張景輝，李 波，黨長青

ZHANG Jing-hui，LI Bo，DANG Chang-qing

（唐山學院，唐山 063020）

0 引言

圖像分割在計算機視覺和圖像處理等應用中起著重要的作用。基于圖像全局信息的主動輪廓模型Mumford-Shah模型[1]被提出以后日益成為圖像分割領域中一種有效而強大的研究工具。Chan和Vese在Mumford-Shah模型和水平集方法[2]的基礎上提出了一種圖像分割模型—C-V模型[3]。該模型提出以后人們對其進行了深入的研究[4~6]。C-V模型具有很多優(yōu)點，例如,可以得到全局最優(yōu)解；能有效分割離散狀的目標；分割結果對活動輪廓曲線的初始位置不敏感，等等。雖然C-V模型具有很多優(yōu)點，但也有如下的缺點：1）由于δε（x）函數(shù)對遠離活動輪廓曲線的目標邊緣的抑制，使得C-V模型的分割速度非常慢。2）由于C-V模型僅利用一條閉合活動輪廓曲線分割圖像，因此該模型只適用于分割具有一個目標的圖像或者具有多個相同灰度級目標的圖像，對于含有多灰度級目標的圖像只能有效分割出強目標而弱目標則不能被正確地分割。針對C-V模型的上述缺點很多學者提出了改進方法。例如，李俊等[7]提出了用常數(shù)1替換δε（x）的改進方法。該改進方法雖然加速了C-V模型的分割速度，但也同時加速了活動輪廓曲線滑過弱目標區(qū)域的速度，從而加劇了過迭代和漏分割現(xiàn)象的產生。Song Gao等[8]提出了采用多個活動輪廓曲線分割圖像的方法，該方法雖然能實現(xiàn)多灰度級目標的分割，但交替的進化多個活動曲線的計算量非常大并且計算結果也不穩(wěn)定。

基于以上原因本文提出了把梯度信息引入C-V模型偏微分方程的圖像分割算法。根據C-V模型完成圖像分割時，目標區(qū)域像素點與背景區(qū)域像素點的水平集函數(shù)值的特征提出了一個基于梯度信息的加速因子。該加速因子可以有效地加速目標邊界處像素點水平集函數(shù)值的進化速度，從而加速C-V模型的分割速度。根據水平集方法的基本原理和弱目標的梯度特征提出了一個弱目標區(qū)域控制項，該控制項可以快速穩(wěn)定地鎖定弱目標邊界像素點的水平集函數(shù)值，使弱目標可以被快 速地，正確地分割。由于弱目標區(qū)域控制項可以使弱目標被有效分割，因此結合梯度信息的C-V模型只使用一條活動輪廓曲線就可以正確分割含有多灰度級目標的圖像。

1 C-V模型分析

1.1 C-V模型

假設圖像中每個同質區(qū)域的灰度是常數(shù)，設定義域為?的圖像u0（x,y）被閉合活動輪廓曲線C劃分為目標ui（C的內部inside（C））和背景uo（C的外部outside（C））兩個區(qū)域，閉合活動輪廓曲線C內外像素的平均灰度值分別為c1，c2。考慮如下擬合能量函數(shù)：

Length（C）是閉合活動輪廓曲線C的長度，Area（inside）（C）是閉合活動輪廓曲線C的內部區(qū)域面積，μ≥0，ν≥0，λ1＞0，λ2＞0是各個能量項的權重系數(shù)。只有 位于兩個同質區(qū)域的邊界時式（1）才能達到最小值。因此通過最小化式（1）就可以獲得最終的圖像分割結果。利用由初始閉合活動輪廓曲線得到的水平集函數(shù)φ（x,y），Chan和Vese把式（1）改寫為：

