盧 宇

（首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)工商管理學(xué)院 北京 100070） （清華大學(xué)航天航空學(xué)院 北京 100084）

0 引 言

交通流系統(tǒng)是一個有人參與的、時變的、開放的復(fù)雜巨系統(tǒng)，具有高度的非線性和不確定性，在一定條件下會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.國內(nèi)外已經(jīng)對交通流的混沌現(xiàn)象展開了研究，并取得了一定的成果［1－2］.判定混沌是研究和利用混沌的基礎(chǔ)性關(guān)鍵問題.通常采用時間序列分析的方法來判斷該時間序列是否具有混沌特性.定量判定方法通常分為兩類：一類是直接判定時間序列混沌特性的方法，如計算關(guān)聯(lián)維數(shù)等.但對于含有測量噪聲或時間序列短的數(shù)據(jù)，這些方法常會出現(xiàn)虛假的判定結(jié)果.另一類是通過檢驗(yàn)數(shù)據(jù)中的非線性成分間接判斷其混沌特性的方法.Theiler等（1992年）提出的以替代數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)時間序列中非線性成分的方法，是這類方法的代表［3］.它能有效地避免直接判定混沌的方法的局限性，而且當(dāng)它與某些專門算法結(jié)合使用時，能夠準(zhǔn)確地識別非線性混沌，比其他方法更為嚴(yán)密.

文獻(xiàn)［4］改進(jìn)了替代數(shù)據(jù)的生成算法，解決了經(jīng)過傅里葉變換并進(jìn)行相位隨機(jī)化后得到的時間序列數(shù)據(jù)的虛部可能不為零的問題，所生成的替代數(shù)據(jù)的虛部基本在10－8數(shù)量級以下，能夠很好地重構(gòu)原始時間序列的特性.

由交通流仿真軟件產(chǎn)生的交通流數(shù)據(jù)，稱之為仿真交通流.交通流仿真軟件是人們研究交通流問題的有力工具，它可以方便地產(chǎn)生各種典型的交通流時間序列，再現(xiàn)各種典型條件下的交通流特征，這樣可以避免實(shí)際交通流受到的諸多因素的制約，可以較全面方便地驗(yàn)證方法的有效性.

鑒于以上這些原因，本文優(yōu)化了改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法的算法實(shí)現(xiàn)過程，利用某微觀交通流仿真軟件生成了多組不同情況下的交通流時間序列，以此對改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法進(jìn)行較全面的驗(yàn)證.

1 功率譜法［5］

為了與應(yīng)用改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法判定混沌的結(jié)果進(jìn)行對比分析，本文選用一種直觀的判定混沌的方法——功率譜法.功率譜法屬于定性的判定方法，它只能從圖形上作直觀判斷，但較容易判定結(jié)果，因此較常用.

功率譜法判定混沌的基本原理是：通過功率譜圖的特點(diǎn)就可以判定該時間序列是否具有混沌特性.周期運(yùn)動的功率譜是分立的、離散的（對應(yīng)尖峰）；隨機(jī)運(yùn)動的功率譜的振幅與頻率無關(guān)，是連續(xù)平滑的頻譜；混沌運(yùn)動的功率譜也是連續(xù)的，但其功率譜不是平滑的，出現(xiàn)了噪聲和寬峰.

設(shè)交通流的時間序列｛xn：n＝1，2，…，N｝，xi為在ti時刻所得到的數(shù)據(jù)，其中t1，t2，…，tN分別為Δt，2Δt，…，NΔt，Δt為時間序列的時間間隔，功率的幅值為A（k），則A（k）－k／N（k＝1，2，…，N－1）關(guān)系圖即為功率譜圖.

2 改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法

2.1 替代數(shù)據(jù)法的原理

替代數(shù)據(jù)法的實(shí)質(zhì)是一種統(tǒng)計假設(shè)檢驗(yàn)，該方法的基本思想是：首先指定某種線性隨機(jī)過程為零假設(shè)，并依據(jù)該假設(shè)產(chǎn)生相應(yīng)的一組替代數(shù)據(jù)，然后分別計算比較原始數(shù)據(jù)和替代數(shù)據(jù)集的檢驗(yàn)統(tǒng)計量，最后根據(jù)原序列和替代數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量的顯著性差異水平在一定置信度內(nèi)決定接受或拒絕零假設(shè).

