李冬琴 王麗錚 孔令海

（江蘇科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院1） 鎮(zhèn)江 212003）

（武漢理工大學(xué)交通學(xué)院2） 武漢 430063） （江蘇現(xiàn)代造船技術(shù)有限公司3） 鎮(zhèn)江 212003）

0 引 言

復(fù)雜工程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程是一個(gè)多學(xué)科交叉的系統(tǒng)工程，其設(shè)計(jì)的高度非線性和強(qiáng)耦合性使優(yōu)化設(shè)計(jì)面臨著諸多挑戰(zhàn)，如計(jì)算復(fù)雜性、組織復(fù)雜性、模型復(fù)雜性與信息交換復(fù)雜性［1－2］.多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化（multidisciplinary design optimization，MDO）是解決復(fù)雜工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化的一種有效方法和工具.在保持學(xué)科層或子系統(tǒng)層各自獨(dú)立優(yōu)化設(shè)計(jì)的同時(shí)，它能提供一種協(xié)同機(jī)制協(xié)調(diào)學(xué)科之間的沖突，獲取系統(tǒng)的整體最優(yōu)解，并且利用分布式計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境進(jìn)行并行優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而大大縮短設(shè)計(jì)周期和降低成本［3－4］.本文通過引入分解和協(xié)調(diào)策略，構(gòu)建了基于協(xié)調(diào)機(jī)制的多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化方法的統(tǒng)一框架.同時(shí)在該框架中，引入了基于函數(shù)關(guān)系矩陣（functional dependency table，F(xiàn)DT）的多學(xué)科分解策略和基于參數(shù)化近似模型的協(xié)調(diào)策略.最后進(jìn)行了減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)；根據(jù)實(shí)例的計(jì)算結(jié)果，對(duì)上述幾種多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法進(jìn)行了定量的比較和研究.

1 基于協(xié)調(diào)機(jī)制的多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化方法統(tǒng)一框架的構(gòu)建

本文提出了如圖1所示的MDO理論研究主線，即以分解策略、協(xié)調(diào)策略為基礎(chǔ)，通過MDO優(yōu)化過程實(shí)現(xiàn)集成，進(jìn)而求解復(fù)雜設(shè)計(jì)問題.

圖1 MDO求解問題的一般流程

由圖1可以確立MDO求解問題的一般流程，包括：（1）系統(tǒng)建模：建立系統(tǒng)模型，確定設(shè)計(jì)問題的邊界與約束以及設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)與約束函數(shù)等；系統(tǒng)建模需對(duì)各個(gè)學(xué)科分別建模，由各個(gè)學(xué)科模型構(gòu)成系統(tǒng)模型；（2）分解與協(xié)調(diào)：對(duì)系統(tǒng)模型涉及的設(shè)計(jì)變量、耦合變量和約束條件進(jìn)行合理分解，在協(xié)調(diào)基礎(chǔ)上形成MDO模型，系統(tǒng)模型經(jīng)過分解后形成的MDO模型必須保持解空間的等價(jià)性；（3）集成與求解：運(yùn)用MDO優(yōu)化過程集成搜索策略求解具體問題，求解過程根據(jù)MDO優(yōu)化過程特點(diǎn)可分布式并行開展；（4）后處理分析：對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行靈敏度分析、不確定性分析等.

1.1 基于FDT的多學(xué)科分解策略

MDO問題的分解策略主要分為兩類：（1）按照產(chǎn)品物理邊界進(jìn)行的基于物理特性的分解，如按照產(chǎn)品系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行的層次型分解、非層次型分解以及混合型分解［5］，按照產(chǎn)品設(shè)計(jì)組織進(jìn)行的基于物理結(jié)構(gòu)的分解、基于學(xué)科領(lǐng)域的分解和基于設(shè)計(jì)任務(wù)的分解以及序貫分解（sequencebased decomposition）；（2）按照產(chǎn)品系統(tǒng)模型數(shù)學(xué)邊界進(jìn)行的基于數(shù)學(xué)特性的分解，如基于函數(shù)關(guān)系矩陣（functional dependency table，F(xiàn)DT）的分解、基于設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣（design structure matrix，DSM）的分解和基于網(wǎng)絡(luò)可靠性的分解以及基于貢獻(xiàn)的分解（contribution－based decomposition）等.

