巴宏欣 何心怡 方 正 李春芳

（空軍指揮學院1） 北京 100097） （海軍裝備研究院2） 北京 100161）

機動目標跟蹤在軍事和民用等領域具有重要的用途.為此，人們建立了很多種加速度模型，如周宏仁教授提出的“當前”統(tǒng)計模型［1］，Kishore Mehrotra提出的Jerk模型［2］，以及在其基礎上的若干改進模型等［3－4］.本文在“當前”統(tǒng)計模型自適應濾波算法的基礎上，通過分析新息與加速度變化量之間的關系，提出了一種機動加速度方差的實時在線估計方法，使加速度方差能隨加速度變化量進行合理的自適應調整，克服了“當前”統(tǒng)計模型在非機動或弱機動情況下方差過大而帶來的跟蹤精度不高等缺點，從而能更好地適應目標非機動和機動的各種情況，明顯提高了對目標的跟蹤精度.

1 “當前”統(tǒng)計模型自適應濾波算法

“當前”統(tǒng)計模型的自適應濾波算法是建立在卡爾曼濾波基礎上的，其基本濾波方程為

當“當前”加速度為正時

當“當前”加速度為負時

由于采用了把加速度的一步預測看作是瞬時的“當前”加速度均值，即式（2）可進一步簡化為

由于該算法采用機動加速度方差自適應，因此無需機動檢測便能很好地跟蹤機動目標，但是由于該算法在于跟蹤勻速目標或機動加速度較小的目標時，加速度的方差較大，因此跟蹤誤差較大，精度較低.原因分析如下.

由式（7）可以看出，對于“當前”統(tǒng)計模型的機動加速度的方差計算，當k－1時刻估計出的加速度（k－1｜k－1）為正值，其數(shù)值越小，則（k－1）越大，當（k－1｜k－1）＝0時，（k－1）達到最大值；反之（k－1｜k－1）的數(shù)值越大，則（k－1）越小，當（k－1｜k－1）＝amax時（k－1）達到最小值.由式（8）亦可得到同樣的結論.也就是說，在當前統(tǒng)計模型中，目標越是接近勻速直線運動，其加速度方差越大；目標的加速度越是接近其加速度極限值，其加速度的方差越小.而加速度方差的含義是：加速度變量相對于其數(shù)學期望的分散程度，該數(shù)值越大，表明所得到的加速度變量的分布相對于其數(shù)學期望越分散.由式（7）和（8）所得到的結論為：加速度方差與加速度的數(shù)學期望大小的關系是，加速度的真值越接近amax或其方差越?。患铀俣鹊恼嬷翟浇咏诹?，其方差越大，即加速度變量的分布越分散.而這是與實際情況不符合的，實際目標運動加速度的方差不是按照上述規(guī)律變化.實際的加速度的方差，應與加速度的變化量大小有關，即在某一周期內，加速度的變化量越大，實際的加速度變量相對于其數(shù)學期望越分散，加速度的方差越大，反之越小.因此“當前”統(tǒng)計模型自適應濾波算法在跟蹤強機動目標時精度較高，而跟蹤勻速運動目標或機動加速度小的目標精度較低的主要原因——加速度方差計算不當而帶來的跟蹤精度損失.

此外，“當前”統(tǒng)計模型的加速度方差計算方法也沒有引入當前時刻的觀測值對加速度方差計算的影響.

為此，本文分析了新息與加速度變化量之間的關系，提出了一種利用新息實現(xiàn)加速度方差的在線估計方法，使方差的計算結果更加符合目標的機動和非機動的各種實際情況，從而提高了對目標的跟蹤精度.

2 改進的自適應濾波算法

分析目標的運動模式與所采用的加速度模型及濾波方法之間的關系，可假設如下前提.

假設前提一：若目標的運動模式不發(fā)生變化，且運動模式與所采用的加速度模型匹配時，測量值與預測值之間的差異應為傳感器“測量噪聲”引起的隨機誤差，可以用濾波方法即可濾除之，如卡爾曼濾波；

假設前提二：若目標的運動模式發(fā)生變化，如加速度在k－1時刻（瞬時）發(fā)生階躍，在高采樣頻率的前提下，可認為從k－1到k的采樣周期內加速度保持不變.即在高采樣頻率下，采樣周期非常短暫時，不妨假設目標在k－1時刻加速度由變?yōu)椋，且在k－1到k采樣周期內加速度保持該數(shù)值不變.而＋Δa為k－1到k的采樣周期內的實際加速度，其中加速度變化量Δa是待估的未知數(shù)值.