2.2 改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法的主要步驟

由于Grassberger，Procaccia［6］算法可以較容易地計算出關(guān)聯(lián)維數(shù)，本文采用關(guān)聯(lián)維數(shù)作為衡量指標(biāo)，以關(guān)聯(lián)維數(shù)作為混沌判據(jù)的改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法的主要步驟為

1）首先作出零假設(shè)：所討論的時間序列為線性隨機(jī)序列.

2）替代數(shù)據(jù)生成.本文選用一種改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)生成算法［7］，具體步驟如下：（1）對原始時間序列進(jìn)行傅里葉變換；（2）對變換后得到的序列進(jìn)行相位隨機(jī)化；（3）對隨機(jī)化后得到的序列進(jìn)行傅里葉逆變換.

3）分別計算待檢驗(yàn)數(shù)據(jù)及替代數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù).關(guān)聯(lián)維數(shù)的計算過程簡述如下：

（1）進(jìn)行相空間重構(gòu) 設(shè)｛xk：k＝1，2，…，N｝為時間序列，嵌入維數(shù)為m，則得到點(diǎn)集為

式中：n＝1，2，…，Nm，Nm＝N－（m－1）τ，τ＝kΔt為時間延遲，Δt為采樣間隔，k為整數(shù).

（2）計算關(guān)聯(lián)積分 關(guān)聯(lián)積分函數(shù)為

（3）根據(jù)ln Cm（r）－ln r圖來求取關(guān)聯(lián)維數(shù)

由上述關(guān)聯(lián)維數(shù)的計算過程可以看出，在計算關(guān)聯(lián)積分時包含了很多重復(fù)計算.根據(jù)式（3）可以推導(dǎo)出如下遞推公式

在計算過程中，利用式（4），結(jié)合前面已經(jīng)計算出存儲在內(nèi)存中的rij的結(jié)果，就可以求的新的rij，這樣就可以大大減少重復(fù)計算，加快運(yùn)算速度，節(jié)省機(jī)時.減少重復(fù)計算的數(shù)量受嵌入維數(shù)m影響，m值越大，減少重復(fù)計算的次數(shù)越多.

4）對一組原始數(shù)據(jù)產(chǎn)生多組替代數(shù)據(jù)，分別計算原始數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)Dorig和替代數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)Dsurr，令為所有替代數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)的均值，σsurr為所有替代數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)維數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差.顯著水平S定義為［8］

若取顯著性水平為a＝0.95，則當(dāng)S＞1.96時，表明原始數(shù)據(jù)與替代數(shù)據(jù)有明顯差別，原時間序列以95%的置信水平為非線性混沌時間序列；當(dāng)S＜1.96時，則原時間序列以95%的置信度為隨機(jī)時間序列.

3 所用的交通流微觀仿真軟件的簡介［9］

交通流仿真是用計算機(jī)再現(xiàn)實(shí)際交通流現(xiàn)象的一種技術(shù).這里使用的交通流微觀仿真軟件是筆者原來所在實(shí)驗(yàn)室自主開發(fā)的.它對每輛車運(yùn)行的具體過程做出了描述，能夠逼真地模擬出實(shí)際交通流的特征；車輛進(jìn)入路網(wǎng)的時間、車種、車速的設(shè)定以及路口轉(zhuǎn)向等都是隨機(jī)的，可以真實(shí)地再現(xiàn)路網(wǎng)上行駛的每一車輛從產(chǎn)生（進(jìn)入路網(wǎng)）、在路段上行駛、通過路口直至離去（駛離路網(wǎng)）的全過程；它不僅具有一般交通流微觀仿真軟件的基本功能，還有自身明顯的優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)了一些其它交通流微觀仿真軟件的缺點(diǎn).主要有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）以往的交通流仿真軟件沒有進(jìn)行路口內(nèi)交通流的微觀仿真.一般情況下，那些仿真軟件采用宏觀統(tǒng)計的方法處理，測出各類典型路口的典型車輛實(shí)行左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、直行所需時間，以及進(jìn)入接收鏈時的速度；當(dāng)車輛轉(zhuǎn)彎時，經(jīng)過轉(zhuǎn)彎所需時間后，將車轉(zhuǎn)入接受鏈.這種籠統(tǒng)地處理使得那些模型不夠完善，仿真結(jié)果不夠精確.本文采用的交通流微觀仿真軟件對此作了改進(jìn)，對路口內(nèi)的交通流也進(jìn)行了微觀仿真，提高了模型的可信度.

