劉開(kāi)宇，黨軍杰

（湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082）

首次積分法下非線性偏微分方程的精確行波解＊

劉開(kāi)宇?，黨軍杰

（湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082）

針對(duì)一類(lèi)非線性偏微分方程，提出行波解的存在性問(wèn)題.通過(guò)引入波變量，利用基于交換代數(shù)環(huán)論的首次積分方法，直接得到2種非線性演化方程模型的精確行波解.首次積分法較之傳統(tǒng)的技巧更方便、更快捷.因此首次積分法在解決某些非線性方程的復(fù)雜孤波解時(shí)是一種有效并且有著巨大潛力的方法.

非線性微分方程；行波解；首次積分法

關(guān)于非線性偏微分方程行波解的探討在研究非線性物理現(xiàn)象中起著非常重要作用、非線性波動(dòng)現(xiàn)象出現(xiàn)在各種科學(xué)和工程領(lǐng)域，如流體力學(xué)、等離子體物理、光學(xué)纖維、生物、固體物理、化學(xué)動(dòng)力學(xué)、化學(xué)物理和地球化學(xué)等.非線性波的色散、耗散、擴(kuò)散、反應(yīng)和對(duì)流現(xiàn)象在非線性波動(dòng)方程中是非常重要的，新的精確行波解可以幫助人們發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象.為此，在過(guò)去的幾十年里人們做了大量工作，提出了許多有效的方法，如齊次平衡法［1］、雙曲正切值擴(kuò)展方法［2－3］、雅可比橢圓函數(shù)展開(kāi)法［4－7］、sine-cosine法［8－9］、tanh函數(shù)法［10－11］等等.運(yùn)用上述方法求解非線性演化方程的一個(gè)共同特點(diǎn)，就是要利用Maple或Mathematica軟件作繁瑣計(jì)算.近年來(lái)，出現(xiàn)了一個(gè)非常有效的新方法——首次積分法.該方法是基于交換代數(shù)環(huán)的理論［12］，我們可用它研究多種非線性演化方程的行波解［13－14］.運(yùn)用首次積分可以方便、快捷地求出某些非線性演化方程的精確孤波解，與傳統(tǒng)方法相比它具有許多優(yōu)點(diǎn)，它主要避免了大量復(fù)雜和繁瑣的計(jì)算，提供了精確、明確的孤波解.

1 首次積分法

Raslan［15］對(duì)運(yùn)用首次積分法的步驟作了如下總結(jié).

步驟1 考慮如下一般非線性偏微分方程（PDE）：

引入波變量ξ＝x－ct.于是方程（1）可表示為非線性常微分方程（ODE）：式中.如果式（2）中含有階數(shù)高于2的導(dǎo)數(shù)，我們假定通過(guò)積分后可使所含的最高導(dǎo)數(shù)階數(shù)是2（見(jiàn)方程（4））.

步驟2 在ODE式（2）中引入新的獨(dú)立變量

步驟3 由常微分方程的定性理論，如果能夠找到相同條件下式（3）的積分，則可以直接求出式（3）的解.然而，一般來(lái)說(shuō)，這的確是很困難的.因?yàn)閷?duì)于一個(gè)給定的平面自治系統(tǒng)，我們既沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)的理論，也沒(méi)有一個(gè)邏輯方法可用來(lái)獲得它的首次積分.我們將運(yùn)用除法定理獲得式（3）的首次積分，通過(guò)求解這個(gè)方程從而得到方程（1）的精確解.下面我們給出除法定理.

除法定理 假設(shè)P（w，z），Q（w，z）是定義在復(fù)數(shù)域C（w，z）上的2個(gè)多項(xiàng)式，且P（w，z）是C（w，z）上的既約多項(xiàng)式.若Q（w，z）在P（w，z）的所有零點(diǎn)均為零，則存在C（w，z）上的多項(xiàng)式G（w，z）使得：

除法定理易由文獻(xiàn)［12］中的交換代數(shù)環(huán)定理得到.

2 Fornberg-Whitham方程

Fornberg-Whitham方程為：

方程（4）是在研究波裂的定性行為時(shí)由Fornberg-Whitham提出的［16－17］，它是一個(gè)非線性色散波動(dòng)方程，由于式（4）是一個(gè)派生方程，關(guān)于它的研究并不多見(jiàn).在文獻(xiàn)［17］中Fornberg和Whitham得到了一個(gè)如下形式的尖峰波解：

其中A為任意常數(shù).