按照位移公式，預測值滿足下式（假設前一時刻模型與模式是匹配的）

而實際的測量值滿足下式

則新息（預測值與觀測值之差）為

考慮到測量誤差，新息應為

式中：vk為k時刻的傳感器測量的隨機誤差，為零均值的高斯白噪聲.可見新息的來源由兩部分組成，前一項是由加速度的變化引起，后一項是由傳感器測量的隨機誤差引起的（這里不考慮系統(tǒng)偏差，假定已經(jīng)做過系統(tǒng)誤差修正了）.

于是

因目標的加速度變化量與傳感器的觀測隨機誤差是相互獨立的，且E｛vk｝＝0，于是式（13）可簡化為

當目標的加速度不發(fā)生變化時（如目標做常速直線運動，或是已實現(xiàn)對常加速運動的目標的平穩(wěn)跟蹤時，此時估計加速度與實際加速度非常接近），此時加速度的變化量也服從零均值的高斯白噪聲分布，則E｛Δa｝＝0，此時E｛Δd｝＝0，即新息也服從零均值的高斯白噪聲.

當目標的加速度發(fā)生變化時，從式（14）可以看出，此時Δa為非零均值，即E｛Δa｝≠0，因此E｛Δd｝≠0，即新息不再滿足零均值的高斯白噪聲的條件了.

由此可以看出，當加速度發(fā)生階躍時，新息不滿足零均值高斯白噪聲的條件，而是非零均值，滿足

式（15）體現(xiàn)了當前時刻新息與加速度變化量之間的關系.由于機動加速度方差與加速度變化量的絕對值成線性關系［5］，而機動加速度變化量與新息之間滿足式（15）所示的線性關系，因此可利用新息與加速度變化量之間的關系給出一種較為合理的加速度方差自適應在線估計公式

式中：Δd為k時刻的新息，可由k－1時刻到k時刻的位置預測值與k時刻的觀測值之差求取.k時刻的觀測值已包含了k－1時刻到k時刻的加速度變化對觀測值的影響.當目標發(fā)生機動時，預測值與實際觀測值的偏差會增大，引起新息增大，由式（16）得到的加速度方差也相應增大；且機動越大，兩者的偏離程度越大，導致機動加速度的方差越大.因此，本文的方差計算方法可以與目標的機動程度相適應.

改進的方差自適應濾波方法流程如下：

分析實際目標的運動變化規(guī)律可知，當加速度發(fā)生突變時，加速度變量的分布相對于其數(shù)學期望的分散性增大，此時加速度方差應該增大，以適應這種分布情況；而當跟蹤非機動目標或穩(wěn)定跟蹤以常加速度運動的目標時，加速度變量的分布相對于其數(shù)學期望應該相對集中，此時加速度方差應該很小.而式（16）充分反應出上述加速度方差的變化規(guī)律，可見本文提出的加速度方差估計方法具有理論上的合理性.

本文的機動加速度方差的在線估計，能夠實時適應目標的機動與非機動的情況，無需機動檢測，也無需設定先驗參數(shù).且本文的機動加速度方差計算引入了當前時刻加速度變化量對加速度方差的影響，因此更具科學性.

由本文的第2部分的分析可知，在當前統(tǒng)計模型中，目標越是接近勻速直線運動，其加速度方差越大；目標的加速度越是接近其加速度極限值，其加速度的方差越小.而本算法在目標未發(fā)生機動或已實現(xiàn)對常加速運動的平穩(wěn)跟蹤時，新息相對較小，計算出的相應的加速度方差也較??；而在目標發(fā)生機動的時刻，計算出的相應的加速度方差隨之增大，方差調整得當，符合σ2a的物理意義.而加速度方差在濾波算法中是調整濾波增益計算的關鍵因素之一，方差調整是否得當對于目標運動狀態(tài)的估計精度有著重要的影響.因此，本文的算法具有相對更高的跟蹤精度.