2）以往的交通流仿真軟件沒有處理現(xiàn)實(shí)路網(wǎng)上的不確定性，某個時刻進(jìn)入路網(wǎng)內(nèi)車輛的種類是不確定的，駛?cè)肼肪W(wǎng)的初始速度是不確定的，駕駛員的類型也是不確定的，對于以上這些不確定因素以往的交通流仿真軟件均沒有反映出來.本文所用微觀仿真軟件，對這個問題的解決有大的突破.它通過對愛爾朗分布的變換并且配合其它的概率分布，模擬出了現(xiàn)實(shí)世界中的不確定性，使仿真系統(tǒng)能夠產(chǎn)生出與現(xiàn)實(shí)路網(wǎng)中相似的不確定交通流.

4 微觀仿真交通流混沌判定的實(shí)證

實(shí)驗(yàn)研究的目的是以城市交通流微觀仿真軟件為研究對象進(jìn)行方法驗(yàn)證，即通過交通流微觀仿真軟件獲得多組不同條件下的交通流仿真數(shù)據(jù)，再利用獲得的時間序列驗(yàn)證改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法.

仿真所用路網(wǎng)如圖1所示.本路網(wǎng)選用3個交叉路口和10條雙向道路，共有20條單向車道.每條單向車道旁設(shè)置了不同的公共場所，這些場所的設(shè)置影響著周圍道路交通流的大小，因?yàn)閷Σ煌膱鏊荚O(shè)置了不同的車輛駛?cè)牒婉偝隽浚⑶叶甲裱欢ǖ姆植?，使交通流微觀仿真進(jìn)一步接近實(shí)際交通流.

圖1 軟件仿真所用路網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖

為了使仿真數(shù)據(jù)更具穩(wěn)定性，在仿真過程中采用仿真時間為2 000s，采樣間隔為1s進(jìn)行采樣.本次仿真實(shí)驗(yàn)選擇不同條件（如時間、地點(diǎn)、外部環(huán)境等）采集仿真交通流時間序列共20組.為簡單方便地說明問題，本文只以第8車道距入口1m處采集的1組仿真交通流時間序列為例進(jìn)行說明，其中觀測變量為前后2車間的車頭時距，如圖2所示.

圖2 仿真軟件產(chǎn)生的交通流的車頭時距

首先用功率譜法對時間序列進(jìn)行混沌判定，其功率譜圖見圖3.然后再應(yīng)用改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法對此時間序列進(jìn)行混沌判定，雖然仿真交通流時間序列的樣本點(diǎn)不是等時間采集的數(shù)據(jù)，它與關(guān)聯(lián)維數(shù)的定義要求有些不同，但是如果去掉量綱，不考慮各變量的物理意義，上述仿真得到的序列可以看成一個等時間采集的時間序列，而對這個序列我們可以應(yīng)用改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法對其從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行混沌判定；而通過車頭時距的序列是否含有混沌特性就可以判定出這段時間的交通流是否處于混沌狀態(tài).按照改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法的計算步驟，本文生成了5組替代數(shù)據(jù)，表1列出了當(dāng)嵌入維數(shù)m＝4，8，12，16，20，24，28時的原始數(shù)據(jù)和替代數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)以及判據(jù)S.

