薛艷霞，蘇振超

（五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020）

附加質(zhì)量懸臂柱次隨從力作用下臨界力的精確解

薛艷霞，蘇振超

（五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020）

基于相應(yīng)的微分方程，推導(dǎo)出了次隨從力作用下端部附加質(zhì)量懸臂柱臨界力的精確公式，討論了次隨從力參數(shù)γ和與集中質(zhì)量相關(guān)的參數(shù)η對臨界力參數(shù)crλ的影響，繪制了γ和η對臨界力以及臨界力變化率的影響曲線，并對結(jié)果進行了分析，所得的結(jié)論與數(shù)值模擬的結(jié)論一致.

懸臂柱；隨從力；次隨從力；次隨從力參數(shù)；靜態(tài)穩(wěn)定性；臨界力

懸臂柱在隨從力作用下的靜態(tài)和動態(tài)穩(wěn)定性是很多學(xué)者密切關(guān)注的課題，并在實際工程中有重要應(yīng)用.由于懸臂柱在隨從力作用下其歐拉意義下的臨界荷載不存在[1]，人們開始研究次隨從力作用下的懸臂柱臨界力問題，如B.N.Rao等[2-5]分別對等截面和變截面懸臂柱在次隨從力作用下的靜態(tài)穩(wěn)定性進行了分析，薛艷霞等[6]用數(shù)值方法研究了端部附加質(zhì)量對次隨從力作用下懸臂柱臨界力的影響，本文在此基礎(chǔ)上對端部附加集中質(zhì)量的等截面懸臂柱在次隨從力作用下的穩(wěn)定性進行精確分析，并分別針對集中質(zhì)量和次隨從力對等截面懸臂柱臨界力以及臨界力變化率的影響進行討論.

1 系統(tǒng)的微分方程

按照文獻[6]中的符號和梁的Bernoulli-Euler理論，可得系統(tǒng)的微分方程：

并具有邊界條件：

引入ξ=s/ L，則由式（l～2）可得：

并且當θ=0時，有靜力穩(wěn)定平衡的條件如下：

對于η=1時有γ≤1.

從上述結(jié)果可知，如果考慮端部附加質(zhì)量的重力影響，η可以大于0.5，甚至在W=P時，可以等于1.這在以后的討論中可以看到.

2 臨界力的精確解

由方程（7）可得：

令

則由式（8）可得：

故：

邊界條件可以利用式（4）和式（9）得到：

由式（10～12）可得：

在方程（13）中，a→0時，則有 λ= λcr， λcr為線性臨界力（臨界荷載）參數(shù)，

所以crλ可表示為：

對于給定的次隨從力參數(shù)γ和參數(shù)η，臨界力參數(shù)crλ可以通過式（15）求解，但在計算過程中需要保證式（6）成立.式（15）中，當參數(shù)η=0時，所得到的結(jié)論就是文獻[2]中的結(jié)果.

3 討論

為了討論次隨從力參數(shù)γ和參數(shù)η對 λcr（或臨界力）的影響，圖1畫出了當η分別取0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0時，λcr與次隨從力參數(shù)γ的11條關(guān)系曲線.由圖1可見，當η= 0時，次隨從力參數(shù)γ的變化范圍最小，為0～0.5，并且當η=0.5時， λcr（或臨界力）取到最大值，這與周知的結(jié)論剛好吻合.當次隨從力參數(shù)γ增加時，crλ（或臨界力）的大小也隨之增加，特別是在γ較大時，crλ（或臨界力）會隨著次隨從力參數(shù)γ的增加而顯著增加，并且隨著η的增加，次隨從力參數(shù)γ的變化范圍逐步增加，當η=1.0時，次隨從力參數(shù)γ的變化范圍最大，為0～1.0，這與本文第一節(jié)的結(jié)論以及文獻[6]中數(shù)值模擬求解的結(jié)果完全吻合.