與式（1）相比，式（2）中的積分區(qū)間擴展到了圖像的整個定義域。當式（2）表示的能量函數(shù)達到最小值時，就完成了圖像的最終分割。

在最小化式（2）所示的能量函數(shù)時容易出現(xiàn)極小值的情況[9,10]。為了解決這個問題，Chan和Vese分別用規(guī)則化的Heaviside函數(shù)和規(guī)則化的Dirac函數(shù)代替Heaviside函數(shù)和Dirac函數(shù)。利用歐拉—拉格朗日法求解式（2）可得到以水平集函數(shù) 表示的如下偏微分方程：ε是大于零的參數(shù)，c1，c2由式（3）得到。通過迭代求解式（4）即可得到模型的解。

1.2 對C-V模型的分析

C-V模型之所以能有效地分割出帶空洞的目標，是因為采用了規(guī)則化的Dirac函數(shù)：

該函數(shù)保證在圖像定義域范圍內，所有點的函數(shù)值都是趨于零的正值，從而能檢測出空洞區(qū)域中的異質區(qū)域邊界。然而從式（5）可以看出當變量增加到某一數(shù)值時函數(shù)值δε（x）接近于零，并且不再有明顯變化。因此該函數(shù)嚴重抑制了對遠離閉合活動輪廓曲線的目標邊緣的檢測速度，致使C-V模型的分割速度非常緩慢。

由于C-V模型僅利用一條閉合活動輪廓曲線，因此該模型只適用于分割具有均質目標和背景的圖像而對于分割含有多灰度級目標的圖像則不能分割出與背景灰度級差別不大的弱目標。弱目標不能被分割可分為過迭代和漏分割兩種情況。所謂過迭代就是在合適的迭代次數(shù)下可以把弱目標區(qū)域很好地分割出來，如果繼續(xù)迭代的話，弱目標又被看作為背景。漏分割就是弱目標一直被看作背景無法被分割。

實驗中發(fā)現(xiàn)在迭代求解方程（4）的過程中，水平集函數(shù)φ不收斂，使得很難設定一個迭代停止的標準（本文的仿真實驗在生成符號距離函數(shù)時，在初始閉合活動輪廓曲線內部的像素點取正號，外部的取負號）。我們只能交互式的調整預先設定的迭代次數(shù)，當弱目標在初始活動輪廓曲線內部時容易產生過迭代，如圖1所示。初始時弱目標在初始閉合活動輪廓曲線內部，則其 φ值為正數(shù)，圖1（a）。在迭代的過程中可以檢測到其區(qū)域的邊緣，圖1（b）。由于弱目標的灰度值與背景差別不大，c2的值接近弱目標區(qū)域像素點的灰度值，所以式（4）中的（u0（x,y）-c2）2要遠小于（u0（x,y）-c1）2，因此式（4）中的右邊會小于零，再經過幾次迭代弱目標區(qū)域的 值就變成負值。初始閉合曲線就會滑過弱目標區(qū)域，從而該目標區(qū)域就被看成是背景區(qū)域了，圖1（c）。弱目標在初始閉合活動輪廓曲線外部時則容易產生漏分割的現(xiàn)象，如圖2所示。初始時弱目標的水平集函數(shù)值為負值，圖2（a）。由于弱目標與背景的灰度值差別不大，在求解（4）的過程中其水平集函數(shù)值的符號沒有發(fā)生改變，活動輪廓曲線不能演化到該區(qū)域的邊界，如圖2（b）所示。弱目標最終也不能被分割出來，如圖2（c）所示。

圖1 過迭代現(xiàn)象

圖2 漏分割現(xiàn)象

2 結合梯度信息的C-V模型及數(shù)值實現(xiàn)

2.1 結合梯度信息的C-V模型

圖3 原圖像和最終分割結果的水平集函數(shù)