從上面實(shí)證結(jié)果中可以看出：

1）盡管原始時間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)隨m的增大也逐漸增大，并且在m＝24以后增加的幅度不大，但是從關(guān)聯(lián)維數(shù)隨m的增加趨勢上看仍難以確定在m≥24以后的關(guān)聯(lián)維數(shù)增加的幅度是否越來越小.因此，依照GP算法，單從關(guān)聯(lián)維數(shù)上分析，難以確定該時間序列是否含有混沌特性.但利用改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法來檢驗(yàn)則發(fā)現(xiàn)所有判據(jù)S的值均遠(yuǎn)大于1.96，結(jié)合關(guān)聯(lián)維數(shù)的情況則能判定仿真交通流中存在著混沌現(xiàn)象.

表1 原始時間序列及其5組替代數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)和判據(jù)

圖3 仿真交通流的功率譜圖

2）通過觀察時間序列功率譜圖，看到仿真交通流時間序列的功率譜是連續(xù)的，但不是平滑的，而是出現(xiàn)了噪聲和寬峰.因此，由功率譜法可知其含有混沌特性.應(yīng)用改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法的判定結(jié)果與此結(jié)果相同.

3）本文生成了20組仿真交通流時間序列進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在樣本點(diǎn)數(shù)滿足要求的情況下，應(yīng)用改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法都能準(zhǔn)確判定混沌.因此該方法能夠?qū)Ψ抡娼煌鲿r間序列進(jìn)行準(zhǔn)確的混沌判定.

4）改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法的算法實(shí)現(xiàn)過程的優(yōu)化，加快了運(yùn)算速度.

5 結(jié)束語

本文利用某微觀交通流仿真軟件生成了多組不同條件下的仿真交通流時間序列，并應(yīng)用改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法對其進(jìn)行了混沌判定.結(jié)果表明：（1）改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法是判定交通流混沌的一種有效方法；（2）此微觀交通流仿真軟件生成的某些交通流時間序列具有混沌特性，這可以從一個側(cè)面反映出該仿真軟件在這個方面的合理性.（3）優(yōu)化后的算法實(shí)現(xiàn)可以提高計算速度，節(jié)省機(jī)時.

由于本文采用的交通流微觀仿真軟件能較好的再現(xiàn)實(shí)際交通流的情況，因此進(jìn)一步驗(yàn)證了微觀交通流中混沌現(xiàn)象的存在性，并為今后進(jìn)一步研究交通流的混沌特性、轉(zhuǎn)化方式、混沌控制等提供理論指導(dǎo)和參考.

［1］王東山，賀國光.交通混沌研究綜述與展望［J］.土木工程學(xué)報，2003，36（1）：68－74.

［2］張 杰，賀國光.基于一維元胞自動機(jī)模型的交通流混沌研究［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報：交通科學(xué)與工程版，2009，33（1）：33－36.

［3］Theiler J，Eubank S，Longtin A.Testing for nonlinearity in time series－the method of surrogate data［J］.Physica D：Nonlinear Phenomena，1992，58（1－4）：77－94.

［4］盧 宇，賀國光.基于改進(jìn)型替代數(shù)據(jù)法的實(shí)測交通流的混沌判別［J］.系統(tǒng)工程，2005，23（6）：21－24.

［5］呂金虎，陸君安，陳士化.混沌時間序列分析及其應(yīng)用［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2002.

［6］Grassberger P，Procaccia I.Measuring the strangeness of strange attractors［J］.Physica D：Nonlinear Phenomena，1983，9（1－2）：189－208.

［7］雷 敏，王志中.非線性時間序列的替代數(shù)據(jù)檢驗(yàn)方法研究［J］.電子與信息學(xué)報，2001，23（3）：248－254.

［8］Rombouts S，Kemen R，Stam C J.Investigation of nonlinear structure in multichannel EEC［J］.PHYS.Lett.A.，1995，202（5－6）：352－358.

［9］馬壽峰，賀國光，劉 豹.一種通用的城市道路交通流微觀仿真系統(tǒng)的研究［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，1998，34（4）：8－15.