郭 鑫,黃方林

(湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院,湖南長(zhǎng)沙 410008)

0 引言

南京長(zhǎng)江大橋是我國(guó)自行設(shè)計(jì)建造的首座特大鐵路、公路兩用鋼桁梁橋。江面正橋1 576 m。該橋位于我國(guó)鐵路南北通道京滬干線和公路干線寧楊國(guó)道上,是我國(guó)華東地區(qū)乃至全國(guó)發(fā)展國(guó)民經(jīng)濟(jì)的重要交通命脈。全橋于1968年底通車,至今已經(jīng)安全運(yùn)營(yíng)了42 a,但某些部位已經(jīng)出現(xiàn)輕微病害。即將建立的南京長(zhǎng)江大橋安全監(jiān)測(cè)與狀態(tài)評(píng)估監(jiān)測(cè)系統(tǒng),將對(duì)橋梁的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與行為以及橋梁工作環(huán)境進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè),并利用獲取的信息分析結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)、評(píng)估結(jié)構(gòu)的可靠性,為橋梁管理與維護(hù)提供科學(xué)的決策依據(jù)。橋梁安全監(jiān)測(cè)和狀態(tài)評(píng)估系統(tǒng)作為一多學(xué)科交叉的綜合體系,其理論覆蓋到振動(dòng)理論、測(cè)試技術(shù)、系統(tǒng)辨識(shí)理論、信號(hào)分析與處理技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、可靠度等多門學(xué)科。從國(guó)內(nèi)外應(yīng)用的實(shí)例來看,目前普遍采用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法來進(jìn)行結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測(cè)和狀態(tài)評(píng)估,因?yàn)樗哂休^好的在線性、遙感性和提取信號(hào)的方便性,而且由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)分析得到的模態(tài)參數(shù),像固有頻率、阻尼比、振型等都是反映結(jié)構(gòu)整體性能的可靠“指紋”,可作為評(píng)價(jià)大橋整體性能的重要依據(jù)之一[1]。模態(tài)參數(shù)識(shí)別的方法有頻域法和時(shí)域法,其中頻域法相對(duì)較成熟,是模態(tài)參數(shù)識(shí)別的主要方法,常見的頻域法有半功率帶寬法、峰值法、導(dǎo)納圓法等方法[2]。但它的實(shí)驗(yàn)設(shè)備較復(fù)雜,試驗(yàn)周期也較長(zhǎng),特別是在對(duì)大型結(jié)構(gòu)中的激振力無法測(cè)量時(shí),用時(shí)域法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別的優(yōu)點(diǎn)明顯。時(shí)域識(shí)別的方法很多,常用的有復(fù)指數(shù)法、對(duì)數(shù)衰減率法、ITD法[3]、STD法[4]、隨機(jī)減量法[5,6]等。本文介紹的是一種時(shí)域識(shí)別方法——逐步擴(kuò)階雙遞推法[2]。逐步擴(kuò)階雙遞推法是利用自由振動(dòng)響應(yīng)(或脈沖響應(yīng)函數(shù))識(shí)別系統(tǒng)復(fù)模態(tài)參數(shù)的時(shí)域參數(shù)識(shí)別法,它可克服復(fù)指數(shù)法判階困難的缺點(diǎn)。此外為了節(jié)省計(jì)算機(jī)機(jī)時(shí)和內(nèi)存,采用了最小二乘遞推和逐步擴(kuò)階的雙遞推法,提高了識(shí)別效率和精度。利用該法進(jìn)行仿真計(jì)算和對(duì)南京橋?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)分析,結(jié)果是令人滿意的。

1 理論背景

式中[M]、[C]、[K]分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣,{x}、?x、 {??x}分別為用物理坐標(biāo)描述的位移列陣、速度列陣、加速度列陣?？紤]第k個(gè)測(cè)量點(diǎn),它的自由響應(yīng)表達(dá)式可表為:

一N自由度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程:

現(xiàn)以采樣周期Ts對(duì)xk(t)進(jìn)行采樣,記tj=jTs,簡(jiǎn)記為j(j=0,1,2,…),zi=eλiTs,則有:

式c1,c2,…,c2N為自回歸系數(shù)。以zj代替式(2)中系數(shù)矩陣相應(yīng)行列式的第一列xk(j)(j=0,1,…,2N),則當(dāng)z=zi時(shí),行列式的第一列與i+1列成比例,式(3)仍成立,故得:

將式(4)時(shí)延得最小二乘解:

式中θr=(c1,c2,…,c2N)T;Rr=(-xk(1,0),-xk(2,0),…,-xk(r,0))T;Φr為θr的系數(shù)矩陣。求得c1,c2,…,c2N,解式(4),可得zi及復(fù)頻率λi。

利用一個(gè)測(cè)量點(diǎn)的自由振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù),且作時(shí)延,構(gòu)成Φr、Rr。式(5)中的Φr、Rr均為r行,用r行(即r個(gè)方程)由該式獲得的解記為θr、Φr、Rr,每增加一行(即增加一個(gè)方程),分別記為0),則可利用θr、及0)導(dǎo)得θr+1的最小二乘遞推公式:

其中初始值P0、θ0,在此可直接令P0=c2I,θ0=0,是計(jì)算機(jī)允許的充分大的數(shù)。

為了考慮測(cè)量噪聲的影響,讓噪聲模態(tài)有出口,假定響應(yīng)中包含了N階復(fù)模態(tài)。利用低階的估計(jì)值θ,用遞推算法求得擴(kuò)階后的θ*。令:

則與Φr相應(yīng)的矩陣記為:

高校圖書館作為學(xué)術(shù)科研獲取信息資源的重要渠道，致力于OA學(xué)術(shù)資源的收錄、揭示、組織、管理等方面的研究與實(shí)踐，基本形成了資源收錄類型全、學(xué)科范圍廣、質(zhì)量水平高、揭示角度多、揭示方式明確、組織方式科學(xué)、宣傳渠道多樣的整體局面，OA學(xué)術(shù)資源得到了較為廣泛的利用與傳播。

式中Φ1即為式(5)中模型階為i時(shí)的Φr。于是有:

解上式得:

式中:

由式(8)可知,可根據(jù)i階模型的估計(jì)值θ,以及Φ1,Φ2,R可迅速算得擴(kuò)階后得估計(jì)值θⅠ、θⅡ。矩陣B2的求逆僅僅是一個(gè)二階矩陣的求逆,比較方便。而矩陣C2的求逆可采用分塊矩陣求逆法。于是,我們就得到了一組逐步擴(kuò)階雙遞推公式(6)、式(9)。具體步驟是:首先任意確定一個(gè)較小的擬合模型階i,按式(6)進(jìn)行最小二乘遞推,推到第r個(gè)方程時(shí)得估計(jì)值θr,如需進(jìn)行擴(kuò)階,這時(shí)令C2=Pr、θ=θr,按式(9)進(jìn)行擴(kuò)階遞推,如有必要可增加新的方程,利用式(6)進(jìn)行遞推,這時(shí)式(9)中的Pr=Cr,θr={θⅠ:θⅡ}T。由此可知,最小二乘遞推與逐步擴(kuò)階遞推的組合,提供了方便、靈活的參數(shù)識(shí)別手段。

逐步擴(kuò)階雙遞推法是利用自由振動(dòng)響應(yīng)(或脈沖響應(yīng)函數(shù))識(shí)別系統(tǒng)復(fù)模態(tài)參數(shù)。如果得到的數(shù)據(jù)是平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)(如地脈動(dòng)響應(yīng)),可以通過隨機(jī)減量法[2]從線性振動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)或多個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)樣本函數(shù)獲得該系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)的數(shù)據(jù)。

2 仿真計(jì)算及實(shí)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證

2.1 仿真計(jì)算

考慮一個(gè)4自由度系統(tǒng),其測(cè)量點(diǎn)1的自由響應(yīng)為:

式中:

ω1=10 rad/s;ω2=40 rad/s;ω3=90 rad/s;ω4=160 rad/s;σ1=σ2=σ3=σ4=1.00;Ψ=[1 2 3 4]T。

為模擬測(cè)量噪聲,在x1(t)中分別添加10%,15%,20%的隨機(jī)白噪聲,用逐步擴(kuò)階雙遞推最小二乘法進(jìn)行識(shí)別,其結(jié)果見表1。

表1 仿真結(jié)果比較

仿真結(jié)果表明,在噪聲水平越低的情況下,識(shí)別模態(tài)參數(shù)精度越高。ψ中數(shù)值越大,對(duì)應(yīng)階次的模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果越好。

2.2 實(shí)測(cè)結(jié)果分析

利用CA—YD型加速度傳感器、DH5935放大器和便攜式計(jì)算機(jī)對(duì)南京長(zhǎng)江大橋的響應(yīng)進(jìn)行了測(cè)量。測(cè)點(diǎn)主要布置在南京聯(lián)的主桁桿件、縱梁和橫梁上,采樣頻率為500Hz,記錄了大橋在上、下行各種客、貨列車通過時(shí)和無列車通過時(shí)的加速度響應(yīng)。實(shí)測(cè)的南京聯(lián)中跨中截面的下弦桿豎向加速度響應(yīng)(包括低通濾波后)及其自功率譜如圖1所示。

現(xiàn)截取一個(gè)測(cè)點(diǎn)的列車通過后余振數(shù)據(jù),其豎向加速度響應(yīng)(包括低通濾波后)及自功率譜如圖2～圖5所示。

圖1 實(shí)測(cè)大橋的加速度響應(yīng)和頻譜曲線

圖2 濾波前的測(cè)點(diǎn)余振響應(yīng)

圖3 濾波后的測(cè)點(diǎn)余振響應(yīng)

圖4 低通濾波前功率譜圖

圖5 低通濾波后功率譜圖

通過逐步擴(kuò)階雙遞推最小二乘法計(jì)算得到結(jié)果:

1)濾波前得到固有頻率:2.225、4.679 4、5.388、9.941 3 Hz,對(duì)應(yīng)阻尼比分別是:0.007 1、0.003 0、0.006 5、0.006 6。

2)低通濾波后得到固有頻率:2.230 3 Hz,阻尼比:0.013 6。

通過ANSYS軟件對(duì)南京橋動(dòng)態(tài)分析得到的前10階固有頻率如表2所示?？芍嗾耥憫?yīng)中第二階模態(tài)占主要成分。

表2 理論計(jì)算的前10階固有頻率

3 結(jié)論

模態(tài)參數(shù)作為反映整體結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的可靠“指紋”,在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的安全監(jiān)測(cè)中起著重要的作用。為識(shí)別南京長(zhǎng)江大橋模態(tài)參數(shù),且不影響其正常運(yùn)營(yíng),時(shí)域識(shí)別是非常適用的。

本文介紹的逐步擴(kuò)階雙遞推最小二乘法及其與隨機(jī)減量法的綜合運(yùn)用可對(duì)火車過橋、過橋后的余振、地脈動(dòng)等各種情況下由測(cè)量到的響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。仿真與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明該方法應(yīng)用于南京長(zhǎng)江大橋安全監(jiān)測(cè)是可行的。

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