馳，韓磊，張書第，韓東

（海軍大連艦艇學(xué)院，遼寧大連 116018）

0 引言

矩陣濾波技術(shù)源于短數(shù)據(jù)濾波。傳統(tǒng)的FIR數(shù)字濾波器適用于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較大的信號(hào)濾波，當(dāng)信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，由于FIR濾波器階數(shù)的制約，不能得到期望的濾波效果，矩陣濾波器能針對(duì)短數(shù)據(jù)長(zhǎng)度信號(hào)設(shè)計(jì)，可在信號(hào)長(zhǎng)度較短時(shí)得到所需的通阻帶響應(yīng)效果［1－4］。根據(jù)矩陣濾波器的特點(diǎn)，它不僅可以用于短數(shù)據(jù)濾波，還可應(yīng)用于陣列數(shù)據(jù)預(yù)處理。在陣列數(shù)據(jù)用于目標(biāo)定向或定位算法之前濾波，可濾除或保留某一方位或扇面的信號(hào)及噪聲，能有效提高目標(biāo)檢測(cè)能力及定位精度［5－10］。

在矩陣濾波器的設(shè)計(jì)方法中，Vaccaro［1－2］將濾波器對(duì)離散化的通帶響應(yīng)誤差、阻帶響應(yīng)和過渡帶振幅作為目標(biāo)函數(shù)及約束條件構(gòu)造凸規(guī)劃問題設(shè)計(jì)濾波矩陣;韓東［2］將Vaccaro的方法改進(jìn)，得到了連續(xù)方式的解表達(dá)式，不僅提高了設(shè)計(jì)效率，也減少了計(jì)算量;Zhu［3－4］和鄢社鋒［6－7］設(shè)計(jì)了恒定阻帶抑制的矩陣濾波器，并將矩陣濾波器用于目標(biāo)方位估計(jì)的預(yù)處理;自適應(yīng)預(yù)濾波方法由Hassanien［8］提出，所構(gòu)造最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)中包含陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，也即包含輸入信號(hào)在各頻率的能量信息，利用此信息實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波。以上這些矩陣濾波器的設(shè)計(jì)算法都存在一個(gè)共同的問題，即需要利用復(fù)雜的軟件或迭代算法才能給出矩陣濾波器的最優(yōu)解，不適用于大陣元的濾波器設(shè)計(jì)問題。

本文在最小二乘矩陣濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，利用奇異值分解給出了濾波器的簡(jiǎn)化表達(dá)式及總體誤差，方法簡(jiǎn)單，設(shè)計(jì)效率高。通過改變通帶阻帶位置、通帶阻帶帶寬及陣元數(shù)等條件，分析得出這些因素對(duì)最小二乘矩陣濾波器性能的影響趨勢(shì)，為矩陣濾波器的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供參考。

1 最小二乘矩陣濾波器設(shè)計(jì)

考慮等間隔均勻線列陣，接收陣列數(shù)據(jù)為X（k） =AS（k）+N（k），設(shè)計(jì)一個(gè)M×M維矩陣濾波器H對(duì)均勻線列陣數(shù)據(jù)進(jìn)行陣元域?yàn)V波，濾波輸出為:

式中:AH=HA;NH（k）=HN（k）。

對(duì)全空間的波達(dá)方向進(jìn)行細(xì)分，細(xì)分點(diǎn)數(shù)為D，該矩陣濾波器對(duì)不同方向到達(dá)陣元的方向向量響應(yīng)為

為使該矩陣濾波器保留感興趣方向的信號(hào)，濾除不感興趣方向的噪聲，并且限制過渡帶的輸出響應(yīng)，可通過對(duì)不同的方向θi設(shè)計(jì)不同的k（θi），1≤i≤N值實(shí)現(xiàn)。

定義由全空間方向向量構(gòu)成的陣列流形為X=［a（θ1，…，a（θD））］，維數(shù)為M×D，期望響應(yīng)向量構(gòu)成的期望陣列流形為Y=［k（θ1）a（θ1），…，k（θD）a（θD）］。所以，矩陣濾波器的設(shè)計(jì)問題就是求矩陣H，使HX=Y。

假設(shè)濾波器矩陣為

式中，hk=［hk1，hk2，…，hkM］，1≤k≤M是對(duì)應(yīng)矩陣濾波器H的第k個(gè)行向量。令y=［h1，h2，…，hM］T，維數(shù)為M2×1，通過求解向量y就可以重構(gòu)出矩陣濾波器H。

方向向量a（θj）經(jīng)矩陣濾波器作用后，輸出響應(yīng)Ha（θj）=k（θj）a（θj），1≤j≤D可轉(zhuǎn)化為如下的線性方程組:

通過矩陣變換及所構(gòu)造的V和b，矩陣濾波器設(shè)計(jì)問題HX=Y轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性方程組求解問題，

該線性方程組的線性方程數(shù)目為DM，未知數(shù)個(gè)數(shù)為M2。該線性方程組的解y受方程組系數(shù)矩陣V的秩決定，當(dāng)rank（V）=M2且線性方程組行數(shù)目DM大于未知數(shù)個(gè)數(shù)M2時(shí)，該方程組存在最小二乘解。

求矩陣V的秩。重排矩陣的各行不改變矩陣的秩，對(duì)矩陣V重排，可得:

式中，X為Vandermonde矩陣，當(dāng)D＞M時(shí)，該矩陣列滿秩，反之則行滿秩。即

通常，對(duì)接收陣列數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣濾波處理，對(duì)通帶、過渡帶、阻帶的離散化向量數(shù)目總和D遠(yuǎn)大于接收陣陣元數(shù)目M，這說明矩陣V是列滿秩的，即線性方程組Vy=b是超定的，可利用誤差平方和最小求出該方程組的最小二乘解。

通過以西北師大的研究生新媒體運(yùn)營(yíng)為例進(jìn)行的受眾分析研究，我們發(fā)現(xiàn)了存在于高校新媒體運(yùn)營(yíng)中的一些問題，了解到受眾與平臺(tái)之間的重要聯(lián)系，只有在明確受眾群體的需求上，進(jìn)行針對(duì)受眾的內(nèi)容創(chuàng)新是新媒體運(yùn)營(yíng)發(fā)展的關(guān)鍵。以上問題及相應(yīng)的可行性運(yùn)營(yíng)建議，不僅適用于西北師大研究生會(huì)新媒體運(yùn)營(yíng)，對(duì)于甘肅各高校研究生新媒體運(yùn)營(yíng)平臺(tái)也具有一定的借鑒意義。

式中:（·）H為矩陣共軛轉(zhuǎn)置;（·）－1為方陣求逆矩陣。（VHV）－1VH是V的左偽逆矩陣，利用求得的y就可以重構(gòu)出矩陣濾波器H。

由前面構(gòu)造可知，V的維數(shù)為DM×M2，b的維數(shù)為DM×1，所以利用V的左偽逆與b的乘積求解y計(jì)算量非常大，影響了運(yùn)算效率，結(jié)果的準(zhǔn)確性受運(yùn)算軟件的制約。通過化簡(jiǎn)可得到矩陣濾波器最小二乘解的陣列流形矩陣運(yùn)算形式。

式中，Bi（1≤i≤M）的維數(shù)為M×1，且

利用式（14）構(gòu)造矩陣W=［B1，B2，…，BM］，維數(shù)為M×M。矩陣W與矩陣X，Y的關(guān)系為

（·）*表示矩陣共軛。合并式（13）和式（14），有

重排向量y，可得:

即矩陣濾波器H等于期望陣列流形Y與原陣列流形X的右偽逆XH（XXH）－1的乘積?？梢酝ㄟ^期望陣列流形中波達(dá)方向系數(shù)k（θj），1≤j≤D的設(shè)置得到不同類型的矩陣濾波器。

2 奇異值分解濾波器誤差分析

本節(jié)利用奇異值分解給出最小二乘矩陣濾波器的簡(jiǎn)化運(yùn)算形式，并分析濾波器響應(yīng)整體誤差。上節(jié)給出了最小二乘矩陣濾波器的數(shù)值解，即矩陣濾波器H等于期望陣列流形Y與原陣列流形X的右偽逆XH（XXH）－1的乘積?，F(xiàn)利用矩陣奇異值分解簡(jiǎn)化式（15）的濾波器設(shè)計(jì)。由前述已知rank（X）=M，假設(shè)陣列流形的奇異值分解為

其中，U∈CM×M，Q∈CD×D，U和Q都是酉矩陣，ΣX=［Σ1，0M×（D－M）］∈CM×D，Σ1=diag（r1，r2，…，rM）∈RM×M。由于rank（X）=M，因此ri≠0，i=1，…，M，利用奇異值分解可得:

濾波輸出總體誤差為:

3 仿真分析

最小二乘矩陣濾波器的性能主要與濾波器通帶阻帶位置、通帶阻帶帶寬及陣元數(shù)等因素有關(guān)。通過計(jì)算機(jī)仿真，分析各因素對(duì)矩陣濾波器歸一化總體均方誤差的影響，為矩陣濾波器設(shè)計(jì)和使用提供參考。歸一化總體均方誤差值可以度量矩陣濾波器對(duì)空間各向信號(hào)的濾波效果，定義歸一化總體均方誤差為:

其中，ΩP和ΩS分別表示通帶區(qū)域和阻帶區(qū)域。最小二乘矩陣濾波器的總體誤差與通帶位置有關(guān)。下面通過計(jì)算機(jī)仿真分析研究最小二乘矩陣濾波器隨通帶位置變化的響應(yīng)及歸一化總體均方誤差。

假設(shè)水聽器線列陣陣元間隔為半波長(zhǎng)且均勻分布，陣元個(gè)數(shù)為30。下面設(shè)計(jì)1個(gè)單通帶矩陣濾波器，通帶的帶寬固定為30°。通帶、阻帶和過渡帶的離散化采樣間隔均設(shè)置為1°。給出通帶中心位置為10°，15°，30°，45°，60°時(shí)矩陣濾波器的空域響應(yīng)

從圖1的仿真結(jié)果可知，在固定通帶寬度和陣元數(shù)的情況下，通帶處于正橫位置時(shí)，最小二乘矩陣濾波器具有最佳的空域響應(yīng)效果。隨著通帶中心位置向端首或端尾的外移，通帶響應(yīng)誤差及阻帶響應(yīng)誤差隨之增大。圖2給出了不同陣元數(shù)情況下，最小二乘矩陣濾波器總體均方誤差隨通帶中心位置變化的趨勢(shì)。由仿真結(jié)果可知，在相同陣元數(shù)情況下，隨通帶外移，歸一化總體均方誤差增大。在固定通帶中心位置情況下，隨陣元數(shù)的增加，歸一化總體均方誤差減少。

矩陣濾波器的響應(yīng)效果不僅與通帶位置有關(guān)，還與通帶寬度有關(guān)，假設(shè)通帶中心位置固定為0°，通帶寬度逐漸增大，觀察此時(shí)的矩陣濾波器響應(yīng)效果和歸一化總體均方誤差。圖3中，分別給出了陣元數(shù)為30時(shí)通帶寬度為10°，30°，50°，70°和90°的矩陣濾波器響應(yīng)和誤差圖。從圖3可知，隨通帶寬度的增加，通帶誤差和阻帶響應(yīng)隨之變化。圖4給出了陣元數(shù)為20，40，60，80和100時(shí)，通帶寬度變化的矩陣濾波器歸一化總體均方誤差，從仿真結(jié)果可知，隨通帶寬度的增加，歸一化總體均方誤差先增大后減小。

從矩陣濾波器的通帶位置及通帶寬度仿真可知，在不同陣元數(shù)情況下，矩陣濾波器所得的歸一化總體均方誤差有不同的結(jié)果，隨陣元數(shù)的增加，總體誤差都隨之減小?，F(xiàn)固定通帶位置和通帶寬度，觀察陣元數(shù)對(duì)最小二乘矩陣濾波器性能影響的大小。假設(shè)水聽器線列陣陣元間隔為半波長(zhǎng)且均勻分布。設(shè)置通帶扇面［－15°，15°］，阻帶扇面為［－90°，－15°）∪（15°，90°］，離散化采樣點(diǎn)間隔為0.1°。濾波器響應(yīng)和誤差效果如圖5所示。

從圖5的仿真結(jié)果可知，隨陣元數(shù)目的增加，最小二乘矩陣濾波器通帶和阻帶的誤差都在下降，當(dāng)陣元個(gè)數(shù)從20變化到100時(shí)，矩陣濾波器的通帶失真逐漸減小，通帶誤差從－15 dB變化到－20 dB;而阻帶衰減也逐漸增大，從－20 dB左右增大到－30 dB左右。從圖6的仿真結(jié)果可知，隨陣元個(gè)數(shù)從10增加到100時(shí)，最小二乘矩陣濾波器的歸一化總體均方誤差呈拋物線下降。仿真結(jié)果說明，對(duì)于最小二乘矩陣濾波器的設(shè)計(jì)，陣元個(gè)數(shù)越多所得的濾波器響應(yīng)效果越好，進(jìn)而具有更好地陣列信號(hào)空域預(yù)處理能力。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在最小二乘矩陣濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，利用奇異值分解給出了濾波器的簡(jiǎn)化表達(dá)式及總體誤差。通過改變通帶阻帶位置、通帶阻帶帶寬及陣元數(shù)等條件，分析得出這些因素對(duì)最小二乘矩陣濾波器性能的影響趨勢(shì)，為矩陣濾波器的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供參考。

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