張俊，陳亞林，呂林夏

（1．中國船舶重工集團公司第七○五研究所，陜西西安710075; 2．水下信息與控制重點實驗室，陜西西安 710075）

0 引言

在聲輻射計算領域，比較成熟的數值方法是有限元法和邊界元法。有限元法在水聲領域的應用主要是水聲換能器的設計和分析，能很準確地計算出換能器的諧振頻率，導納曲線發(fā)射指向性圖等。其在壓電、結構、聲學耦合分析方面的準確性已經得到了驗證。但是在聲輻射計算方面，有限元法也存在不足。主要表現在:一是計算量比較大，對計算機的要求比較高;二是對于工程中常見的無限外空間聲輻射問題，有限元法不能有效地模擬截止邊界，從而導致計算誤差比較大。邊界元方法是由Helmholtz邊界積分方程并且結合邊界元的離散技術發(fā)展起來的一種數值計算方法。它把問題的求解維數降低一維，并且把解析解和數值解相結合，具有較小的計算量和較高的計算精度。同時邊界元法適合于無限域的聲學計算問題，這彌補了有限元法在這方面的不足。

在聲學基陣聲輻射方面，Audoly［1］和Yokoyama［2］分別利用改進的Helmholtz邊界積分方程計算了有限大障板上平面基陣的輻射聲場。何正耀［3］用邊界元軟件Sysnoise計算了剛性障板條件下共形陣的輻射聲場，得到了陣元間的互輻射阻抗和基陣的遠場指向性。但是他們分析計算的都是在剛性障板下的基陣聲輻射問題。對于有限大的彈性障板的特性，只采用邊界元法無法實現計算目的。本文利用有限元法在結構模態(tài)分析上的準確性和邊界元法在處理無限域聲輻射問題上的優(yōu)勢，采用有限元和邊界元相結合的方法，建立彈性障板下平面基陣的結構邊界元模型，對其遠場指向性進行計算，并且對比分析彈性、柔性和剛性障板對整個基陣遠場指向特性的影響。為工程中基陣的工程設計提供指導。

1 理論模型

1.1 聲學有限元理論模型

均勻的理想流體中三維波動方程為［3］:

用有限元方法對聲波方程進行離散，同時考慮流固耦合處能量的損耗，得到離散化的有限元聲波方程:

式（3）與式（2）相結合，就得到完整的求解聲學問題的流固耦合控制方程為:

1.2 聲學邊界元理論模型

對于簡諧波聲壓為正弦時間函數，設波動頻率為ω，則聲壓p可以設為

代入三維波動方程式（1）中，得到:

在一個由封閉表面S所圍成的體積V中，對于2個在S上和V中都有一階和二階連續(xù)有界偏導數的函數φ和ψ。根據格林公式可以把體積分轉化為面積分:

式（7）是格林第二積分方程，它可以用來解決三維空間的聲輻射問題。如果振動體的體積為V，表面積為S，設格林公式中的φ和ψ分別為:

結合式（6）和式（9），考慮場點在體積V內部、表面S上和外部3種情形，并且假設輻射表面光滑，可以推導出開放空間內聲輻射問題的赫姆霍茨邊界積分方程:

當場點X在輻射體外部時，C（X）=1;當場點X在輻射體表面時，C（X）=1/2;當場點X在輻射體內部時，C（X）=0。

本文應用當前國際上流行的有限元軟件Ansys和邊界元聲學軟件Sysnoise聯(lián)合建立彈性障板下平面基陣的結構邊界元聲學混合模型。首先用Ansys軟件對聲學結構進行精確的網格劃分和準確地模態(tài)分析，然后在SysnoiseE軟件中，利用Ansys軟件建立的網格模型和模態(tài)參數建立結構邊界元計算模型，計算彈性障板下平面基陣的水平軸面內的聲壓分布和遠場指向性。

2 計算實例

2.1 圓柱形彈性障板下37元平面陣聲場計算

建立37個陣元的平面陣模型，陣元位置排列如圖1所示。陣元輻射表面為正方形薄板，邊長a=3 cm，厚度b=0.3 cm，陣元垂直和水平間距相同。障板為一圓柱殼，障板高h=20 cm，底面半徑R=13 cm，殼體厚度D=0.5 cm。陣元材料為硬鋁，密度ρ=2 700 kg/m3，楊氏模量E=6.85×1010N/m2，泊松比σ=0.34，聲速c=6 260 m/s;障板材料為玻璃鋼，密度ρ=1 750 kg/m3，楊氏模量E=1.8×1010N/m2，泊松比σ=0.14，聲速c=2 510 m/s。障板阻抗ρc= 4 392 500 Pa·s/m，與水的阻抗可以相比擬，可以看成是彈性障板。

圖1 基陣邊界元模型Fig.1The BEM model of arrays

建立基陣的幾何模型，用有限元法進行網格劃分，對基陣進行結構模態(tài)計算，頻率f范圍為10～30 kHz。共得到526個結構模態(tài)。表1為f=20 kHz前后的10個模態(tài)。

