馮垚飛，尚建宇

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071003)

CaO顆粒表面形貌的多重分形研究

馮垚飛，尚建宇

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071003)

不同的溫度下煅燒石灰石后，利用掃描電鏡得到了各溫度下CaO的SEM圖片，將圖片進(jìn)行二值化處理后，運(yùn)用分形理論及統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)公式，做出了各溫度下分形圖像的多重分形譜，從分形角度論述了分形圖像顆粒分布的規(guī)則性及均勻性。結(jié)果表明，較高溫度時(shí)，CaO形貌呈現(xiàn)出較好的多重分形特征，顆粒分布也有較好的規(guī)則性和均勻性。

石灰石;氧化鈣;煅燒;二值化;多重分形

0 引言

隨著環(huán)保要求的提高和更嚴(yán)格排放標(biāo)準(zhǔn)的出臺(tái)，大部分燃煤鍋爐都面臨著加強(qiáng)控制二氧化硫排放的問題［1］，石灰石在工程中常被用作脫硫劑脫除煙氣中的二氧化硫，脫硫時(shí)，石灰石在高溫狀態(tài)下受熱分解成CaO，CaO與二氧化硫反應(yīng)生成CaSO4，從而達(dá)到脫硫的目的。石灰石煅燒后生成的CaO呈多孔狀，內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，學(xué)者們嘗試建立了許多模型分析CaO的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，如晶粒模型、縮核模型［2］等，但都存在一定的誤差。分形幾何是由數(shù)學(xué)家Mandelbrot［3］在1975年提出的一門基于自相似原理的新的數(shù)學(xué)分支，是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，力求從表征幾何特征的一系列參數(shù)來闡述、揭示非線性動(dòng)力學(xué)機(jī)理，大自然中許多圖形和圖像都呈現(xiàn)出分形特性。分形理論在各個(gè)學(xué)科中均有廣泛的應(yīng)用。分形維數(shù)是分形幾何中用于描述對(duì)象復(fù)雜性和規(guī)則性的量度，其值通常為分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)單的分形維數(shù)僅能對(duì)研究對(duì)象作整體性和平均性的分析，不能全面地反映不同區(qū)域的精確信息，為此人們提出了多重分形的相關(guān)理論，通過多重分形理論中的多重分形譜對(duì)圖像的各個(gè)區(qū)域進(jìn)行描述和總結(jié)，可以得到一系列如密度分布、均勻性等參數(shù)的有關(guān)信息［4］。本文利用多重分形理論對(duì)石灰石在不同溫度下煅燒產(chǎn)物 (CaO)的SEM圖像進(jìn)行分析，做出了各圖像的多重分形譜并對(duì)譜函數(shù)圖像做出了解釋。

1 石灰石煅燒實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)前，利用壓汞儀測(cè)得石灰石樣品的平均粒徑 為 31.4 μm［5］， 在 溫 度 分 別 為 850 ℃ ，900℃，950℃時(shí)，采用WCT－2型差熱天平進(jìn)行煅燒實(shí)驗(yàn)，保護(hù)氣為氮?dú)?，煅燒后產(chǎn)物采用KYKY－2800型掃描電鏡進(jìn)行分析后得到不同溫度下石灰石煅燒產(chǎn)物的SEM圖像如圖1所示。

圖1 石灰石在不同煅燒溫度下的SEM圖Fig．1 SEM photos of limestone at different calcinations temperatures

2 多重分形譜的計(jì)算

2.1 多重分形理論

在大多數(shù)自然現(xiàn)象中，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為取決于其中某些測(cè)度分布的性質(zhì)，測(cè)度分布可以是研究對(duì)象在一個(gè)幾何支撐集上的概率，質(zhì)量或其物理量的分布，該支撐集可以是歐氏空間集，也可以是分形集。多重分形理論正是在研究分形集上的測(cè)度分布問題而發(fā)展起來的，因此多重分形也被稱為分形測(cè)度［6］。多重分形一般具有自相似性，即某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度來看都是相似的，或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。當(dāng)研究物理量在某種幾何結(jié)構(gòu)上分布時(shí)，通常先將該幾何結(jié)構(gòu)分為若干區(qū)域，當(dāng)這些區(qū)域足夠小時(shí)，物理量在該區(qū)域的分布可看成是均勻的，假設(shè)有一分形集F，在研究該分形集上的測(cè)度μ的分布時(shí)，類似地，可把分形集F劃分為尺度為δ的若干單元，用μi表示第i個(gè)單元中的測(cè)度μ的平均值，它與尺度δ之間存在以下標(biāo)度關(guān)系:

式中:標(biāo)度指數(shù)αi稱為奇異性指數(shù)，反映了分形集內(nèi)各小區(qū)間的奇異程度，對(duì)于任意尺度δ，總存在 αmin和 αmax，使得 αi? (αmin，αmax)。若將集內(nèi)具有相同α值的小區(qū)間計(jì)為N(α)，則:

式中:f(α)為用α標(biāo)識(shí)的分形子集的維數(shù)，稱為多重分形奇異譜，簡(jiǎn)稱多重分形譜，若研究對(duì)象是單分形的，f(α)為一定值;若研究對(duì)象為多分形的，f(α)為一光滑的單峰函數(shù)。

2.2 用計(jì)盒維數(shù)法計(jì)算多重分形譜

計(jì)算多重分形譜時(shí)，首先應(yīng)得到物理量在分形圖像中的概率測(cè)度分布，設(shè)想用尺度為δ(δ≤1)大小的方格覆蓋分形圖像，將方格內(nèi)分形圖像的像素計(jì)為nij，分形圖像的總像素?cái)?shù)計(jì)為∑nij，則相應(yīng)的概率測(cè)度為

對(duì)于隨機(jī)分形，不能直接得到概率測(cè)度分布的解析表達(dá)式，需借助統(tǒng)計(jì)物理中的配分函數(shù)的概念及勒讓德變換。定義配分函數(shù)為概率測(cè)度Pij的q階矩:

式中:q被稱為權(quán)重因子，是表征多重分形不均勻程度的變量，不同的q值表示不同大小概率測(cè)度在配分函數(shù)中所具有的比重，其取值范圍可以從－∞到∞，當(dāng)q?1時(shí)，χ(δ)反映的是高概率(稠密)區(qū)域的性質(zhì);當(dāng)q?－1時(shí)，χ(δ)反映的是低概率 (稀疏)區(qū)域的性質(zhì)。但q的取值并不是越大越好，q值增大到一定程度時(shí)會(huì)引起計(jì)算機(jī)發(fā)生溢出性的錯(cuò)誤，過小則不能完全反映圖像的多重分形譜。所以在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)q的取值超越一定的范圍時(shí)，再增大對(duì)結(jié)果無顯著影響，q的范圍即可截止［7］。

配分函數(shù)通常是以δ為底的冪函數(shù):

兩邊取自然對(duì)數(shù)可得:

冪τq被稱為質(zhì)量指數(shù)，由上式可知lnχ(δ)與lnδ呈線性關(guān)系，其斜率為－τq，因此只要畫出lnχ(δ)與lnδ的散點(diǎn)圖，利用線性擬合方法就可得到τq，這樣便可得到τq－q映射圖，該圖可判斷分形圖像是否符合多重分形特征及圖形的非線性度。最后利用勒讓德變換公式:

可得f(α)－α圖，該圖即為分形圖像的多重分形譜，合理的分形譜線應(yīng)和f(α)=α相切。

3 結(jié)果與分析

3.1 對(duì) τq－q圖的分析

多重分形譜要求圖片為黑白圖像，因此在計(jì)算多重分形譜前需將SEM灰度圖片進(jìn)行二值化處理。處理后，分別用尺度為 δ=1/2，1/3，1/4，1/8，1/9的格子覆蓋，權(quán)重因子q的取值從－8到8，步長(zhǎng)為1，根據(jù)計(jì)盒維數(shù)法的相關(guān)公式計(jì)算τq，α及f(α)的值，做出各溫度下 τq－q圖如圖2所示。

圖2 各溫度下分形圖像的τq－q圖Fig．2 τq－q figure of SEM images at different temperatures

對(duì)比各溫度下的τq－q圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像呈凸性，可以利用非線性度來衡量τq－q圖的凸性，當(dāng)τq－q圖為一條直線時(shí)，所得到的α值是唯一的，測(cè)度分布也是均勻的;若τq－q圖為一條折線時(shí)，α值不唯一，并且非線性度越接近1，即折線的彎曲度越小，折線越接近直線時(shí)，分形圖像的規(guī)則性越好。通過計(jì)算可得:850℃時(shí)折線的非線性度為γ850=0.977 9;900℃時(shí)折線的非線性度為γ900=0.983 3;950℃時(shí)折線的非線性度為γ950=0.984 7，即850℃時(shí)分形圖像的規(guī)則性最差，950℃時(shí)分形圖像的規(guī)則性最好，900℃時(shí)分形圖像的規(guī)則性居于二者之間。比較可知，不同溫度時(shí)，850℃時(shí)分形圖像具有更復(fù)雜的不規(guī)則性。

