姚小娟，呂 隴

（蘭州理工大學(xué)技術(shù)工程學(xué)院，甘肅 蘭州730050）

對(duì)總體方差的顯著性假設(shè)檢驗(yàn)，是利用相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量得出原假設(shè)的拒絕域，通過總體的樣本，使用小概率事件的實(shí)際不可能性原則［1］，最終作出拒絕或接受原假設(shè)的判斷．當(dāng)然，總體均值未知時(shí)與總體均值已知時(shí)，選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是不一樣的［1］，但有時(shí)會(huì)遇到總體均值未知時(shí)與總體均值已知時(shí)對(duì)原假設(shè)作出的判斷是一樣的，為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象？又如何解釋這種現(xiàn)象呢？

本文在樣本容量固定的雙側(cè)及單側(cè)顯著性假設(shè)檢驗(yàn)下，通過討論總體均值未知時(shí)和已知時(shí)拒絕域之間的關(guān)系，對(duì)此種現(xiàn)象給出合理的解釋．

1 有關(guān)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)問題

對(duì)于單個(gè)正態(tài)總體的方差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，用χ2檢驗(yàn)法［2］．

已知總體X ～N（μ，σ2），σ2未知，X1，X2，Λ，Xn是來自總體X 的一組樣本．要求檢驗(yàn)假設(shè)：

如果總體均值μ未知，對(duì)總體方差的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域記為：

2）總體均值μ已知的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)中，由于樣本二階中心距M2是總體方差σ2的最小方差無偏估計(jì)，所以要選擇樣本二階中心矩

作為檢驗(yàn)總體方差σ2的統(tǒng)計(jì)量．由樣本觀測(cè)值 （x1，x2，…，xn）算出的樣本二階中心矩M2的觀測(cè)值為m2可類似地得到拒絕域：

由樣本觀測(cè)值 （x1，x2，…，xn）算出的統(tǒng)計(jì)量m2的值，若它小于就拒絕原假設(shè)H0，否則就接受原假設(shè)H0．

在左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)：H0∶σ2≥σ；H1∶σ2＜σ中，當(dāng)μ未知時(shí)和μ已知時(shí)的拒絕域分別為C3，C4，則

在右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)：H0∶σ2≤σ；H1∶σ2＞σ中，當(dāng)μ未知時(shí)和μ已知時(shí)的拒絕域分別為C5，C6，則

2 由兩個(gè)不等式推導(dǎo)出的結(jié)論

2．1 總體均值μ未知與已知時(shí)拒絕域之間的關(guān)系

為了討論總體均值μ未知和已知時(shí)拒絕域之間的關(guān)系，現(xiàn)將樣本容量n固定，考慮顯著性水平α．

參考χ2分布表并經(jīng)過計(jì)算得［3］：

當(dāng)α＝0．005，0．01，0．05，0．10，0．25時(shí)，恒滿足

當(dāng)1－α＝0．75，0．90，0．95，0．99，0．995時(shí)，恒滿足

顯著性水平α一般取值較小，依據(jù)小概率事件的實(shí)際不可能性原則［1］，則由 （1）（2）這兩個(gè)不等式，可得：

即，μ未知時(shí)的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)下拒絕域C1包含在μ已知時(shí)的拒絕域C2內(nèi)．

同理，由 （1）（2）這兩個(gè)不等式可得，在單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)下有以下結(jié)論：

μ未知時(shí)的左側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)下，則拒絕域C3包含在μ已知時(shí)的拒絕域C4內(nèi)

μ未知時(shí)的右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)下，則拒絕域C5包含在μ已知時(shí)的拒絕域C6內(nèi)

2．2 結(jié) 論

根據(jù)上述分析，總結(jié)得到以下結(jié)論：

在給定顯著性水平α和樣本容量n的條件下，單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)，在總體均值μ未知的情況下得到的拒絕域是包含在μ已知的拒絕域內(nèi)．

由結(jié)論可知，若統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值s2、m2都落在μ未知時(shí)的拒絕域內(nèi)，則必落在μ已知時(shí)的拒絕域內(nèi)．此時(shí)，由μ未知時(shí)作出的對(duì)原假設(shè)的判斷與μ已知時(shí)的判斷是一致的．

反之，若統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值s2、m2都落在μ已知的接受域內(nèi)，由顯著性假設(shè)檢驗(yàn)的接受域與拒絕域互補(bǔ)可知［2］，s2、m2必落在μ未知的接受域內(nèi)．此時(shí)，由μ未知時(shí)作出的對(duì)原假設(shè)的判斷與μ已知時(shí)的判斷是一致的．

2．3 例 子

下面就學(xué)生在平時(shí)練習(xí)中遇到的典型例子作具體分析：

例［4］機(jī)器包裝砂糖，規(guī)定每袋糖的標(biāo)準(zhǔn)重量為500 g，均方差不得超過10 g，假設(shè)每袋糖的重量X～N（μ，σ2），現(xiàn)從包裝好的各袋中隨機(jī)地抽出9袋，測(cè)得凈重 （g）507 497 510 475 484 488 524 491 515，問這時(shí)包裝機(jī)工作是否正常 （α＝0．05）？

如果視μ未知，那么通過樣本觀測(cè)值計(jì)算得：

由C5以及（n－1）＝（8）＝15．5得到拒絕域?yàn)椋篊5＝ （193．75，＋∞）

可見s2落在拒絕域內(nèi)C5，所以拒絕H0，即認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常．

如果視μ已知，即μ＝10，那么計(jì)算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量M2的觀測(cè)值m2為：

通過分析注意到，本題中的總體均值無論視為未知還是已知，對(duì)原假設(shè)作出的判斷是沒有影響的，都拒絕了原假設(shè)，為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？根據(jù)本文得到的結(jié)論可知，這是由于若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量S2和M2的觀測(cè)值s2、m2都落在μ未知時(shí)的拒絕域內(nèi)，此時(shí)無論總體均值μ未知還是已知，對(duì)原假設(shè)作出的判斷是一致的．

［1］ 沈恒范．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 （第四版）［M］．北京：高等教育出版社，2006：1－30

［2］ 陳希孺．概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) ［M］．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2004：20－65

［3］ 盛驟，謝式千，潘承毅．概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) （第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2001：30－77

［4］ 陳魁．概率統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo) ［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2004：9－60