把有限元網格模型和模態(tài)參數分別保存為網格數據文件和Ansys文件。首先把網格數據文件導入到邊界元軟件Sysnoise中建立間接邊界元模型，如圖1所示。然后把保存模態(tài)參數的Ansys文件導入到軟件中，軟件會自動生成間接邊界元和結構有限元耦合模型。節(jié)點振速設為v=1 m/s，設置障板和陣元的材料參數。計算得到頻率f=20 kHz時基陣的0°方向上遠場指向性分別如圖2中所示，實線為Sysnoise計算值，虛線是由平面波模型計算所得到的理論值。圖3為當頻率f=20 kHz時，主波束在0°方向時軸平面上的聲壓分布圖，所顯示平面區(qū)域長寬均為2 m。

由結果可知，－3 dB帶寬為19.03°，旁瓣級為21.34 dB。由圖中可以看出，這與理論值是比較接近的。由于障板的彈性特性和網格劃分不對稱的影響，由Sysnoise所計算的基陣遠場指向性左右旁瓣已經不具有理想的對稱性，特別是接近障板邊緣處的旁瓣已經表現的比較凌亂，與理論值相差比較大。從聲壓分布圖中可以看出近場處聲波的衍射現象比較嚴重。

2.2 不同阻抗障板下37元陣遠場輻射指向性對比

在水聲場中，當障板的聲阻抗分別遠小于、遠大于水的聲阻抗或者與水的聲阻抗相當時，就可以分別看成是柔性、剛性和彈性障板。它們分別對應著聲學中的絕對軟、絕對硬和混合邊界條件。有如下的特性:

1）柔性障板，這時障板邊界上的聲壓為0，即p（x，y，z，t）=0。其物理意義為界面上的任何點上，不論時間t取何值，聲壓p總為0。

2）剛性障板，聲波不能進入該介質中，此時邊界上介質質點的法向振速應為0。用數學模型表達為

式中:系數a，b均為常數;s為邊界。當f（s）=0時，則稱其為阻抗邊界條件。

建立37元平面陣及障板模型，幾何參數與上一小節(jié)所建立的模型一致。障板材料阻抗屬性分別設置為柔性、剛性和彈性。根據上面3種情況，對于柔性障板和剛性障板，選用間接邊界元（DBEM）計算模型，分別設置障板節(jié)點聲壓為0和節(jié)點法向振速為0;對于彈性障板模型，同樣選用玻璃鋼，采用結構有限元和邊界元混合計算的方法。計算頻率為歸一化頻率f=15 kHz。圖4和圖5分別為束控方向0°時，3種障板下的遠場指向性圖。是表示界面沿外法線方向的偏導數。

3）彈性障板，在界面上聲壓和振速是線性組合關系，其數學表達式為

圖4 0°束控時基陣水平遠場發(fā)射指向性圖Fig.4The far-field directivity of arrays when 0°beam control

由圖6可以看出，當主波束束控在0°角上時，柔性、剛性、彈性3種障板下，基陣的主波束吻合的非常好，第一旁瓣也基本一致，第二、三旁瓣有差異。這說明不同材料障板對基陣的影響主要集中在靠近障板邊緣處。當主波束束控在30°和45°時，剛性障板和柔性障板下基陣遠場指向性趨勢一致。但是彈性障板下基陣的主瓣和旁瓣都有較大的改變，30°和45°束控時均在－20°方向出現了較高的旁瓣。30°束控時主瓣寬度較之剛性和柔性障板條件下變小，45°束控時第一旁瓣已經不明顯，主瓣下端變胖。

3 結語

1）本文通過邊界元和有限元相結合的數值方法計算了彈性障板下水聲基陣的輻射遠場指向性和近場聲壓分布，所得結果與解析解相吻合。但是解析解不能很好地考慮障板條件對基陣的影響，特別是復雜的障板條件下基陣的聲場計算問題，數值方法比解析方法有明顯的優(yōu)勢。

2）由結果可以看出，障板對基陣輻射聲場的影響主要體現在對其遠場指向性旁瓣的影響和對其近場聲場的影響。越接近障板邊緣，旁瓣的變形越大。在近場處，聲波的衍射現象也比較嚴重。特別是彈性障板條件下，這種影響更為嚴重，特別是做波束偏移時，主瓣和旁瓣都有比較明顯的改變。這一點，在基陣的設計時值得考慮。

3）邊界元聲學數值方法中，模型網格的劃分質量對結果也有明顯的影響。對于本文中建立的圓柱體彈性障板，網格單元的分布不對稱，對其遠場指向性旁瓣也有一定的影響。優(yōu)化網格劃分，進行精確快速的建模和計算是有待進一步開展的工作。

4）本文所用到的分析方法不只適用于平面陣，對于陣元排列和障板結構更為復雜的體積陣也同樣可以適用。這比平面波理論模型更接近工程實際，為聲吶基陣的工程設計，特別是在多種材料混合使用下基陣設計提供了一種預報基陣聲學性能的數值方法。

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