3.2 對(duì)f(α) －α圖的分析

各溫度下的f(α) －α圖 (多重分形譜)如圖3所示。

譜寬Δα，最大、最小概率子集維數(shù)的差Δf，對(duì)稱性是分析多重分形譜的重要參量，通過對(duì)各溫度下的f(α)－α圖分析，可得如下結(jié)果:

圖3 各溫度下分形圖像的f(α) －α圖Fig．3 f(α) － α figure of fractal images at different temperatures

(1)分形譜的譜寬Δα=αmax－αmin，是表征概率測(cè)度分布非均勻性程度的重要參量，Δα越小，即分形譜越“瘦”，測(cè)度分布越均勻，概率位置選擇性 越低 Δα850=2.27，Δα900=2.01，Δα950=1.93，950℃時(shí)的Δα最小，說明在較高溫度下煅燒石灰石后的產(chǎn)物分布較為均勻，相應(yīng)概率的位置選擇性也越低，究其原因可能是溫度較低時(shí)，石灰石分解產(chǎn)生的CO2使得產(chǎn)物內(nèi)部生成許多小孔，CO2的逸出使得空隙邊界粗糙度增加，顆粒均勻性較差;而隨著煅燒溫度升高，燒結(jié)加劇，大量微孔消失，顆粒分布也呈均勻態(tài)勢(shì)。

(2)最大、最小概率子集維數(shù)的差 Δf=f(αmin)－f(αmax)，f(αmin)和 f(αmax)分別為測(cè)度取極小值和極大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的支撐子集的分維數(shù)。Δf＞0時(shí)，大概率子集的數(shù)目大于小概率子集的數(shù)目，Δf＜0時(shí)，大概率子集的數(shù)目小于小概率子集的數(shù)目。經(jīng)計(jì)算，Δf850=0.43，Δf900=0.37，Δf950=0.72，各溫度下 Δf值均大于0，即各溫度下，煅燒產(chǎn)物中大概率子集數(shù)目占優(yōu)，這可理解為大顆粒數(shù)目所占比重較大，由于高溫煅燒CaO時(shí)，顆粒內(nèi)部會(huì)發(fā)生燒結(jié)現(xiàn)象，晶粒逐漸長(zhǎng)大，顆粒之間和內(nèi)部孔隙逐漸消失，較小顆粒會(huì)發(fā)生團(tuán)聚現(xiàn)象并逐漸融合成較大顆粒。

(3)對(duì)稱性也是描述多重分形譜特征的一個(gè)參量，一般情況下，多重分形譜是鉤狀曲線。當(dāng)多重分形譜呈左鉤狀時(shí)，大概率子集的數(shù)目大于小概率子集的數(shù)目;多重分形譜呈右鉤狀時(shí)，大概率子集的數(shù)目小于小概率子集的數(shù)目［8］。如圖3所示，各溫度下多重分形譜均呈左鉤狀，即各溫度下，煅燒產(chǎn)物中大概率子集數(shù)目占優(yōu)，也可理解為高濃度樣本點(diǎn)占大多數(shù)，這也從另一個(gè)角度驗(yàn)證了分形圖像中概率子集的密集程度。

4 結(jié)論

分析多重分形譜的譜寬，對(duì)稱性等參數(shù)可以對(duì)石灰石煅燒產(chǎn)物表面形貌的復(fù)雜程度及不均勻程度做出相應(yīng)解釋，本文根據(jù)多重分形原理得出溫度越高，CaO顆粒分布越均勻且各溫度下煅燒后產(chǎn)物顆粒增大的結(jié)論。將多重分形原理應(yīng)用于鈣基脫硫劑的研究尚處于初級(jí)階段，可以利用該原理并結(jié)合邊緣提取和檢測(cè)方法分析鈣基脫硫劑顆?？紫?，表面缺陷的相關(guān)特性。研究工作將有利于深入研究鈣基脫硫劑的有關(guān)性質(zhì)，為多孔介質(zhì)的研究提供了新的視角。

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Multifractal Study for Surface Morphology of CaO Particles

Feng Yaofei，Shang Jianyu
(School of Energy Power and Mechanical Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003，China)

Utilizing the scan electron microscope，SEM images of CaO can be obtained after calcinating limestone at different temperatures．Based on fractal theory and some related statistical formulas，multi-fractal spectrum were calculated when processing binarization to SEM images，in addition，regularity and uniformity of particles distribution were also elaborated from fractal angle．Result shows that the morphology of CaO product turns in better multifractal characteristic in high tempreture，particle distribution also has good regularity and uniformity．

limestone;calciumoxide;calcination;binarization;multifractal

TM621;X703

A

2011－06－25。

馮垚飛 (1987－)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榍鍧嵜喝紵?，E-mail:fengyaofei2009@163.com。