下面我們用首次積分法進(jìn)行研究.若方程（4）有如下形式的行波解：

利用式（3），方程（7）可改寫(xiě)為二維自治系統(tǒng)：

式中：ai（X），i＝0，1，…，m為關(guān)于X的多項(xiàng)式且am（X）≠0.則方程（10）稱(chēng)為式（9）的首次積分.由除法定理，存在復(fù)數(shù)域C［X，Y］上的多項(xiàng)式g（X）＋h（X）Y，使得

為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，對(duì)方程（10）我們?nèi)＝1.通過(guò)比較方程（11）兩邊Yi（i＝0，1）的系數(shù)，可得

3 變形Boussinesq方程

作為水波模型，u表示波速，H為總深度，方程中右下標(biāo)記表示偏導(dǎo)數(shù).假設(shè)方程（16）有下面形式的行波解：

我們考慮如下變形Boussinesq方程［18］：

式中c0為積分常數(shù).

通過(guò)與文獻(xiàn)［18］中所得結(jié)果比較，我們所得到的解的表達(dá)式更為簡(jiǎn)單.

4 結(jié) 論

本文利用首次積分建立2種非線性演化方程的精確行波解.許多為人們熟知的非線性波動(dòng)方程均可用這種方法處理，由此可見(jiàn)這一方法是非常行之有效的.相比于其他傳統(tǒng)方法，它的優(yōu)勢(shì)在于避免了大量復(fù)雜和繁瑣的計(jì)算，提供精確和簡(jiǎn)單行波解的表達(dá)式，同時(shí)能給出多個(gè)顯式解.

［1］ WANG M L.Exact solutions for acompound Kd V-Burgers equation［J］.Phys Lett A，1996，213：279－287.

［2］ YANG L，LIU J B，YANG K Q.Exact solutions of nonlinear PDE，nonlinear transformations and reduction of nonlinear PDE to a quadrature［J］.Phys Lett A，2001，278：267－270.

［3］ PARKES E J，DUFFY B R.Travelling solitary wave solutions to a compound Kd V-Burgers equation［J］.Phys Lett A，1997，229：217－220.

［4］ FAN E，ZHANG J.Applications of the jacobi elliptic function method to special-type nonlinear equations［J］.Phys Lett A，2002，305：383－392.

［5］ YOMBA E.The extended fan’s sub-equation method and its applications to Kd V-Mkd V，BKK and variant Boussinesq equations［J］.Phys Lett A，2005，336：463－476.

［6］ ZHOU Y B，WANG M L，WANG Y M.Periodic wave solutions to a coupled Kd V equations with variable coefficients［J］.Phys Lett A，2003，308：31－36.

［7］ ZHANG S.New exact solutions of the Kd V-Burgers-Kuramoto equation［J］.Phys Lett A，2006，358：414－420.

［8］ WAZWAZ A M.A sine-cosine method for handling nonlinear wave equations［J］.Math Comput Model，2004，40：499－508.

［9］ WAZWAZ A M.Analytic study on nonlinear variant of the RLW and the PHI-four equations［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul，2007，12：314－327.

［10］YAN Z Y.New explicit travelling wave solutions for two new integrable coupled nonlinear evolution equations［J］.Phys Lett A，2001，292：100－106.

［11］WAZWAZ A M.Travelling wave solutions of generalized forms of Burgers，Burgers-Kd V and Burgers-Huxley equations［J］.Appl Math Comput，2005，169：639－656.

［12］BOURBAKI N.Commutative algebra［M］.Paris：Addison-Wesley Publishing，1972：20－45.

［13］FENG Z.Exact solutions in terms of elliptic functions for the Burgers-Kd V equation［J］.Wave Motion，2003，38：109－115.

［14］FENG Z.Travelling wave behavior for a generalized fisher equation［J］.Chaos Soliton Fract，2008，38：481－488.

［15］RASLAN K R.The first integral method for solving some important nonlinear partial differential equations［J］.Nonlinear Dynamics，2008，53（4）：281－287.

［16］WHITHAM G B.Variational methods and applications to water wave［J］.Proc R Soc Lond Ser A，1967，299：6－25.

［17］FORNBERG B，WHITHAM G B.A numerical and theoretical study of certain nonlinear wave phenomena［J］.Philos Trans R Soc Lond Ser A，1978，289：373－404.

［18］WANG M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations［J］.Physics Letters A，1995，199：169－172.

Exact Travelling Wave Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations by Using the First Integral Method

LIU Kai-yu?，DANG Jun-jie

（College of Mathematics and Econometrics，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China）

Considering the many models of nonlinear partial differential equations existing in physics and other fields，the existence of exact travelling wave solutions of equations was proposed.By introducing a wave variable and using the first integral method based on the ring theory of commutative algebra，we have obtained the exact travelling solitary wave solutions for two nonlinear evolution equations.It has many advantages over other traditional techniques，it is direct and concise.It also shows that the first integral method is an effective method with great potentials when finding complex solitary wave solutions of the nonlinear equations.

nonlinear differential equations；travelling wave solutions；first integral method

O175.12

A

1674-2974（2011）06-0089-04＊

2010-06-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10601016）；教育部留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目

劉開(kāi)宇（1964－），女，湖南長(zhǎng)沙人，湖南大學(xué)副教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail：Liukyhnu＠yahoo.com.cn