本文主要采用了基于函數(shù)關(guān)系矩陣（FDT）的分解策略.根據(jù)數(shù)學(xué)模型中狀態(tài)方程包含的設(shè)計(jì)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量間的依賴關(guān)系，以矩陣形式構(gòu)建函數(shù)關(guān)系表.其分解可利用矩陣變換或圖論連通性原理實(shí)現(xiàn)［6］，即將耦合關(guān)系較強(qiáng)的變量及函數(shù)重新組合成子系統(tǒng)（學(xué)科）.FDT分解的思想［7］是根據(jù)FDT所表達(dá)的設(shè)計(jì)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量間的關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)算法確定某些關(guān)鍵連接變量（包括系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量和耦合狀態(tài)變量），對(duì)設(shè)計(jì)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量分解后組合而成兩級(jí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（主問題和子問題）進(jìn)行求解.

FDT是用于描述設(shè)計(jì)函數(shù)（包括目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)）與設(shè)計(jì)變量間依賴關(guān)系的工具，是以“0”和“l(fā)”為元素的真值表.其中，“列”表示設(shè)計(jì)變量，“行”表示設(shè)計(jì)函數(shù).若第i個(gè)設(shè)計(jì)函數(shù)依賴第j個(gè)設(shè)計(jì)變量，則FDT（i，j）＝1，否則FDT（i，j）＝0.本文算例減速器優(yōu)化問題的FDT描述如表1及表2所列.

1.2 基于參數(shù)化近似模型的協(xié)調(diào)策略

MDO優(yōu)化過程通過反復(fù)協(xié)調(diào)各個(gè)子系統(tǒng)的優(yōu)化指導(dǎo)整個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程，同時(shí)保持子問題間的內(nèi)在耦合關(guān)系.本文在數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，引入了基于參數(shù)化近似模型的協(xié)調(diào)策略，并對(duì)協(xié)同優(yōu)化方法做出了合理的數(shù)學(xué)解釋.考慮如下一個(gè)帶參數(shù)的優(yōu)化問題

式中：X為設(shè)計(jì)變量；P為參數(shù)化向量，在某次優(yōu)化中是確定值.假設(shè)對(duì)上述問題進(jìn)行n次優(yōu)化，不同的參數(shù)Pi對(duì)應(yīng)不同的f＊i，即：｛P1，P2，…，Pn｝→｛f＊1，f＊2，…，f＊n｝.這相當(dāng)于一個(gè)從P到f的映射，因此可以將f＊看作是參數(shù)P的函數(shù)，即：f＊＝f＊（P）.

表1 減速器優(yōu)化問題的FDT描述

表2 減速器優(yōu)化問題的FDT分解

根據(jù)上述參數(shù)化優(yōu)化問題的概念，可以將協(xié)同優(yōu)化問題中的學(xué)科級(jí)優(yōu)化問題看成是一個(gè)參數(shù)化優(yōu)化問題，其中的參數(shù) 就是系統(tǒng)級(jí)分配下來的設(shè)計(jì)向量期望值.而又是系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)向量Xsys的最優(yōu)解（系統(tǒng)級(jí)傳遞的設(shè)計(jì)向量期望值），學(xué)科級(jí)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解可以看作是系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)向量期望值的函數(shù).同時(shí)，在協(xié)同優(yōu)化中，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問題的一致性等式約束條件等于學(xué)科級(jí)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù).因此，完全可以建立系統(tǒng)級(jí)分配下來的設(shè)計(jì)向量期望值與系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問題的一致性等式約束條件的近似函數(shù)關(guān)系，即可以采用一種近似模型來取代系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問題的一致性等式約束條件與設(shè)計(jì)向量期望值之間的某種函數(shù)關(guān)系，從而進(jìn)一步簡化二層優(yōu)化問題.這就是基于近似模型的協(xié)同優(yōu)化方法的本質(zhì).根據(jù)近似方法的不同，又可以擴(kuò)展為基于泰勒級(jí)數(shù)近似、靈敏度近似、響應(yīng)面近似的協(xié)同優(yōu)化方法.

2 算例及計(jì)算特性分析

2.1 算例描述

選取一個(gè)常見的工程實(shí)例——減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，它是NASA評(píng)估MDO方法性能的十個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例之一.該減速器的設(shè)計(jì)模型包括13個(gè)設(shè)計(jì)函數(shù)，7個(gè)設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)模型如下［8］.

上式系數(shù)中：

以上各式中，變量取值范圍為：2.6≤x1≤3.6；0.3≤x2≤1.0；17≤x3≤28；7.3≤x4；x5≤8.3；2.9≤x6≤3.9；5≤x7≤5.5.

在基于近似模型的CO方法中，通過基于函數(shù)關(guān)系矩陣的分解策略，將減速器優(yōu)化問題的進(jìn)行了FDT分解，如表1和表2所列.

根據(jù)表3所列的減速器優(yōu)化FDT分解結(jié)果，原優(yōu)化問題可以分解為如下3個(gè)問題：（1）主問題｛x1，x2，x3；g1，g2，g7，g8；f1｝；（2）子問題1｛x4，x6；g3，g5，g9；f2｝；（3）子問題1 ｛x5，x7；g4，g6，g10；f3｝.