當次隨從力參數(shù)γ分別取0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0時，crλ（或臨界力）與η的關(guān)系曲線見圖2.從圖2可以看出，當γ取0時，隨著η的增加，附加質(zhì)量的重力逐步增加，crλ逐步減小.事實上，這種情況演變?yōu)闅W拉意義下的壓桿穩(wěn)定問題，由于附加質(zhì)量的重力增加，荷載P對應(yīng)的數(shù)值減小，所以 λcr（或臨界力）也隨之減小.當γ大于0時，則隨著參數(shù)η的增加， λcr（或臨界力）的取值逐步減小，特別是在γ較大而η較小時， λcr（或臨界力）隨著參數(shù)η的增加而急劇減小.同時，還可以看出，當0 ≤ γ ≤ 0.5時，η的值可以取遍0到1之間的任何值；而當γ=1時，則在η＜1的范圍內(nèi)不能維持靜態(tài)平衡，η=1這點例外.

圖1 次隨從力參數(shù)γ對 λcr的影響(η =0 ～1.0)

圖2 η對 λcr的影響(γ =0 ～1.0)

為了進一步考察次隨從力參數(shù)γ和參數(shù)η的變化對crλ（或臨界力）變化的影響，分別將式（15）對γ和η求導(dǎo)可得：

根據(jù)式（16）、（17），考察參數(shù)γ、η的變化對臨界力參數(shù)crλ的影響曲線，具體見圖3～6.

圖3 γ與?λcr/?γ的關(guān)系

圖4 η與?λcr/?γ的關(guān)系

圖5 γ與?λcr/?η的關(guān)系

圖6 η與?λcr/?η的關(guān)系

從圖3～6可以看出，各個參數(shù)對于臨界力參數(shù)λcr變化的影響與圖1、圖2以及文獻[6]中圖2的曲線變化相一致.

4 結(jié)論

本文主要討論了端部附加集中質(zhì)量時懸臂柱在次隨從力作用下的穩(wěn)定性，根據(jù)系統(tǒng)的微分方程及邊界條件，通過運算得到了系統(tǒng)的臨界力參數(shù)crλ與次隨從力參數(shù)γ和與集中質(zhì)量相關(guān)的參數(shù)η的精確關(guān)系式，針對參數(shù)不同的取值，繪制了相應(yīng)的關(guān)系曲線，所得的結(jié)果與文獻[6]中數(shù)值計算的結(jié)果相互印證，特殊情況下（η=0）的結(jié)論也文獻[2]中的結(jié)果一致，并推廣了該文獻中的公式.

[1]REBIERE J P.Non-linear static analysis of a bar under a pure follower force[J].Journal of Sound and Vibration, 1978,60(3)：459-460.

[2]RAO B N,RAO V G.Applicability of the static or dynamic criterion for the stability of a cantilever column under a tip-concentrated subtangential follower force[J].Journal of Sound and Vibration,1987,120(l)：197-200.

[3]RAO B N,RAO G V.Applicability of static or dynamic criterion for the stability of a non-uniform cantilever column subjected to a tip-concentrated subtangential follower force[J].Journal of Sound and Vibration,1988, 122(1)：188-191.

[4]RAO B N,RAO G V.Post-critical behaviour of Euler and Beck columns resting on an elastic foundation[J]. Journal of Sound and Vibration,2004,276：1150-1158.

[5]RAO B N,RAO G V.Stability of tapered cantilever columns with an elastic foundation subjected to a concentrated follower force at the free end[J].Journal of Sound and Vibration,1982,81(l)：147-151.

[6]薛艷霞，蘇振超，端部附加質(zhì)量對次隨從力作用下懸臂柱臨界力的影響[J].五邑大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011,25(2)：69-72.

Exact Solution of Critical Force of a Cantilever Column with Tip Mass Subjected to a Subtangential Follower Force

XUE Yan-xia,SU Zhen-chao
(School of Civil Engineering&Architecture,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

The stability of a cantilever column with tip mass subjected to a subtangential follower force was discussed for investigating the effects of these factors on the critical force.Based on the differential equation of the system,the exact formula for the critical force of a cantilever column with tip mass subjected to a follower force was derived.The effects of the parameters related to a subtangential follower force and the tip-mass on the critical force were analyzed,the relation curves of the subtangential follower force parameter and the tip-mass parameter on the critical force and the rate of its change were plotted,and the results were discussed.

cantilever column;follower force;subtangential follower force;subtangential follower force parameter;static stability;critical force

?

TB124

A

1006-7302（2011）03-0040-05

2011-03-21

薛艷霞（1968—），女，河南民權(quán)人，講師，主要從事結(jié)構(gòu)工程及力學(xué)的研究與教學(xué).