根據C-V模型和水平集方法的基本原理可知，圖像中的目標被正確分割時，目標區(qū)域像素點與背景區(qū)域像素點的水平集函數(shù)值的符號一定相反，如圖3所示。（圖3中第一行是初始活動輪廓曲線在不同位置的原圖像；第二行是對應的最終分割結果的水平集函數(shù)。）另外，由于C-V模型所討論的圖像是近似分段常數(shù)函數(shù)，因此目標區(qū)域和背景區(qū)域的輪廓點與同質區(qū)域中其他像素點相比具有較大的梯度幅值。所以根據上述特征，我們引入梯度信息以加速目標和背景輪廓點水平集函數(shù)值的改變。當目標輪廓點與背景輪廓點的水平集函數(shù)值符號相反時也就可以完成對圖像的分割。根據以上分析在方程（4）中加入基于梯度信息的加速因子：

其中u0（x,y）為圖像函數(shù)，Gσ是標準差為σ的高斯函數(shù)，‘*’表示卷積操作，是圖像經過高斯函數(shù)卷積后的梯度，使用高斯函數(shù)卷積圖像是為了平滑圖像中的噪聲，降低分割結果對噪聲的敏感性，c是大于零的常數(shù)。

對加速因子做進一步分析：

由于圖像中每個同質區(qū)域的灰度值是常數(shù)，在同質區(qū)域內部的像素點的梯度值為零，加速因子的值為1；目標和背景輪廓點的梯度幅值較大，這些像素點的加速因子可取得較大的值。由于同一幅圖像在不同的環(huán)境下要求分割出的目標的細節(jié)不一樣。c就是用來控制被分割的目標的細節(jié)程度。如果只分割主要目標，c的值可取的大一些（0.5-1）。如果要分割出細節(jié)目標，c應取比較小的值（0.1-0.5）。

為了解決C-V模型容易產生過迭代和漏分割的缺點本文考慮引入基于梯度信息的弱目標區(qū)域控制項。由水平集方法的基本原理可知，具有零水平集函數(shù)值的像素點兩側的像素點具有符號相異的水平集函數(shù)值。另外，弱目標輪廓點具有較小梯度幅值。根據水平集方法的基本原理和弱目標所具有的梯度特征，弱目標區(qū)域控制項應滿足如下條件：

1）只對與背景灰度值差別不大的弱目標區(qū)域起作用。

2）能快速地使弱目標區(qū)域輪廓點兩側的像素點具有符號相異的水平集函數(shù)值并且水平集函數(shù)值不隨著迭代的進行發(fā)生變化。這樣活動輪廓曲線就可以快速地演化到弱目標區(qū)域輪廓點，并且隨著迭代的進行活動輪廓曲線位置不會發(fā)生改變。

基于以上考慮，本文定義如下弱目標區(qū)域控制項：

其中u0（x,y）為圖像函數(shù)Gσ是標準差為σ的高斯函數(shù)，‘*’表示卷積操作，是圖像經過高斯函數(shù)卷積后的梯度，是拉普拉斯算子作用于高斯函數(shù)卷積后的圖像的結果，L1和 L2都是大于零的常數(shù)且

對弱目標區(qū)域控制項的進一步分析：

1）由于弱目標與背景的灰度值差別不大，弱目標區(qū)域輪廓點的梯度幅值就會很小，因此通過調整式（7）中L1和 L2的值就可以鎖定弱目標區(qū)域的輪廓點。為了更精確的鎖定這類輪廓點，可以根據梯度直方圖來調整L1和 L2的值。

2）在圖像的邊界處，二階導數(shù)有一個非常重要的性質，即目標邊界兩側的二階導數(shù)值符號相反。利用該性質和sign（x）函數(shù)就可以使弱目標輪廓點兩側的水平集函數(shù)值保持符號相異。

把式（7）和式（8）引入式（4）中就得到如下的結合梯度信息的C-V模型偏微分方程：

由上式可以看出加速因子有效加速圖像中強目標的分割，弱目標區(qū)域控制項可以快速穩(wěn)定的分割出弱目標。因此結合梯度信息的C-V模型，加速圖像分割的同時也會提高C-V模型的分割精度。