由上可知，該MDO優(yōu)化問題不存在學(xué)科耦合狀態(tài)變量，因此可以確定CO表述時(shí)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量Z、學(xué)科設(shè)計(jì)變量Xi、學(xué)科約束Gi及學(xué)科目標(biāo)Fi分別如下.

把學(xué)科目標(biāo)作為約束，利用CO描述如下.

系統(tǒng)級(jí).

學(xué)科1.

學(xué)科2.

學(xué)科3.

分別采用MDF，IDF，AAO和基于近似模型的CO方法進(jìn)行計(jì)算，系統(tǒng)級(jí)與子系統(tǒng)的優(yōu)化均采用序列二次規(guī)劃算法（sequential quadratic programming，SQP），初始點(diǎn)均取為（3.5，0.8，20，7.3，7.3，3.5，5.3）.其中，采用基于近似模型的CO方法時(shí)，先采用正交拉丁方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法對(duì)系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量的設(shè)計(jì)空間進(jìn)行采樣，取9水平81個(gè)初始試驗(yàn)點(diǎn)；然后在樣本點(diǎn)上進(jìn)行子系統(tǒng)的優(yōu)化；隨后通過Kriging模型，建立系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量與學(xué)科級(jí)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)之間的近似模型；最后，展開系統(tǒng)級(jí)的優(yōu)化.其優(yōu)化結(jié)果和優(yōu)化歷程分別列于表3和圖1.

由表3及圖2可知，基于近似模型的CO方法的綜合性能結(jié)果最優(yōu)，表明它最適合減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì).這比較符合當(dāng)前多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的發(fā)展潮流與方向.

表3 各MDO方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖2 各MDO方法迭代過程比較

2.2 算例結(jié)果分析

通過上面對(duì)于減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的計(jì)算結(jié)果比較可以發(fā)現(xiàn)：（1）對(duì)于初始點(diǎn)位置敏感性來說，這四種多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化框架均受初始點(diǎn)的位置影響.其中CO受初始值的選取影響最大，而MDF和IDF這兩種多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化框架受初始點(diǎn)影響相對(duì)較??；（2）對(duì)于多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化框架復(fù)雜度來說，IDF設(shè)計(jì)框架構(gòu)建最為簡單，CO次之，MDF最為復(fù)雜；（3）對(duì)于完成優(yōu)化運(yùn)算時(shí)間來說，采用AAO多學(xué)科優(yōu)化框架的運(yùn)算時(shí)間最短，IDF次之，而CO相對(duì)時(shí)間最長；（4）對(duì)于優(yōu)化計(jì)算結(jié)果來說，IDF優(yōu)化框架的計(jì)算結(jié)果相對(duì)于MDF和AAO優(yōu)化框架更接近最優(yōu)值，而CO優(yōu)化設(shè)計(jì)框架的計(jì)算結(jié)果最優(yōu).

值得一提的是，通過本文的比較，不能片面地認(rèn)為基于近似模型的CO方法最好，因?yàn)殡S著工程優(yōu)化問題的不同，所適合的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法也將不同，沒有絕對(duì)意義上最好的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法.因此，作者建議從以下幾個(gè)方面來選擇多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法：（1）如果優(yōu)化問題的優(yōu)化變量較少，學(xué)科分析計(jì)算量不大，則推薦使用MDF方法；（2）如果系統(tǒng)變量遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于學(xué)科間耦合變量，且為松散耦合情況的設(shè)計(jì)問題，則推薦采用IDF或AAO方法；（3）如果優(yōu)化設(shè)計(jì)問題非線性較強(qiáng)，且學(xué)科之間為強(qiáng)耦合的情況，則推薦采用結(jié)合近似模型的CO方法.

3 結(jié)束語

本文首先討論了多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的3種典型方法：多學(xué)科可行方向法（MDF），單學(xué)科可行方法（IDF），同時(shí)分析和設(shè)計(jì)方法（AAO）；其次，通過引入基于函數(shù)關(guān)系矩陣（functional dependency table，F(xiàn)DT）的多學(xué)科分解策略和基于參數(shù)化近似模型的協(xié)調(diào)策略，構(gòu)建了基于協(xié)調(diào)機(jī)制的多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化方法的統(tǒng)一框架.最后，通過對(duì)減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)，展開了四種多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法的量化比較.值得一提的是，不同的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法適合不同的優(yōu)化問題，工程師應(yīng)根據(jù)自己工程技術(shù)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)工程優(yōu)化問題的理解，去選擇合適的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法.

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