3 仿真及結果分析

仿真周期為100s，目標的初始速度為300 m／s，在［1，60］周期內做常速運動，在［61，100］周期內做加速度為3 g的常加速運動.傳感器的采樣周期為1s，其觀測噪聲的誤差協(xié)方差為σ2＝10 000m2.分別采用標準的“當前”統(tǒng)計模型自適應濾波算法和本文所提出的改進算法進行濾波跟蹤，“當前”統(tǒng)計模型中采用的機動時間常數(shù)的倒數(shù)α＝0.1，加速度的極限值取8 g.經(jīng)過100次Monte Carlo仿真試驗，所得到的結果分別如圖1～圖6所示.圖1和圖2分別為位置估計的均方根誤差比較；圖3和圖4分別為速度估計的均方根誤差比較；圖5和圖6分別為兩種方法估計的加速度曲線與加速度真值的比較.圖7和圖8為目標在［61，100］周期內加速度為5 g的機動時的位置估計結果.

圖1 目標的x方向位置估計的均方根誤差比較

圖2 目標的y方向位置估計的均方根誤差比較

圖3 目標的x方向速度估計的均方根誤差比較

圖4 目標的y方向速度估計的均方根誤差比較

圖5 目標的x方向加速度估計比較

圖6 目標的y方向加速度估計比較

圖7 目標的x方向位置估計的均方根誤差比較（5 g）

圖8 目標的x方向位置估計的均方根誤差比較（5 g）

從仿真結果可以看出，無論目標處于非機動狀態(tài)（常速運動時），還是以較大的加速度機動的狀態(tài)（本文中目標以3 g加速度進行機動時），本文提出的算法在對目標的位置估計精度、速度估計精度上都明顯優(yōu)于“當前”統(tǒng)計模型，即使在加速度的階躍點處，本文的算法也有較高的估計精度，圖1～圖4驗證了上述結論.從圖中可以看出，相對于“當前”統(tǒng)計模型，本文提出的算法對位置的估計精度在整體上提高了28%左右；對速度的估計精度，在非機動段，提高了45%左右，在機動段提高了25%以上.

從圖7和圖8（目標的加速度為5 g）與圖1和圖2（目標的加速度為3 g）的對比中進一步驗證了本文前面的理論分析：相對于無加速度或加速度相對較小的情況，使用“當前”統(tǒng)計模型平穩(wěn)跟蹤加速度較大的目標時，跟蹤精度會更高，是因為其加速度方差較小的緣故，符合前面對“當前”統(tǒng)計模型的加速度方差的特點分析；而本文提出的算法，無論對目標有無加速度狀態(tài)，都保持了較高的跟蹤精度.

從圖5和圖6可以看出，本算法對目標的加速度估計，較“當前”統(tǒng)計模型的自適應濾波方法所得到的加速度估值更為平穩(wěn)，精度也更高，更加接近目標真實的加速度值，其快速響應能力也類似于“當前”統(tǒng)計模型.可見本算法提出的實時在線加速度方差計算方法具有合理性.

4 結束語

提出了一種新的方差自適應濾波算法.在“當前”統(tǒng)計模型自適應濾波算法的基礎上，合理分析了加速度變化量對新息的影響，充分利用了實時的觀測信息，實現(xiàn)了加速度方差隨加速度變化的自適應估計，因此能更好地適應目標非機動和機動的各種情況，避免了“當前”統(tǒng)計模型在目標非機動或弱機動時加速度方差過大而帶來的跟蹤精度不高的問題，同時也避免了“當前”統(tǒng)計模型對目標加速度的極限值的設定，且無須進行機動檢測.理論分析和仿真結果表明，無論是跟蹤常速運動目標還是跟蹤強機動目標，本算法都具有較高的跟蹤精度.

［1］周宏仁，敬忠良，王培德.機動目標跟蹤［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1991.

［2］Mehrotra K，Mahapatra P R.A jerk model for tracking highly maneuvering targets［J］.IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，1997，33（4）：1094－1105.

［3］喬向東，王寶樹，李 濤，華冠文.一種高度機動目標的“當前”統(tǒng)計Jerk模型.西安電子科技大學學報：自然科學版，2002，29（4）：534－539.

［4］劉海燕，趙宗貴，劉 熹，巴宏欣.一種機動目標的自適應跟蹤算法［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2007，31（2）：341－344.

［5］王 芳，馮新喜，李鴻艷.一種新的自適應濾波算法［J］.現(xiàn)代雷達.2003，7（7）：33－35.