2.2 結合梯度信息的C-V模型的數(shù)值解法

對圖像u0（x,y）進行離散化，設h為離散網絡的步長，（xi,yi）=（ih,jh）,1≤i,j≥M為格點坐標，M為圖像離散后最大坐標，?t為時間步長，φni,j=φ（n?t,xi,yi）是φ（t,x,y）的近似，這里有n≥0，

φ0=φ。0

根據邊緣的特征可知邊緣點亮的一側拉普拉斯算子的值為正，暗的一側為負。由式（9）可知無論弱目標在初始閉合曲線的外部還是內部，緊挨弱目標邊緣點兩側的像素點的水平集函數(shù)值大小相等符號相反，并且隨著迭代的進行水平集函數(shù)值不發(fā)生改變。雖然根據式（9）求得的水平集函數(shù)不再保持為符號距離函數(shù)了，但這并不會影響分割結果的穩(wěn)定性。這是因為在C-V模型中水平集函數(shù)即使不是符號距離函數(shù)也可以得到滿意的分割結果[3]。

對于其他像素點的偏微分方程采用有限差分法求解方程，

根據（10）將偏微分方程解的形式用離散化表示為：

式中的c1，c2可由式（3）得到。

3 仿真結果

為了驗證改進算法的有效性，我們對一幅合成圖像和一幅自然圖像進行了仿真實驗，這兩幅圖像的尺寸都是 。圖4所示為結合梯度信息的C-V模型和C-V模型對合成圖像的分割結果。實驗中參數(shù)：

圖4（a）是原圖像，弱目標在初始活動曲線的內部；圖4（b）是C-V模型的迭代30次的分割結果，耗時0.6267s，已經發(fā)生了弱目標邊界泄漏；圖4（c）是改進的C-V模型迭代2次的分割結果，耗時0.0503s；圖4（d）是結合梯度信息的C-V模型迭代100次的分割結果，沒有發(fā)生弱目標邊界泄漏；圖4（e）是圖4（d）對應的水平集函數(shù)，從圖4（e）看出弱目標邊界像素點的水平集函數(shù)值被穩(wěn)定地鎖定了。

圖5所示為結合梯度信息的C-V模型和C-V模型對含有多灰度級目標的自然圖像分割結果。實驗中選擇的參數(shù)為：

圖5（a）是原圖像，弱目標在初始活動曲線的外部（圖像的底部所包含的目標為弱目標）；圖5（b）是結合梯度信息的C-V模型迭代18次的分割結果，耗時0.59s，弱目標已被有效地分割出來；圖5（c）是C-V模型迭代500次的分割結果，耗時9.23，圖像下半部分的弱目標沒有被分割出來耗時9.23s；圖5（d）是C-V模型迭代1000次的分割結果，耗時18.30s，弱目標仍然沒有被分割出來。

圖5 含有多個灰度級目標的自然圖像分割結果

從圖4和圖5中的實驗結果可以看出結合梯度信息的C-V模型不僅有效地解決了過迭代和漏分割問題，而且圖像完成分割的迭代次數(shù)相對于C-V模型有很大的降低，圖像的分割速度有顯著的提高。

4 結論

梯度信息是圖像所具有的基本特征之一，本文在對C-V模型容易產生過迭代，漏分割和分割速度慢的原因詳細分析基礎上，提出了把基于梯度信息的加速因子和弱目標區(qū)域控制項引入到C-V模型偏微分方程中的圖像分割算法。弱目標區(qū)域控制項可以快速穩(wěn)定的鎖定弱目標邊界，從而可以有效地解決過迭代和漏分割問題，也就是說僅利用一條活動輪廓曲線就可以有效地分割含有多灰度級目標的圖像。基于梯度信息的加速因子可以著地提高圖像的分割速度。實驗結果表明了所給算法的有效性。

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